2006年湖南省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2006年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5，满分50）
1. 函数y=log2x-2的定义域是（ ）
A.(3, +∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞)
2. 若数列{an}满足：a1=13，且对任意正整数m，n都有am+n=am⋅an，则limn→+∞(a1+a2+...+an)=( )
A.12 B.23 C.32 D.2
3. 过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（ ）
A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
4. “a＝1”是“函数f(x)＝|x-a|在区间[1, +∞)上为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 已知|a→|＝2|b→|≠0，且关于x的方程x2+|a→|x+a→⋅b→=0有实根，则a→与b→的夹角的取值范围是（ ）
A.[0, π6] B.[π3, π] C.[π3, 2π3] D.[π6, π]
6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )
A.16种 B.36种 C.42种 D.60种
7. 过双曲线M:x2-y2b2=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A.10 B.5 C.103 D.52
8. 设函数f(x)=x-ax-1，集合M={x|f(x)<0}，P={x|f'(x)>0}，若M⊂P，则实数a的取值范围是（ ）
A.(-∞, -1) B.(0, 1) C.(1, +∞) D.[1, +∞)
9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）
A.22 B.32 C.2 D.3
10. 若圆x2+y2-4x-4y-10＝0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by＝0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A.[π12,π4] B.[π12,5π12] C.[π6,π3] D.[0,π2]
二、填空题（共5小题，每小题4，满分20）
11. 若(ax-1)5的展开式中x3的系数是-80，则实数a的值是________．
12. 已知x≥1x-y+1≤02x-y-2≤0，则x2+y2的最小值是________．
13. 曲线y=1x和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．
14. 若f(x)=asin(x+π4)+bsin(x-π4)(ab≠0)是偶函数，则有序实数对(a, b)可以是________．（注：写出你认为正确的一组数字即可）
15. 如图，OM // AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP→=xOA→+yOB→，则x的取值范围是________；当x=-12时，y的取值范围是________．
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三、解答题（共6小题，满分80）
16. 如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=a，∠ABC=β．
（1）证明sina+cos2β=0；
（2）若AC=3DC，求β的值．
17. 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：
（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；
（2）平均有多少家煤矿必须整改；
（3）至少关闭一家煤矿的概率．
18. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4．
（1）证明PQ⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AQ与PB所成的角；
（3）求点P到平面QAD的距离．
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19. 已知函数f(x)=x-sinx，数列{an}满足：0
a-1)，用y质量的水第二次清洗后的清洁度是y+acy+a，其中c(0.80)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．
（1）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（2）是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
2006年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5，满分50）
1.D
2.A
3.D
4.A
5.B
6.D
7.A
8.D
9.C
10.B
二、填空题（共5小题，每小题4，满分20）
11.-2
12.5
13.34
14.(1, -1)
15.(-∞, 0),(12,32)
三、解答题（共6小题，满分80）
16.解：（1）∵ α=π2-∠BAD=π2-(π-2β)=2β-π2
∴ sinα=sin(2β-π2)=-cos2β，
即sinα+cos2β=0
（2）△ADC中由正弦定理DCsinα=ACsin(π-β)即DCsinα=ACsinβ
则sinβ=3sinα
由（1）得sinβ=-3cos2β=-3(1-2sin2β)
即23sin2β-sinβ-3=0
解得sinβ=32或sinβ=-33
∵ 0<β<π2∴ sinβ=32∴ β=π3
17.解：（1）每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，
且每家煤矿是否整改是相互独立的．
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
P1=C52×(1-0.5)2×0.53=516=0.31．
（2）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B(5, 0.5)．
从而ξ的数学期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家煤矿必须整改．
（3）某煤矿被关闭，
即该煤矿第一次安检不合格，
整改后经复查仍不合格，
所以该煤矿被关闭的概率是
P2=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1，
从而该煤矿不被关闭的概率是0.9．
由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，
所以至少关闭一家煤矿的概率是
P3=1-0.95=0.41
18.解法一：（1）连接AC、BD，设AC∩BD=O．由P-ABCD与Q-ABCD
都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD．
（2）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
由（1），PQ⊥平面ABCD，
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故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0, 0, 1)，Q(0, 0, -2)，B(0,22，0)
所以AQ→=(-22,0,-2)，PB→=(0,22,-1)，
于是cos=|AQ→|⋅|PB→|˙=39．
从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos39．
