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文档介绍
2015年广东省高考数学试卷(文科)
2015年广东省高考数学试卷(文科) 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科) 1.(5分)若集合M={﹣1,1},N={﹣2,1,0}则M∩N=( ) A.{0.﹣1} B.{0} C.{1} D.{﹣1,1} 2.(5分)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2 3.(5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=x+sin2x B.y=x2﹣cosx C.y=2x+ D.y=x2+sinx 4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+3y的最大值为( ) A.2 B.5 C.8 D.10 5.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=.且b<c,则b=( ) A.3 B.2 C.2 D. 6.(5分)若直线 l1和l2 是异面直线,l1在平面 α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 7.(5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 8.(5分)已知椭圆+=1(m>0 )的左焦点为F1(﹣4,0),则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.9 9.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形 ABCD是平行四边形, =(1,﹣2),=(2,1)则•=( ) A.5 B.4 C.3 D.2 10.(5分)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则 card(E)+card(F)=( ) A.200 B.150 C.100 D.50 二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11~13题) 11.(5分)不等式﹣x2﹣3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 12.(5分)已知样本数据 x1,x2,…,xn的均值=5,则样本数据 2x1+1,2x2+1,…,2xn+1 的均值为 . 13.(5分)若三个正数 a,b,c 成等比数列,其中a=5+2,c=5﹣2,则 b= . 坐标系与参数方程选做题 14.(5分)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,曲线C2的参数方程为 (t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为 . 几何证明选讲选做题 15.如图,AB为圆O的直径,E为AB 的延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4.CE=2,则 AD= . 三、解答题(共6小题,满分80分) 16.(12分)已知 tanα=2. (1)求tan(α+)的值; (2)求 的值. 17.(12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为,[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 18.(14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C 到平面PDA的距离. 19.(14分)设数列 {an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1. (1)求a4的值; (2)证明:{an+1﹣an}为等比数列; (3)求数列{an}的通项公式. 20.(14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线 C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由. 21.(14分)设 a为实数,函数 f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1). (1)若f(0)≤1,求a的取值范围; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当a≥2 时,讨论f(x)+ 在区间 (0,+∞)内的零点个数. 2015年广东省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科) 1.(5分)(2015•广东)若集合M={﹣1,1},N={﹣2,1,0}则M∩N=( ) A.{0.﹣1} B.{0} C.{1} D.{﹣1,1} 【分析】进行交集的运算即可. 【解答】解:M∩N={﹣1,1}∩{﹣2,1,0}={1}. 故选:C. 2.(5分)(2015•广东)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2 【分析】利用完全平方式展开化简即可. 【解答】解:(1+i)2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i; 故选:A. 3.(5分)(2015•广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=x+sin2x B.y=x2﹣cosx C.y=2x+ D.y=x2+sinx 【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择. 【解答】解:四个选项中,函数的定义域都是R, 对于A,﹣x+sin(﹣2x)=﹣(x+sin2x);是奇函数; 对于B,(﹣x)2﹣cos(﹣x)=x2﹣cosx;是偶函数; 对于C,,是偶函数; 对于D,(﹣x)2+sin(﹣x)=x2﹣sinx≠x2+sinx,x2﹣sinx≠﹣(x2+ sinx);所以是非奇非偶的函数; 故选:D. 4.