2019-2020学年云南省玉溪一中高二上学期第一次月考数学（理）试题 Word版

2019-2020学年云南省玉溪一中高二上学期第一次月考数学（理）试题 Word版

玉溪一中 2021 届高二上学期第一次月考理 科 数 学 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。‎ ‎1.直线 x + (m +1) y + 2 = 0 与直线 mx + 2 y -1 = 0 平行，则 m = A. - 2‎ ‎B. 1或- 2‎ ‎C．1 D． 2或-1‎ ‎2．下列四个数中，数值最小的是 A． 25(10)‎ ‎B．54(6)‎ ‎C．10110(4)‎ ‎D．10111( 2)‎ ‎3．已知等比数列{an}中， a2a3a4 = 1， a6a7 a8 = 64 ，则 a4a5a6 = A. ± 8‎ ‎B. - 8‎ ‎C． 8 D．16 1‎ ‎‎ 图(1)‎ 4. 一个算法的程序框图如图(1)所示，若该程序输出的结果是 ‎4‎ ‎，则判断框中填入的条件是 A. i > 4?‎ ‎B. i < 4?‎ ‎C. i < 3?‎ ‎D. i > 3?‎ 5. 已知 m, n 是两条不同的直线，a,b是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．a// b，m //a，n Ì b,则m // n B． m //a，m // n，则n //a C．a^ b, m / /n, m ^ a，则 n / /b D． m ^ a, m / /n ，则 n ^a 6. 下列函数中，与函数 y = 3 x 的奇偶性相同，且在区间(-¥,0) 上的单调性也相同的是 A. y = 1- x2‎ ‎‎ B. y = log2 | x |‎ ‎C. y = - 1‎ x ‎‎ D. y = x3 -1‎ 7. 已知函数 f ( x) = sin æwx + pö( x Î R,w> 0) 的最小正周期为p，将 y = f ( x) 的图象向 ç 4 ÷ è ø 右平移j个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则j的一个值是 A． 5p B． p ‎8 2‎ ‎C． 3p D. p ‎8 4‎ 8. 一个四棱锥的三视图如图（2）所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是 A. 侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形 ‎3‎ A. 侧面四个三角形都是直角三角形C．该四棱锥的体积为 ‎7‎ D．最长的棱长为 ‎‎ 图（2）‎ 4. 直线 y = kx + 3 与圆O : x2 + y2 = 1 相交于 A, B 两点，则DOAB 面积的最大值为 ‎1‎ A．1 B．‎ ‎2‎ C. ‎ 4‎ D. ‎ 4‎ 5. 设{an}是任意等差数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 4n 项和分别为 X ,Y , Z ，则 下列等式中恒成立的是 A． 2X + Z = 3Y C． 2X + 3Z = 7Y ‎‎ B． 4 X + Z = 4Y D． 8X + Z = 6Y 6. 定义在 R 上的奇函数 y = f ( x) 为减函数，若m 、n 满足 f (m2 - 3m) + f (3n - n2 ) ³ 0 ，‎ 则当 3 £ n £ 2 时，‎ ‎2‎ ‎m 的取值范围为 n ú û A． é- 2 ù ‎B． é 3 ù ‎C． é 1 3 ù ‎ ‎ ‎D. é 1 ，ù ëê 3 ,1‎ ‎1, 2 úû ‎êë 2 ，‎ ‎êë 2 1‎ ê ú ú ë ‎2 û û 7. 平面四边形 ABCD 中， ÐABC = ÐADC = 90°， ÐBAD = 60° ， BC = 2CD = 2 ，则 AC =‎ A． 2 21‎ ‎3‎ ‎B． 4 21‎ ‎3‎ ‎C． 3 7 D．‎ ‎7‎ ‎2‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。‎ ìx - y +1 ³ 0‎ í 8. 已知 x, y 满足约束条件ïx + y -1 £ 0 ，则 z = x - 2 y 的最小值为 .‎ î ï y ³ -1‎ ‎‎ 图（3）‎ 9. 有一个容量为 200 的样本，其频率分布直方图如图（3）所示，据图知，样本数据在[8，10) 内的频数为 .‎ ‎15.已知实数 x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y + 2xy = ‎‎ ‎21 ，则 x + 2 y 的最小值是 ．‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎16．已知底面边长为 4‎ ‎，侧棱长为 2‎ ‎的正四棱锥 S - ABCD 内接于球O1 ，若球O2 在 ‎5‎ 球O1 内且与平面 ABCD 相切，则球O2 的直径的最大值为 ．‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分 10 分）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取 停车距离 （d 米）‎ [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 频数 ‎24‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎100 名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试. 