2020届二轮复习（文）函数与方程思想课件（36张）

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一、函数与方程思想 总纲目录 应用一    函数与方程思想在不等式中的应用 应用二    函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用 应用三    函数与方程思想在数列中的应用 应用四    函数与方程思想在解析几何中的应用 应用一  函数与方程思想在不等式中的应用 例1 　已知 f ( x )=log 2 x , x ∈[2,16],对于函数 f ( x )值域内的任意实数 m ,使 x 2 + mx +4> 2 m +4 x 恒成立的实数 x 的取值范围是   (　　) A.(- ∞ ,-2]　    B.[2,+ ∞ ) C.(- ∞ ,-2] ∪ [2,+ ∞ )　    D.(- ∞ ,-2) ∪ (2,+ ∞ ) 答案     D D 解析 　因为 x ∈[2,16], 所以 f ( x )=log 2 x ∈[1,4],即 m ∈[1,4]. 不等式 x 2 + mx +4>2 m +4 x 恒成立, 即 m ( x -2)+( x -2) 2 >0恒成立. 设 g ( m )=( x -2) m +( x -2) 2 , 则此函数在[1,4]上恒大于0, 所以   即   解得 x <-2或 x >2. 故 x 的取值范围是(- ∞ ,-2) ∪ (2,+ ∞ ). 方法指导 函数与方程思想在不等式中的应用技巧 在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数 的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确 定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.一般地,将已知存 在范围的量作为变量,而待求范围的量作为参数. 1 .若0< x 1 < x 2 <1,则   (　　) A.   -   >ln x 2 -ln x 1 　    B.   -   x 1   　    D. x 2   < x 1   C 答案    C 　设 f ( x )=e x -ln x (0< x <1), 则 f ‘ ( x )=e x -   =   . 令 f '( x )=0,得 x e x -1=0. 根据函数 y =e x 与 y =   的图象,可知函数 f ( x )在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项 不正确. 设 g ( x )=   (0< x <1),则 g '( x )=   . 又0< x <1,∴ g '( x )<0. ∴函数 g ( x )在(0,1)上是减函数. 又0< x 1 < x 2 <1,∴ g ( x 1 )> g ( x 2 ), ∴ x 2   > x 1   ,故选C. 2 .若关于 x 的不等式 x +   -1- a 2 +2 a >0在 x ∈(2,+ ∞ )上恰成立,则 a 的取值集合为      　　     . 答案 　{-1,3} 解析     关于 x 的不等式 x +   -1- a 2 +2 a >0在 x ∈(2,+ ∞ )上恰成立 ⇔ 函数 f ( x )= x +   在 x ∈(2,+ ∞ )上的值域为( a 2 -2 a +1,+ ∞ ). ∵函数 f ( x )= x +   在(2,+ ∞ )上为增函数,∴ f ( x ) min >2+   =4,即 f ( x )在(2,+ ∞ )上的值 域为(4,+ ∞ ), ∴ a 2 -2 a +1=4,解得 a =-1或 a =3. 应用二    函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用 例2 　(1)已知向量 a =( λ ,1), b =( λ +2,1),若| a + b |=| a - b |,则实数 λ 的值为   (　　) A.-1　    B.2 C.1　    D.-2 (2)若方程cos 2 x -sin x + a =0在 x ∈   上有解,则 a 的取值范围是 　　　     . A 答案 　(1) A 　解法一:由| a + b |=| a - b |, 可得 a 2 + b 2 +2 a · b = a 2 + b 2 -2 a · b ,所以 a · b =0, 故 a · b =( λ ,1)·( λ +2,1)= λ 2 +2 λ +1=0,解得 λ =-1. 解法二: a + b =(2 λ +2,2), a - b =(-2,0), 由| a + b |=| a - b |, 可得(2 λ +2) 2 +4=4,解得 λ =-1. (2) 答案 　(-1,1] 解析　 解法一:把方程cos 2 x -sin x + a =0变形为 a =-cos 2 x +sin x , 令 f ( x )=-cos 2 x +sin x , x ∈   , f ( x )=-(1-sin 2 x )+sin x =   -   ,由 x ∈   可 得sin x ∈(0,1],易求得 f ( x )的值域为(-1,1],故 a 的取值范围是(-1,1]. 解法二:令 t =sin x , 由 x ∈   ,可得 t ∈(0,1]. 