(5分)(2015•广东)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+3y的最大值为( ) A.2 B.5 C.8 D.10 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值. 【解答】解:作出不等式对应的平面区域(阴影部分), 由z=2x+3y,得y=, 平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点B时,直线y=的截距最大,此时z最大. 由,解得, 即B(4,﹣1). 此时z的最大值为z=2×4+3×(﹣1)=8﹣3=5, 故选:B. 5.(5分)(2015•广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=.且b<c,则b=( ) A.3 B.2 C.2 D. 【分析】运用余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA,解关于b的方程,结合b<c,即可得到b=2. 【解答】解:a=2,c=2,cosA=.且b<c, 由余弦定理可得, a2=b2+c2﹣2bccosA, 即有4=b2+12﹣4×b, 解得b=2或4, 由b<c,可得b=2. 故选:C. 6.(5分)(2015•广东)若直线 l1和l2 是异面直线,l1在平面 α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 【分析】可以画出图形来说明l与l1,l2的位置关系,从而可判断出A,B,C是错误的,而对于D,可假设不正确,这样l便和l1,l2都不相交,这样可推出和l1,l2异面矛盾,这样便说明D正确. 【解答】解:A.l与l1,l2可以相交,如图: ∴该选项错误; B.l可以和l1,l2中的一个平行,如上图,∴该选项错误; C.l可以和l1,l2都相交,如下图: ,∴该选项错误; D.“l至少与l1,l2中的一条相交”正确,假如l和l1,l2都不相交; ∵l和l1,l2都共面; ∴l和l1,l2都平行; ∴l1∥l2,l1和l2共面,这样便不符合已知的l1和l2异面; ∴该选项正确. 故选D. 7.(5分)(2015•广东)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 【分析】首先判断这是一个古典概型,而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法,取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可. 【解答】解:这是一个古典概型,从5件产品中任取2件的取法为; ∴基本事件总数为10; 设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为=6; ∴P(A)==0.6. 故选:B. 8.(5分)(2015•广东)已知椭圆+=1(m>0 )的左焦点为F1 (﹣4,0),则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.9 【分析】利用椭圆+=1(m>0 )的左焦点为F1(﹣4,0),可得25﹣m2=16,即可求出m. 【解答】解:∵椭圆+=1(m>0 )的左焦点为F1(﹣4,0), ∴25﹣m2=16, ∵m>0, ∴m=3, 故选:B. 9.(5分)(2015•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形 ABCD是平行四边形,=(1,﹣2),=(2,1)则•=( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标,然后代入向量数量积的坐标表示可求 【解答】解:由向量加法的平行四边形法则可得,==(3,﹣1). ∴=3×2+(﹣1)×1=5. 故选:A. 10.(5分)(2015•广东)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则 card(E)+card(F)=( ) A.200 B.150 C.100 D.50 【分析】 对于集合E,s=4时,p,q,r从0,1,2,3任取一数都有4种取法,从而构成的元素(p,q,r,s)有4×4×4=64个,再讨论s=3,2,1的情况,求法一样,把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数,而对于集合F,需讨论两个数:u,w,方法类似,最后把求得的集合E,F元素个数相加即可. 【解答】解:(1)s=4时,p,q,r的取值的排列情况有4×4×4=64种; s=3时,p,q,r的取值的排列情况有3×3×3=27种; s=2时,有2×2×2=8种; s=1时,有1×1×1=1种; ∴card(E)=64+27+8+1=100; (2)u=4时:若w=4,t,v的取值的排列情况有4×4=16种; 若w=3,t,v的取值的排列情况有4×3=12种; 若w=2,有4×2=8种; 若w=1,有4×1=4种; u=3时:若w=4,t,v的取值的排列情况有3×4=12种; 若w=3,t,v的取值的排列情况有3×3=9种; 若w=2,有3×2=6种; 若w=1,有3×1=3种; u=2时:若w=4,t,v的取值的排列情况有2×4=8种; 若w=3,有2×3=6种; 若w=2,有2×2=4种; 若w=1,有2×1=2种; u=1时:若w=4,t,v的取值的排列情况有1×4=4种; 若w=3,有1×3=3种; 若w=2,有1×2=2种; 若w=1,有1×1=1种; ∴card(F)=100; ∴card(E)+card(F)=200. 故选A. 二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11~13题) 11.(5分)(2015•广东)不等式﹣x2﹣3x+4>0的解集为 (﹣4,1) .(用区间表示) 【分析】首先将二次项系数化为正数,然后利用因式分解法解之. 