湖北省武汉市外国语学校2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

湖北省武汉市外国语学校2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 湖北省武汉外国语学校2020届高三模拟（文科）数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出中的范围确定出，找出与的交集即可．‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2.设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，然后对其化简即可.‎ 详解】由，得.‎ 由于的实部小于0，虚部大于0，故在复平面内对应的点位于第二象限.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义，较简单.‎ ‎3.据统计，我国2012～2017年全国二氧化硫排放量如下表：‎ 年份/年 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ - 24 -‎ 总量/万吨 ‎2117.632‎ ‎2043.922‎ ‎1974.42‎ ‎1859.119‎ ‎1102.864‎ ‎875.3976‎ 则以下结论中错误的是( )‎ A. 二氧化硫排放量逐年下降 B. 2016年二氧化硫减排效果最为显著 C. 2016年二氧化硫减排量比2013年至2015年二氧化硫减排量的总和大 D. 2017年二氧化硫减排量比2016年二氧化硫减排量有所增加 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由统计表中数据易得二氧化硫的排放量逐年下降，2013～2017年每年的减排量分别为73.71，69.502，115.301，756.255，227.4664.‎ ‎【详解】由统计表中数据易得二氧化硫的排放量逐年下降，A选项正确；‎ 由表中数据易得2013～2017年每年的减排量分别为73.71，69.502，115.301，756.255，227.4664，‎ 则2016年二氧化硫减排量最大，超过2013年至2015年减排量的总和，其减排效果最为显著，‎ 故选项B，C正确，选项D错误.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查的是统计的相关知识，较简单.‎ ‎4.已知向量，.若，则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，然后由得，即可求出 ‎【详解】由题意知 - 24 -‎ 若，则，‎ 化简得，解得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的是向量坐标形式下的计算，较简单,‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. B. 0 C. 30 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中的程序框图，模拟运行，分为奇数和偶数讨论，确定的正负，依据数列求和即可得到答案．‎ ‎【详解】因为当为奇数时，；‎ 当为偶数时，，‎ 所以输出的值为.‎ 故选C.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用，考查了条件结构和循环结构的知识点．本题解题的时候要特别注意的奇偶性，也就是的正负．属于基础题．‎ ‎6.设，则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出对应的范围即可 ‎【详解】由题意易知，，，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的是比较指数幂和对数的大小，较简单.‎ ‎7.数学发展史上出现过许多关于圆周率的含有创意的求法，如著名的蒲丰实验.受其启发，我们也可以通过下面的实验来估计的值：在平面直角坐标系内，记曲线分别与轴围成的区域为，，将1000颗黄豆丢入区域中，若在区域内恰有630颗黄豆，则由此估计圆周率的值（保留3位有效数字）为( )‎ A. 3.13 B. 3.14 C. 3.17 D. 3.19‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分别求出区域和区域的面积，然后利用几何概型的概率的计算公式计算即可.‎ ‎【详解】曲线的图象如下：‎ - 24 -‎ 所以区域的面积为，区域的面积为1，‎ 所以，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查的是几何概型的应用，较简单.‎ ‎8.函数的图象可看作是将函数的图象向左平移一个单位长度而得到的，则函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 根据函数平移以及变化规律，求得的解析式进而得到为奇函数，再逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．‎ ‎【详解】由已知可得，‎ 显然，故为奇函数，‎ 其图象关于原点对称，排除A；‎ 当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，排除D；‎ ‎，排除B，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】考查函数的图象，考查数学直观，逻辑推理的数学素养，属于基础题．‎ ‎9.已知实数满足，则的最小值为( )‎ A. B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组表示的可行域，令，则，由图象可得当时取得最小值.‎ ‎【详解】作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.‎ 令，则 - 24 -‎ 由指数函数的单调性可知，当取得最小值时，目标函数取得最小值.‎ 平移直线，可知当其经过可行域内的点时，取得最小值.‎ 联立得即，则，故.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查的是线性规划及指数函数的知识，属于基础题.‎ ‎10.如图，函数图象上一个周期内的，两点，满足.若，要得到函数的图象，则需将函数的图象（ ）‎ A. 向左移动个单位 B. 向右移动个单位 C. 向左移动个单位 D. 向右移动个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用和诱导公式构建等式关系，得到和的关系，再利用，解出，最后由三角函数图象的变换规律得到结果.‎ ‎【详解】由和，‎ 得，‎ 所以，得，‎ 由图象，所以，解得，‎ - 24 -‎ 所以，‎ 故需要将向左移动个单位得到得到函数的图象.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数的平移变换，注意平移不包括平移的系数，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.‎ ‎11.设椭圆与双曲线有公共焦点，过它们的右焦点F作x轴的垂线与曲线，在第一象限分别交于点M，N，若（O为坐标原点），则与的离心率之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由面积比可得，转化为纵坐标之比，即可得，写出离心率之比即可,‎ ‎【详解】设右焦点为，则.‎ 依题意，，，‎ 若，‎ 则，‎ 即，‎ 即，‎ - 24 -‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的标准方程和几何性质，属于中档题.‎ ‎12.已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为，则该三棱柱的高为( )‎ A. B. 3 C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，分别为三棱柱上、下底面的中心，连接，则三棱柱外接球的球心为的中点，设三棱柱外接球的半径为，由求出，然后利用算出即可.