试验数据分别列于表 1 和表 2.统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表.‎ 表 1‎ 平均每毫升血液酒精含量 x 毫克 ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎90‎ 平均停车距离 y 米 ‎30‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎90‎ 表 2‎ （1） 根据最小二乘法，由表 2 的数据计算 y 关于 x 的回归方程 yˆ = bˆx + aˆ ；‎ （2） 该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离” y 大于无酒状态下（表 1）的停车距离平均数的3 倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（1）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？‎ ån ( x - x )( y ‎- y ) ‎ån x y ‎- nx × y ‎ ‎ i=1 i 附：回归方程 yˆ = bˆx + aˆ 中， bˆ = ‎i=1 i i ‎= i=1 i i ‎, aˆ = y - bˆx .‎ i=1‎ i ån ( x - x )2‎ ‎ån x2 - nx 2‎ ‎)‎ ‎18．（本小题满分 12 分）设函数 f (x) = sin x cos x - cos2 (x + p .‎ ‎4‎ é p pù （1） 求函数 f (x) 在区间 êë- 8 , 2 úû 上的最值；‎ （2） 在DABC 中，若 f ( A) = 0, a = 1 ， b = c ，求DABC 的面积.‎ ‎2‎ ‎19. （本小题满分 12 分）已知 Sn 为等差数列{an }的前n 项和，且 S2 = 1 ， 2a5 + a2 = 6 ，‎ 记bn = [an ] ，其中[x] 表示不超过 x 的最大整数，如[0.9] = 0 ，[2.6] = 2 ，[4] = 4 , Tn 表 示数列{bn }的前 n 项和.‎ （1） 求数列{an } 的通项公式；‎ （2） 求T5 和T20 .‎ ì ln x , x > 0‎ î ‎20.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = íx2 + 4x +1, x £ 0 ， g(x) = ‎‎ f (x) - a .‎ （1） 当 a = 3 时，求函数 g (x) 的零点；‎ （2） 若函数 g (x) 有三个零点，求a 的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， P 、Q 分别是 AA1 、 A1C1 的中点.‎ （1） 设棱 BB1 的中点为 D ，证明： C1D / / 平面 PQB1 ；‎ （2） 若 AB = 2 ，AC = AA = AC = 4 ，ÐAA B = 60° ，且平面 AAC C ^ 平面 AA B B ；‎ ‎1 1 1 1 1 1 1 1‎ （i） 求三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积V ；‎ （ii） 求二面角Q - PB1 - A1 的余弦值.‎ ‎22．（本小题满分 12 分）如图，圆 M : (x - 2)2 + y2 = 1，点 P(-1, t) 为直线l : x = -1上一 动点，过点 P 引圆 M 的两条切线，切点分别为 A,B ．‎ （1） 若t = -1，求切线所在直线方程；‎ （2） 若两条切线 PA, PB 与 y 轴分别交于 S、T 两点，求 ST 的最小值．‎ ‎2021 届高二第一次月考参考答案理 科 数 学 一、选择题：‎ BDCCD BCCBD DA 二、填空题 ‎13. -2 14. 76 15. 3 16. 8‎ 三、解答题：‎ ‎5‎ ‎17．（1）依题意，可知 x = 50, y = 60 ， 1 分 åxi yi = 10 ´ 30 + 30 ´ 50 + 50 ´ 60 + 70 ´ 70 + 90 ´ 90 = 17800 ， 2 分 ‎5‎ i=1‎ åx2 = 102 + 302 + 502 + 702 + 902 = 16500 ， 3 分 i i=1‎ ‎å5 x y ‎‎ - ‎5x × y ‎‎ ‎17800 - 5´ 50 ´ 60 7‎ bˆ = ‎i=1 i i = = ‎...................4 分 å5 x2 - 5x 2‎ ‎16500 - 5´ 502 10‎ i=1 i aˆ = y - bˆx = 60 - ‎7 ´ 50 = 25‎ ‎10‎ 所以回归直线方程为 yˆ = 0.7x + 25 ． 