【解答】解:原不等式等价于x2+3x﹣4<0,所以(x+4)(x﹣1)<0,所以﹣4<x<1; 所以不等式的解集为(﹣4,1); 故答案为:(﹣4,1). 12.(5分)(2015•广东)已知样本数据 x1,x2,…,xn的均值=5,则样本数据 2x1+1,2x2+1,…,2xn+1 的均值为 11 . 【分析】利用平均数计算公式求解 【解答】解:∵数据x1,x2,…,xn的平均数为均值=5, 则样本数据 2x1+1,2x2+1,…,2xn+1 的均值为:=5×2+1=11; 故答案为:11. 13.(5分)(2015•广东)若三个正数 a,b,c 成等比数列,其中a=5+2,c=5﹣2,则 b= 1 . 【分析】由已知可得,b2=ac,代入已知条件即可求解b 【解答】解:∵三个正数 a,b,c 成等比数列, ∴b2=ac, ∵a=5+2,c=5﹣2, ∴=1, 故答案为:1. 坐标系与参数方程选做题 14.(5分)(2015•广东)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,曲线C2的参数方程为 (t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为 (2,﹣4) . 【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,把代入可得直角坐标方程.曲线C2的参数方程为 (t为参数),化为普通方程:y2=8x.联立解出即可. 【解答】解:曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,化为直角坐标方程:x+y+2=0. 曲线C2的参数方程为 (t为参数),化为普通方程:y2=8x. 联立,解得, 则C1与C2交点的直角坐标为(2,﹣4). 故答案为:(2,﹣4). 几何证明选讲选做题 15.(2015•广东)如图,AB为圆O的直径,E为AB 的延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4.CE=2,则 AD= 3 . 【分析】连接OC,则OC⊥DE,可得,由切割线定理可得CE2=BE•AE,求出BE,即可得出结论. 【解答】解:连接OC,则OC⊥DE, ∵AD⊥DE, ∴AD∥OC, ∴ 由切割线定理可得CE2=BE•AE, ∴12=BE•(BE+4), ∴BE=2, ∴OE=4, ∴, ∴AD=3 故答案为:3. 三、解答题(共6小题,满分80分) 16.(12分)(2015•广东)已知 tanα=2. (1)求tan(α+)的值; (2)求 的值. 【分析】(1)直接利用两角和的正切函数求值即可. (2)利用二倍角公式化简求解即可. 【解答】解:tanα=2. (1)tan(α+)===﹣3; (2)== ==1. 17.(12分)(2015•广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为,[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 【分析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得; (2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中位数为a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得; (3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数. 【解答】解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1, 解方程可得x=0.0075,∴直方图中x的值为0.0075; (2)月平均用电量的众数是=230, ∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5, ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内, 设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得a=224, ∴月平均用电量的中位数为224; (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25, 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15, 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10, 月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025×20×100=5, ∴抽取比例为=, ∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5户. 18.(14分)(2015•广东)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C 到平面PDA的距离. 【分析】(1)利用四边形ABCD是长方形,可得BC∥AD,根据线面平行的判定定理,即可得出结论; (2)利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC,即可证明BC⊥PD; (3)利用等体积法,求点C到平面PDA的距离. 【解答】(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD, 因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA; (2)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD, 因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂面ABCD, 所以BC⊥平面PDC, 因为PD⊂平面PDC, 所以BC⊥PD; (3)解:取CD的中点E,连接AE和PE, 因为PD=PC,所以PE⊥CD, 在Rt△PED中,PE===. 