数学理卷·2018届江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学、十七中、桑海中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学、十七中、桑海中学高二下学期期中考试（2017-04）

‎2016—2017学年度第二学期期中联考 高二理科数学试卷 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。) ‎ ‎1．已知﹛a ，b ，c﹜是空间的一个基底，则下列选项可构成空间的一个基底的是（ ）‎ A．﹛a，a—2b，2 a+b﹜ B．﹛b，b +c，b—c﹜ ‎ C．﹛2a—3b，a+b，a—b﹜ D．﹛a+b，b—c，c+2a﹜‎ ‎2．已知是两条直线， 是两个平面， 则下列命题中不正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎3．若A（1，﹣2，11），B（4，2，7），C（x，y，15）三点共线，那么x，y的值分别是（　　）‎ A．2，-4 B．-2，-6 C．，﹣4 D．﹣2，﹣8‎ ‎4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如右下图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．正三棱柱ABC—A1B1C1所有棱长都相等，则AC1 与平面BB1C1C所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将三角形 ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）‎ A. 30° B.45° C.60° D. 90°‎ ‎7．是二面角的棱上两点，是平面上一点，于，与成45°角，与平面成30°角，则二面角的大小是（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°‎ ‎8.已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．如右图，在直棱柱ABC—A1B1C1中，，4 AC=AA1=2BC=4，D为AA1上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（ ）‎ A． B． C．2 D． ‎ ‎10.已知长方体ABCD——A1B1C1D1，AD=AB，E为CC1中点，P在对角面BB1D1D所在平面内运动，若EP与AC成30°角，则点P轨迹为（ ）‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎11．在四面体中，，则该四面体外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，点P在线段BD1上．当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．若a =，b=，则与a+b同向的单位向量是 ‎ ‎14．若直线的方向向量a =，平面的一个法向量n= ，则直线与平面所成角为，则= ‎ ‎15．在棱长为的正四面体ABCD中，E为线段AD上一点，满足AE=AD，F是AC的中点，则= ‎ ‎16．已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：‎ ‎① ； ‎ ‎②； ‎ ‎③；‎ ‎④函数在上是增函数，在上是减函数．‎ 其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，‎ ‎(1) 若空间中的点D与A、B、C正好组成平行四边形ABCD，求点D的坐标；‎ ‎(2) 求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与平面ABCD成60°角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=AD ‎（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（2）设E是棱PD上一点，且PE=PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，平面，∥，，，为上一点，平面．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）若，求点D到平面EMC的距离．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，平面，，，为的中点．‎ ‎（1）求二面角的余弦值；‎ ‎（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥，底面是的菱形，侧面是边长为的正三角形，且与底面ABCD垂直，为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的余弦值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面BCC1B1为矩形，∠A1AB=，二面角A﹣BC﹣A1的正切值为．‎ ‎（1）求侧棱AA1的长；‎ ‎（2）侧棱CC1上是否存在点D，使得直线AD与平面A1BC所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．‎ 高二理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B C D C B C A A D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 　 　 14． ‎ ‎15． 16．①④　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分）‎ ‎17.解：（1）设，由题意可知，，即=，得，所以………………………………5分 ‎（2），，则 所以，故平行四边形的面积……………………10分 ‎19. （1）证明：取AC的中点F，连接BF，，‎ ‎ ……………………5分 ‎（2）∵平面，面，∴平面平面，‎ 平面平面，过点作直线，则平面，‎ 由已知平面，∥，，可得，‎ 又，∴为的中点，‎ 在中，，‎ 在中，， ，‎ 在中，，由等面积法知， ‎ ‎∴，即点D到平面EMC的距离为．……………………12分 ‎20. 解：（1）如图，在平面内，作∥，则两两互相垂直，‎ 建立空间直角坐标系．则， ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，， ．设平面的法向量为，则即令，则．‎ 所以．为平面的法向量，设的夹角为，则．‎ 因为二面角为锐角，所以 二面角的余弦值为……6分 ‎（2） 设是线段上 一点，且．‎ 即．所以 ‎ 所以 由，得 ．‎ 因为，所以在线段上存在点，‎ 使得此时，．…………………… 12分 ‎21. （1）证明：取AD中点O，连接OP，OC，AC，由题意可知△PAD，△ACD均为正三角形 ‎（2）方法1：由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，∴平面．即为三棱锥的高．‎ 在中，，，在中，，，边上的高，∴的面积 ‎．‎ 设点到平面的距离为，由得，，又，∴，解得．故点到平面的距离为． 设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成的角的正弦值为． ‎ 方法2：用空间向量来计算．‎ ‎22. 解：（1）取BC的中点E，C1B1的中点F，则四边形AEFA1为平行四边形，‎ ‎∵AB=AC=2，∴AE⊥BC，‎ ‎∵侧面BCC1B1为矩形，∴BC⊥EF，‎ ‎∴BC⊥平面AEFA1，则BC⊥A1E，‎ 故∠A1EA 是二面角A﹣BC﹣A1的平面角，‎ 则tan∠A1EA=，则sin∠A1EA=，‎ cos∠A1EA=，设AA1=x，∵AB⊥AC，AB=AC=2，∴CE=BE=，‎ ‎∵∠A1AB=，∴A1B2=x2+22﹣2×2xcos=x2+2x+4，‎ 又A1E2=A1B2﹣BE2=x2+2x+4﹣2=x2+2x+2，‎ 在△AEA1中x2=A1E2+22﹣2×2A1E=x2+2x+2﹣•，‎ 即•=2x+2，‎ 平方整理得3x2﹣4x﹣4=0，得x=2或x=﹣（舍），即侧棱AA1=2；‎ ‎（2）建立以E为坐标原点，EA，EB，Ez分别为x，y，z轴的空间直角坐标系 过A1作AH⊥底面ABC，∵AA1=2，∴A1B2=x2+2x+4=12，则A1B=2，‎ A1E==，则A1H=A1Esin∠A1EA=×=，AH=，‎ 则A1（2，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（0，﹣，0）‎ 则=（﹣2，，﹣），=（0，﹣2，0），‎ 设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），‎ 由•=﹣2x+y﹣z=0，•=﹣2y=0，‎ 则y=0，令x=1，则z=﹣2，即=（1， 0，﹣2），‎ ‎==（，0，），设=m=（m，0，m），0＜m＜1，‎ ‎=+=（﹣，﹣， 0）+（m，0，m）‎ ‎=（（m﹣1），﹣，m），‎ ‎∵AD与平面A1BC所成角的正切值tanθ=，∴sinθ=，‎ 即sinθ==|cos＜，＞|=||=，‎ 平方得7m2﹣10m+7=0，‎ 此时判别式△=100﹣4×7×7=100﹣196=﹣96＜0，则方程无解，‎ 即在侧棱CC1上不存在点D，使得直线AD与平面A1BC所成角的正切值为．‎