依题意得1- t 2 - t + a =0,即方程 t 2 + t -1- a =0在 t ∈(0,1]上有解,设 f ( t )= t 2 + t -1- a ,其图象 是开口向上的抛物线,对称轴为直线 t =-   ,如图所示.   因此, f ( t )=0在(0,1]上有解等价于   即   解得-1< a ≤ 1, 故 a 的取值范围是(-1,1]. 方法指导 函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用技巧 (1)研究此类含参数的三角函数方程的问题,通常有两种处理思路:一是分离 参数构建函数,将方程有解转化为求函数的值域.二是换元,将复杂方程问题 转化为熟悉的一元二次方程,进而利用一元二次方程解的分布情况构建不等 式或构造函数加以解决. (2)求解平面向量中含参数的相关问题,需对平面向量的模进行平方处理,从 而把模问题转化为数量积问题,再利用函数与方程思想进行分析与处理,这是 解决此类问题的一种比较常见的思维方式. 1 .如图,在△ ABC 中, D 是 BC 的中点, E 在边 AB 上, BE =2 EA , AD 与 CE 交于点 O .若   ·   =6   ·   ,则   的值是 　　　     .   答案        解析 　以点 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,如图所示.   设 E (1,0), C ( a , b ),则 B (3,0), D   .   ⇒ O   . ∵   ·   =6   ·   , ∴(3,0)·( a , b )=6   ·( a -1, b ), 即3 a =6 ×   , ∴ a 2 + b 2 =3,∴ AC =   ,∴   =   =   . 2 .为了竖一块广告牌,要制造一个如图所示的三角形支架,要求∠ ACB =60 ° , BC 的长度大于1 m,且 AC 比 AB 长   m,为了稳固广告牌,要求 AC 越短越好,则 AC 最短为 　　     m.   答案 　2+   解析 　设 BC 的长度为 x m, AC 的长度为 y m, 则 AB 的长度为   m. 在△ ABC 中,由余弦定理,得 AB 2 = AC 2 + BC 2 -2 AC · BC cos∠ ACB , 即   = y 2 + x 2 -2 yx ×   ,化简得 y ( x -1)= x 2 -   , ∵ x >1,∴ x -1>0,∴ y =   , 即 y =( x -1)+   +2 ≥   +2, 当且仅当 x -1=   ,即 x =1+   时,取“=”, 因此当 x =1+   时, y 有最小值2+   . 应用三    函数与方程思想在数列中的应用 例3　 设等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 4 =-2, S 5 =0, S 6 =3,则 nS n 的最小值为 　     　     . 答案 　-9 解析　 由已知得, a 5 = S 5 - S 4 =2, a 6 = S 6 - S 5 =3, 因为数列{ a n }为等差数列,所以公差 d = a 6 - a 5 =1. 又 S 5 =   =0, 所以 a 1 =-2,故 S n =-2 n +   =   ,即 nS n =   , 令 f ( n )=   ( n >0且 n ∈Z),则 f '( n )=   n 2 -5 n , 令 f '( n )>0,得 n >   ,令 f '( n )<0,得0< n <   ,所以 f ( n )在   上单调递减,在   上单调递增. 又 n 为正整数,所以当 n =3时, f ( n )取得最小值,即 nS n 取得最小值-9. 方法指导 数列问题函数(方程)化的方法 数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似,但要注意数列问题 中 n 的取值范围为正整数,涉及的函数具有离散性的特点,其一般解题步骤: 第一步:分析数列通项公式或前 n 项和公式的结构特征. 第二步:根据结构特征构造函数(方程),转化问题形式. 第三步:研究函数(方程)性质.结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性 质,主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究. 第四步:回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究,回归问题. 1 .已知数列{ a n }满足 a 1 =33, a n +1 - a n =2 n ,则   的最小值为 　　　     . 答案        解析 　因为 a n +1 - a n =2 n , 所以当 n ≥ 2时, a n - a n -1 =2( n -1), 所以 a n =( a n - a n -1 )+( a n -1 - a n -2 )+ … +( a 2 - a 1 )+ a 1 =(2 n -2)+(2 n -4)+ … +2+33= n 2 - n +33( n ≥ 2). 又 a 1 =33=1-1+33满足上式, 所以 a n = n 2 - n +33( n ∈N * ), 所以   = n +   -1. 