因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC, 所以PE⊥平面ABCD. 由(2)知:BC⊥平面PDC, 由(1)知:BC∥AD, 所以AD⊥平面PDC, 因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD. 设点C到平面PDA的距离为h. 因为VC﹣PDA=VP﹣ACD, 所以, 所以h==, 所以点C到平面PDA的距离是. 19.(14分)(2015•广东)设数列 {an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1. (1)求a4的值; (2)证明:{an+1﹣an}为等比数列; (3)求数列{an}的通项公式. 【分析】(1)直接在数列递推式中取n=2,求得; (2)由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1(n≥2),变形得到4an+2+an=4an+1(n≥2),进一步得到,由此可得数列{}是以为首项,公比为的等比数列; (3)由{}是以为首项,公比为的等比数列,可得.进一步得到,说明{}是以为首项,4为公差的等差数列,由此可得数列{an}的通项公式. 【解答】(1)解:当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即, 解得:; (2)证明:∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1(n≥2),∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn(n≥2), 即4an+2+an=4an+1(n≥2), ∵,∴4an+2+an=4an+1. ∵=. ∴数列{}是以=1为首项,公比为的等比数列; (3)解:由(2)知,{}是以为首项,公比为的等比数列, ∴. 即, ∴{}是以为首项,4为公差的等差数列, ∴,即, ∴数列{an}的通项公式是. 20.(14分)(2015•广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线 C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由. 【分析】(1)通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论; (2)设当直线l的方程为y=kx,通过联立直线l与圆C1的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论; (3)通过联立直线L与圆C1的方程,利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论. 【解答】解:(1)∵圆C1:x2+y2﹣6x+5=0, 整理,得其标准方程为:(x﹣3)2+y2=4, ∴圆C1的圆心坐标为(3,0); (2)设当直线l的方程为y=kx、A(x1,y1)、B(x2,y2), 联立方程组, 消去y可得:(1+k2)x2﹣6x+5=0, 由△=36﹣4(1+k2)×5>0,可得k2< 由韦达定理,可得x1+x2=, ∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中﹣<k<, ∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为:(x﹣)2+y2=,其中<x≤3; (3)结论:当k∈(﹣,)∪{﹣,}时,直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点. 理由如下: 联立方程组, 消去y,可得:(1+k2)x2﹣(3+8k2)x+16k2=0, 令△=(3+8k2)2﹣4(1+k2)•16k2=0,解得k=±, 又∵轨迹C的端点(,±)与点(4,0)决定的直线斜率为±, ∴当直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点时, k的取值范围为(﹣,)∪{﹣,}. 21.(14分)(2015•广东)设 a为实数,函数 f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1). (1)若f(0)≤1,求a的取值范围; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当a≥2 时,讨论f(x)+ 在区间 (0,+∞)内的零点个数. 【分析】(1)利用f(0)≤1,得到|a|+a﹣1≤0,对a分类讨论求解不等式的解集即可. (2)化简函数f(x)的解析式,通过当x<a时,当x≥a时,利用二次函数f(x)的对称轴求解函数的单调区间即可. (3)化简F(x)=f(x)+ ,求出函数的导数,利用导函数的符号,通过a的讨论判断函数的单调性,然后讨论函数的零点的个数. 【解答】解:(1)若f(0)≤1,即:a2+|a|﹣a(a﹣1)≤1.可得|a|+a﹣1≤0, 当a≥0时,a,可得a∈[0,]. 当a<0时,|a|+a﹣1≤0,恒成立. 综上a. ∴a的取值范围:; (2)函数 f(x)==, 当x<a时,函数f(x)的对称轴为:x==a+>a, y=f(x)在(﹣∞,a)时是减函数, 当x≥a时,函数f(x)的对称轴为:x==a﹣<a, y=f(x)在(a,+∞)时是增函数, (3)F(x)=f(x)+=, , 当x<a时,=, 所以,函数F(x)在(0,a)上是减函数. 当x≥a时,因为a≥2,所以,F′(x)=═ , 所以,函数F(x)在(a,+∞)上是增函数. F(a)=a﹣a2+.当a=2时,F(2)=0,此时F(x)有一个零点,当a>2时,F(a)=a﹣a2+, F′(a)=1﹣2a==. 所以F(ah)在(2,+∞)上是减函数, 所以F(a)<,即F(a)<0, 当x>0且x→0时,F(x)→+∞;当x→+∞时,F(x)→+∞,所以函数F(x)有两个零点. 综上所述,当a=2时,F(x)有一个零点,a>2时F(x)有两个零点. 参与本试卷答题和审题的老师有:wkl197822;changq;maths;双曲线;刘长柏;吕静;沂蒙松;qiss;lincy;sxs123;cst(排名不分先后) 2017年2月3日查看更多