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文档介绍
2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案:第2章 2
www.ks5u.com 2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点.(重点) 2.会根据已知条件求圆的标准方程.(重点、难点) 3.能准确判断点与圆的位置关系.(易错点) 通过对圆的标准方程的学习,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养. “南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮,它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园,是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米,转盘直径为153米. 请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗?若以摩天轮中心所在位置为原点,建立平面直角坐标系,游客在任一点(x,y)的坐标满足什么关系? 1.圆的标准方程 (1)圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是圆心和半径,如图所示. (3)圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y- b)2=r2. 当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点O为圆心、半径为r的圆. 思考:平面内确定圆的要素是什么? [提示] 圆心坐标和半径. 2.点与圆的位置关系 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示圆. ( ) (2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),则圆心为(a,b),半径为m. ( ) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2+y2=r2(r>0). ( ) [提示] (1)× (2)× (3)√ 2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是( ) A.(-2,3),1 B.(2,-3),3 C.(-2,3), D.(2,-3), D [由圆的标准方程可得圆心为(2,-3),半径为.] 3.以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.(x-2)2+(y-2)2=8 D.x2+y2= B [以原点为圆心,2为半径的圆,其标准方程为x2+y2=4.] 4.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的内部,则实数m的取值范围是________. m>10 [由条件知(1+2)2+(-1)2<m,解得m>10.] 点与圆的位置关系 【例1】 已知圆的圆心M是直线2x+y-1=0与直线x-2y+2=0的交点,且圆过点P(-5,6),求圆的标准方程,并判断点A(2,2),B(1,8),C(6,5)是在圆上,在圆内,还是在圆外? [思路探究] 先求出两直线的交点坐标即圆心坐标,再求出半径并写出方程;求出A,B,C各点与圆心的距离,分别与半径比较,判断出点与圆的位置关系. [解] 解方程组得 ∴圆心M的坐标为(0,1), 半径r=|MP|==5. ∴圆的标准方程为x2+(y-1)2=50. ∵|AM|==<r, ∴点A在圆内. ∵|BM|===r, ∴点B在圆上. ∵|CM|==>r, ∴点C在圆外.∴圆的标准方程为x2+(y-1)2=50,且点A在圆内,点B在圆上,点C在圆外. 1.判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心距离,与半径作比较即可; (2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的符号,并作出判断. 2.灵活运用 若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围. [跟进训练] 1.已知圆心为点C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圆的位置关系. [解] 因为圆心是C(-3,-4),且经过原点, 所以圆的半径r==5, 所以圆的标准方程是(x+3)2+(y+4)2=25. 因为|P1C|===2<5, 所以P1(-1,0)在圆内; 因为|P2C|==5, 所以P2(1,-1)在圆上; 因为|P3C|==6>5, 所以P3(3,-4)在圆外. 求圆的标准方程 【例2】 求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程. [思路探究] 法一:利用待定系数法,设出圆的方程,根据条件建立关于参数方程组求解;法二:利用圆心在直线上,设出圆心坐标,根据条件建立方程组求圆心坐标和半径,从而求圆的方程;法三:借助圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而求方程. [解] 法一:设所求圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2, 由已知条件知 解此方程组,得 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法二:设点C为圆心,∵点C在直线x+y-2=0上, ∴可设点C的坐标为(a,2-a). 又∵该圆经过A,B两点, ∴|CA|=|CB|. ∴=, 解得a=1. ∴圆心坐标为C(1,1),半径长r=|CA|=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法三:由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0), kAB==-1, 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=1, 所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0), 即y=x.则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点, 由得 即圆心为(1,1),圆的半径为 r==2, 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 确定圆的标准方程的方法 (1)几何法 它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是: ①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解—解方程组,求出a,b,r; ④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程. [跟进训练] 2.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的标准 方程为________. (x-2)2+y2=10 [由圆的几何性质得,圆心在AB的垂直平分线上,结合题意知,AB的垂直平分线为y=2x-4,令y=0,得x=2,故圆心坐标为(2,0),所以圆的半径r==,故圆的方程为(x-2)2+y2=10.] 与圆有关的最值问题 [探究问题] 1.怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离? [提示] 可采用几何法,先求出该点到圆心的距离,再加上或减去圆的半径,即可得距离的最大值和最小值. 2.若点M是⊙C内一点,那么过点M的弦中,弦长最长和最短的弦分别是哪一条? [提示] 弦长最长的弦是MC所在的直径,弦长最短的弦是过M且与MC垂直的弦. 【例3】 已知x和y满足(x+1)2+y2=,试求x2+y2的最值. [思路探究] 首先观察x、y满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值. [解] 由题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值.原点O(0,0)到圆心C(-1,0)的距离d=1,故圆上的点到坐标原点的最大距离为1+=,最小距离为1-=.因此x2+y2的最大值和最小值分别为和. 1.[变条件]把本例中圆的方程变为(x+1)2+y2=4,则过(0,0)的弦中,最长弦长为________,最短弦长为________. 4 2 [点(0,0)在圆内,最长的弦为过O的直径,所以最大弦长为2r=4.最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦,因为O(0,0)与圆的距离为1,所以最短弦长为2=2.] 2.[变结论]本例条件不变,试求的取值范围. [解] 设k=,变形为k=,此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率, 由k=,可得y=kx,此直线与圆有公共点,圆心到直线的距离d≤r, 即≤, 解得-≤k≤. 即的取值范围是. 与圆有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如u=形式的最值问题,可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题. (2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=- x+截距的最值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题. 1.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简,提高解题效率. 2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、简捷. 3.与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题,渗透着直观形象的数学素养. 4.几种特殊的对称 (1)圆C关于点M对称⇔点M就是圆心. (2)圆C关于直线l对称⇔直线l经过圆心. (3)圆C1、C2关于点M对称⇔ (4)圆C1、C2关于直线l对称⇔ 1.圆心为(1,1),且过原点的圆的标准方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 D [由圆过原点知r==,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,选D.] 2.两个点M(2,-4),N(-2,1)与圆C:x2+y2-2x+4y-4=0的位置关系是( ) A.点M在圆C外,点N在圆C外 B.点M在圆C内,点N在圆C内 C.点M在圆C外,点N在圆C内 D.点M在圆C内,点N在圆C外 D [将点的坐标代入方程左边得22+(-4)2-2×2+4×(-4)-4=-4<0,∴M点在圆内,(-2)2+12-2×(-2)+4×1-4=9>0,∴N点在圆外.故选D.] 3.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是________. (x-2)2+(y-4)2=20 [由可得,即圆心为(2,4),从而r==2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.] 4.点(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是________. [0,1) [由于点在圆的内部,所以(5+1-1)2+()2<26,即26a<26,又a≥0,解得0≤a<1.] 5.已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程. [解] 如图,由题设|AC|=r=5,|AB|=8,∴|AO|=4. 在Rt△AOC中, |OC|===3. 设点C坐标为(a,0), 则|OC|=|a|=3,∴a=±3.∴所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.查看更多