5 分 ‎（2）停车距离的平均数为 d = 15´ ‎24‎ ‎100‎ ‎‎ + 25´ ‎40‎ ‎100‎ ‎+ 35´ 30‎ ‎100‎ ‎‎ + 45´ ‎4‎ ‎100‎ ‎‎ + 55´ ‎2‎ ‎100‎ ‎‎ = 27‎ ‎.................7 分 当 y > 3´ 27 ，即y > 81 时认定驾驶员是“醉驾”， 令 yˆ > 81，得0.7x + 25 > 81，解得x > 80 ，‎ 所以当每毫升血液酒精含量大于 80 毫克时认定为“醉驾” 10 分 sin 2x ‎18. （1）由题意知 f (x)‎ ‎1+ cos(2 x + p = - ‎)‎ ‎2‎ ‎‎ = sin 2x - ‎‎ ‎1- sin 2x ‎‎ = sin 2x - 1‎ ‎2 2 2 2‎ 令t = 2x ，则t Î[- p,p]，f (t) = sin t - 1 ，‎ ‎2 ...2 分 ‎4‎ 所以 f (x) 的最大值为 1 ，最小值为- ‎2‎ ‎2‎ ‎2 +1‎ ‎; 6 分 ‎2‎ A 1 1‎ ‎p 5p ‎（2）由 f ( ) = sin A - = 0 ，得sin A = , Q ‎2 2 2‎ ‎A Î(0,p) A = 或 A = ‎6 6 8 分 ‎3‎ A = p时， a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ， b = c 得bc = 2 + ， S = 1 bc sin A = 2 + ‎3‎ ‎；...10 分 ‎6 2 4‎ ‎3‎ A = 5p时，a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ，b = c 得bc = 2 - ，S = 1 bc sin A = 2 - ‎3‎ ‎... 12 分 ‎6 2 4‎ ìa1 + a2 = 2‎ ‎ì2a1 + d = 2‎ ‎1 3 3 2‎ ‎19.（1）有í2a + a ‎，可得í = 6‎ ‎3a ‎+ 9d = 6 ，解得 a1 = 5 ， d = 5 ，所以 an = 5 n - 5‎ î 5 2 î 1‎ ‎......6 分 ‎（2） b1 = 0,b2 = 0,b3 = 1,b4 = 2,b5 = 2 ，所以T5 = 5‎ ‎3‎ 因为 ak +5 = ak + 5´ 5 = ak + 3 ，所以bk +5 = bk + 3 ， 所以 ‎...........8 分 T20 = (b1 + b2 +L+ b5 ) + (b6 + b7 +L+ b10 ) + (b11 + b12 +L+ b15 ) + (b16 + b17 +L+ b20 )‎ = T5‎ ‎+ (T5‎ ‎+15) + (T5‎ ‎+ 45) = (T5 + T5 + 45) ´ 4 = 110LL12分 ‎2‎ ‎20.（1） x > 0 时， ln x = 3‎ ‎ln x = 2 ，得 x = e3或 1 ；‎ e3‎ x < 0 时， x2 + 4x +1 = 3 ，得 x = -2 - ‎6‎ 所以零点有三个，分别为e3, 1 ,-2 - e3‎ ‎6或- 2 + ‎.‎ ‎（舍）‎ ‎6‎ ‎..............................6 分 ‎（2）可由图像得 a Î(1, +¥) È{0}‎ ‎..........................12 分 ‎21.（1）证明：连接 AD ， Q D 是 BB1 的中点， P 是 AA1 的中点，‎ 可由棱柱的性质知 AP / / DB1 ，且 AP = DB1 ；四边形 ADB1P 是平行四边形 AD / / PB1‎ Q P, Q 分别是 AA1 、 A1C1 的中点 AC1 / / PQ 平面 AC1D / / 平面 PQB1‎ C1D Ì 平面 AC1D ， C1D / / 平面 PQB1‎ ‎1‎ ‎‎ ‎............4 分 ‎3‎ ‎1 1‎ ‎（2）（i） SDAA B = 2 AA1 × A1B1 ×sin ÐAA1B1 = 2‎ 平面 AA1C1C ^ 平面 AA1B1B 且C1P ^ AA1‎ C1P ^ 平面 ABB1 A1 ，‎ ‎1‎ ‎1 1 1 1 1‎ ‎1 1 1 1 1 1‎ VC - AA B = 3 SDAA B C1P = 4 ，VABC - A B C ‎= 3VC - AA B ‎= 12‎ ‎.............................. 8 分 ‎（ii）在面 AA1C1C 内作QM ^ AA1 于点 M 在面 AA1B1B 内作 MN ^ PB1 于点 N ，连接QN .‎ Q 平面 AA1C1C ^ 平面 AA1B1B QM ‎^ 平面 AA1B1B ÐQNM 是二面角Q - PB1 - A1 的平面角 ‎3‎ 在 RtDQMN 中， QM = ， MN = 3 .‎ ‎2‎ 设二面角Q - PB1 - A1 的大小为q，则 tanq= QM MN ‎= 2 cosq= 5‎ ‎5‎ ‎‎ ‎..............................12 分 ‎22． （1） 由题意，切线斜率存在，可设切线方程为 y +1 = k (x +1) ，即 kx - y + k -1 = 0 ，‎ 则圆心 M 到切线的距离 d = ‎= 1，解得 k = 0 或 3 ，‎ ‎3k -1‎ k 2 +1‎ ‎4‎ 故所求切线方程为 y = -1， 3x - 4 y -1 = 0 ； ............... 6 分 ‎（2）设切线方程为 y - t = k ( x +1) ，即 kx - y + k + t = 0 ， PA, PB 的斜率为 k1, k2 ，‎ ‎3k - t 故圆心 M 到切线的距离 d = = 1 ，得8k 2 - 6kt + t 2 -1 = 0 ，‎ k 2 +1‎ ‎∴ k + k = 3 t ， k k ‎t 2 -1‎ = ，‎ ‎1 2 4‎ ‎1 2 8‎ 在切线方程中令 x = 0 可得 y = k + t ，‎ 故 ST ‎= (k1 + t ) -(k2 + t ) = k1 - k2 = = ，‎ ( k + k - 4k k ‎1 2‎ ) ‎2‎ ‎1 2‎ t2 + 8‎ ‎4‎ ‎∴ ST ‎‎ = min ‎2 ，此时t = 0 ，故 ST ‎2‎ ‎的最小值为 2 ． 12 分 ‎2‎