（3）．由（2），点D的坐标是(0, -22, 0)，AD→=(-22,-22,0)，PQ→=(0,0,-3)，
设n→=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，
由n→⋅AD→=0˙得2x+z=0x+y=0．
取x=1，得n→=(1,-1,-2)．
所以点P到平面QAD的距离d=|n→|˙=322．
解法二：（1）．取AD的中点M，连接PM，QM．
因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM．从而AD⊥平面PQM．
又PQ⊂平面PQM，所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB，
所以PQ⊥平面ABCD、
（2）．连接AC、BD设AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在
PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．
取OC的中点N，连接PN．
因为POOQ=12，NOOA=NOOC=12，
所以POOQ=NOOA，
从而AQ // PN．∠BPN（或其补角）是异面直线AQ
与PB所成的角．连接BN，
因为PB=OB2+OP2=(22)2+1=3．PN=ON2+OP2=(2)2+1=3BN=OB2+ON2=(22)2+(2)2=10
所以cos∠BPN=PB2+PN2-BN22PB⋅PN=9+3-102×3×3=39．
从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos39．
（3）．由（1）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、过P作PH⊥QM
于H，则PH⊥平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．
连接OM，则OM=12AB=2=OQ．
所以∠MQP=45∘，
又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45∘=322．
即点P到平面QAD的距离是322
19.证明：（1）先用数学归纳法证明00，
所以f(x)在(0, 1)上是增函数．又f(x)在[0, 1]上连续，
从而f(0)-2(x2)2+x22=0．
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所以g(x)在(0, 1)上是增函数．
又g(x)在[0, 1]上连续，且g(0)=0，
所以当00成立．
于是g(an)>0，即sinan-an+16an3>0．
故an+1<16an3．
20.解：（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有x+0.8x+1=0.99，
解得x=19．
由c=0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：y+0.95ay+a=0.99，
解得y=4a，故z=4a+3．
即两种方案的用水量分别为19与4a+3．
因为当1≤a≤3时，x-z=4(4-a)>0，
即x>z，
故方案乙的用水量较少．
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（1）得
x=5c-45(1-c)，y=a(99-100c)(*)
于是x+y=5c-45(1-c)+a(99-100c)=15(1-c)+100a(1-c)-a-1
当a为定值时，x+y≥215(1-c)×100a(1-c)-a-1=-a+45a-1，
当且仅当15(1-c)=100a(1-c)时等号成立．
此时c=1+1105a(不合题意，舍去)或c=1-1105a∈(0.8,0.99)，
将c=1-1105a代入(*)式得x=25a-1>a-1，y=25a-a．
故c=1-1105a时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为25a-1与25a-a，
最少总用水量是T(a)=-a+45a-1．
当1≤a≤3时，T'(a)=25a-1>0，
故T(a)是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）．
这说明，随着a的值的增加，最少用水总量增加．
21.解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为：
x=1，从而点A的坐标为(1, 32)或(1, -32)．
因为点A在抛物线上．
所以94=2p，即p=98．
此时C2的焦点坐标为(916, 0)，该焦点不在直线AB上．
（2）解法一：假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由（1）知直线AB
的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k(x-1)．
由y=k(x-1)x24+y23=1消去y得(3+4k2)x2-8k4x+4k2-12=0①
设A、B的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则x1，x2是方程①的两根，x1+x2=8k43+4k2．
由(y-m)2=2pxy=k(x-1)
消去y得(kx-k-m)2=2px．②
因为C2的焦点F'(p2，m)在直线y=k(x-1)上，
所以m=k(p2-1)，即m+k=kp2．代入②有(kx-kp2)2=2px．
即k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0．=3③
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由于x1，x2也是方程=3③的两根，
所以x1+x2=p(k2+2)k2．
从而8k43+4k2=p(k2+2)k2．
解得p=8k4(4k2+3)(k2+2)=4④
又AB过C1...C2的焦点，
所以|AB|=(x1+p2)+(x2+p2)=x1+x2+p=(2-12x1)+(2-12x2)，
则p=4-32(x1+x2)=4-12k24k2+3=4k2+124k2+3．=5⑤
由=4④、=5⑤式得8k4(4k2+3)(k2+2)=4k2+124k2+3，即k4-5k2-6=0．
解得k2=6．于是k=±6，p=43．
因为C2的焦点F'(23，m)在直线y=±6(x-1)上，
所以m=±6(23-1)．
∴ m=63或m=-63．
由上知，满足条件的m、p存在，且m=63或m=-63，p=43．
解法二：设A、B的坐标分别为(x1, y1)，(x2y2)．
因为AB既过C1的右焦点F(1, 0)，又过C2的焦点F'(p2，m)，
所以|AB|=(x1+p2)+(x2+p2)=x1+x2+p=(2-12x1)+(2-12x2)．
即x1+x2=23(4-p)． ①
由（1）知x1≠x2，p≠2，于是直线AB的斜率k=y2-y1x2-x1=m-0p2-1=2mp-2，②
且直线AB的方程是y=2mp-2(x-1)，
所以y1+y2=2mp-2(x1+x2-2)=4m(1-p)3(p-2)．③
又因为3x12+4y12=123x22+4y22=12，
所以3(x1+x2)+4(y1+y2)⋅y2-y1x2-x1=0．④
将①、②、③代入④得m2=3(p-4)(p-2)216(1-p)．=5⑤
因为(y1-m)2=2px1(y2-m)2=2px2，
所以y1+y2-2m=2px2-x1y2-y1．=6⑥
将②、③代入=6⑥得m2=3p(p-2)216-10p．=7⑦
由=5⑤、=7⑦得3(p-4)(p-2)216(1-p)=3p(p-2)216-10p．
即3p2+20p-32=0
解得p=43或p=-8(舍去)．
将p=43代入=5⑤得m2=23，
∴ m=63或m=-63．
由上知，满足条件的m、p存在，
且m=63或m=-63，p=43
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