令 f ( x )= x +   -1( x >0, x ∈N * ), 则 f '( x )=1-   , 令 f '( x )=0,得 x =   , 易知当 x ∈(0,   )时, f '( x )<0, 当 x ∈(   ,+ ∞ )时, f '( x )>0, 所以 f ( x )在区间(0,   )上单调递减, 在区间(   ,+ ∞ )上单调递增, 又5<   <6,且 f (5)=5+   -1=   , f (6)=6+   -1=   , f (5)> f (6), 所以当 n =6时,   有最小值   . 2 .设等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,公比 q >0, a 1 + a 2 =4, a 3 - a 2 =6. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若对任意的 n ∈N * , ka n , S n ,-1都成等差数列,求实数 k 的值. 解析 　(1)∵ a 1 + a 2 =4, a 3 - a 2 =6, ∴   ∵ q >0,∴ q =3, a 1 =1. ∴ a n =1 × 3 n -1 =3 n -1 ,故数列{ a n }的通项公式为 a n =3 n -1 . (2)由(1)知 a n =3 n -1 , S n =   =   , ∵ ka n , S n ,-1成等差数列, ∴2 S n = ka n -1,即2 ×   = k × 3 n -1 -1,解得 k =3. 应用四    函数与方程思想在解析几何中的应用 例4 　已知点 A (0,-2),椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的离心率为   , F 是椭圆 E 的右焦 点,直线 AF 的斜率为   , O 为坐标原点. (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点.当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 解析 　(1)设 F ( c ,0), 由条件知,   =   ,得 c =   . 又   =   ,所以 a =2, 所以 b 2 = a 2 - c 2 =1, 所以椭圆 E 的方程为   + y 2 =1. (2)当 l ⊥ x 轴时不符合题意,故设直线 l 的方程为 y = kx -2, 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 联立得   消去 y 得(1+4 k 2 ) x 2 -16 kx +12=0, Δ =16(4 k 2 -3)>0, x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . 所以| PQ |=     =     =   . 又点 O 到直线 l 的距离 d =   , 所以 S △ OPQ =   · d ·| PQ |=   , 设   = t ,则 t >0,则4 k 2 = t 2 +3, S △ OPQ =   =   ≤ 1, 当且仅当 t =2,即 k = ±   时取等号,且满足 Δ >0. 所以当△ OPQ 的面积最大时, 直线 l 的方程为 y =   x -2或 y =-   x -2. 方法指导 解析几何问题函数(方程)化的方法 函数(方程)法是解决解析几何问题中比较常见的一种方法,通过函数(方程)法 把解析几何问题代数化,利用函数或方程进行求解,其关键是根据题意,构造 恰当的函数或建立相应的方程解决问题. 已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的右焦点为 F (1,0),如图,设左顶点为 A ,上顶点 为 B ,且   ·   =   ·   . (1)求椭圆 C 的方程;   (2)若过点 F 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,试确定   ·   的取值范围. 解析　 (1)由题易知 A (- a ,0), B (0, b ), F (1,0), 则由   ·   =   ·   ,得 b 2 - a -1=0. 因为 b 2 = a 2 -1, 所以 a 2 - a -2=0, 解得 a =2(负值舍去). 所以 a 2 =4, b 2 =3,所以椭圆 C 的方程为   +   =1. (2)①若直线 l 斜率不存在,则 l : x =1, 此时 M   , N   ,   ·   =-   . ②若直线 l 斜率存在, 设 l : y = k ( x -1), M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), 则由   消去 y 得 (4 k 2 +3) x 2 -8 k 2 x +4 k 2 -12=0, 所以 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   , 所以   ·   =( x 1 -1, y 1 )·( x 2 -1, y 2 ) =(1+ k 2 )[ x 1 x 2 -( x 1 + x 2 )+1] =   . 因为 k 2 ≥ 0,所以0<   ≤ 1, 所以3 ≤ 4-   <4, 所以-3 ≤   ·   <-   . 综上所述,   ·   的取值范围为   .