‎ ‎【详解】由题意易知该三棱柱是底面边长为2的正三棱柱.‎ 设，分别为三棱柱上、下底面的中心，连接，‎ 则三棱柱外接球的球心为的中点，如图.‎ 设三棱柱外接球的半径为.∵三棱柱的外接球的表面积为，∴，‎ ‎∴.又，‎ ‎∴，∴该三棱柱的高为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的是几何体的外接球的知识，找出球心的位置是解题的关键.‎ - 24 -‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.曲线在点处的切线在轴上的截距为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出和，然后求出切线方程即可.‎ ‎【详解】由得，‎ 所以曲线在点处的切线的斜率为，又，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即，‎ 所以切线在轴上的截距为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单.‎ ‎14.在中，的对边分别是，且，则角的大小为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，即，然后即可求出答案.‎ ‎【详解】由及正弦定理得：，‎ 即.∵在中，，‎ ‎∴，∵，∴.‎ 故答案为：‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查的是利用正弦定理进行边角互化及三角函数的和差公式，较为典型.‎ ‎15.已知函数是奇函数的导函数，且满足时，则不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,利用导数得出其单调性，然后得出当时，，当时，，进而得出当时，，再结合的奇偶性即可解出答案.‎ ‎【详解】设，则.‎ 因为当时，，所以当时，函数单调递减.‎ 因为，所以当时，，当时，.‎ 因为当时，，当时，，‎ 所以当且时，，又，所以，‎ 所以当时，.‎ 又为奇函数，所以当时，，‎ 所以不等式可化为或 解得，所以不等式的解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造出函数是解题的关键，属于较难题.‎ ‎16.已知抛物线：的焦点为，准线为．过点作倾斜角为 - 24 -‎ 的直线与准线相交于点，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去，解方程求得的值，再写出抛物线的标准方程．‎ ‎【详解】由题得直线的方程为，从而；‎ 由消去，‎ 得，‎ 解得或（舍去），从而；‎ 由得，，‎ 解得，所以抛物线的标准方程为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.已知正项等比数列的前项和为，且满足，． ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列，，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，记，求数列的前项和．‎ - 24 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一问先列出关于与的方程组求出与，再求出；第二问先求出，再求出，然后利用分组求和法即可求其前项和．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设数列的公比为，由已知得，由题意得，‎ 所以，解得，所以，‎ 因此数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ 所以数列的前项和.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、前项和公式及分组求和法，属中等难度题．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．‎ - 24 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一问先证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明平面平面．第二问利用等积法可得，分别求出的面积和BM的长度即可解决问题．‎ ‎【详解】（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.‎ ‎∵为的中点，∴.‎ ‎∵，平面，∴.‎ 又平面，平面，∴平面.‎ ‎∵，分别为，的中点，∴.‎ 又平面，平面，∴平面.‎ 又平面，，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.‎ ‎∵平面平面，平面，∴平面.‎ 又，，∴.‎ 在中，∵，，∴.‎ ‎∵，分别为，的中点，‎ - 24 -‎ ‎∴的面积，‎ ‎∴三棱锥的体积.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题．‎ ‎19.已知椭圆的两个焦点分别为，且是圆的圆心，点的坐标为，且的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在直线与椭圆相交于，两点，使得直线与的斜率之和为1？若存在，求此时的直线方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先得出圆的圆心坐标，即可得，然后由解出即可 ‎（2）设，，联立直线和椭圆的方程得，然后代入，即可求出 ‎【详解】（1）由，可得，‎ 则圆心坐标为，即，‎ ‎∴半焦距.‎ ‎∵的面积为，‎ - 24 -‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设存在这样的直线满足题设条件，设，.‎ 联立消去可得，‎ ‎∴，解得，.‎ 由（1）知，，‎ 则当时，直线过点，不合题意，‎ 故.‎ 令 解得 因此所求直线方程为 ‎【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.‎ ‎20.当今时代，手机功能越来越丰富，这给我们的生活带来了很多的便利，然而过度玩手机已成为一个严重的社会问题，特别是在校学生过度玩手机，已严重影响了其身心发展和学业的进步.某校为了解学生使用手机的情况，从全校学生中随机抽取了100名学生，对他们每天使用手机的时间进行了统计，得到如下的统计表：‎ - 24 -‎ ‎（1）以样本估计总体，若在该校中任取一名学生，求该生使用手机时间不低于1小时的概率；‎ ‎（2）对样本中使用手机时间不低于1.5小时的学生，采用分层抽样的方法抽取6人，再在这6人中随机抽.取2人，求抽取的2人使用手机时间均低于2小时的概率；‎ ‎（3）经过进一步统计分析发现，使用手机时间低于1小时的学生中，有25人综合素质考核为“优”，使用手机时间不低于1小时的学生中，有20人综合素质考核为“优”，问：是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为综合素质考核为“优”与使用手机的时间有关？‎ 附：.‎ ‎【答案】（1）0.55；（2）；（3）能.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）样本中使用手机时间不低于1小时的频率为 ‎（2）由统计表知，使用手机时间不低于1.5小时的学生共30人，采取分层抽样的方法抽取6人，则在时间区间内的有3人，在时间区间内的有2人，在时间区间的有1人，然后列出所有的基本事件和满足所求事件的基本事件即可 ‎（3）列出列联表，然后算出即可 ‎【详解】（1）样本中使用手机时间不低于1小时的频率为，‎ 则在该校学生中任取一人，其使用手机时间不低于1小时的概率是0.55.‎ - 24 -‎ ‎（2）由统计表知，使用手机时间不低于1.5小时的学生共30人，‎ 采取分层抽样的方法抽取6人，则在时间区间内的有3人，记作1，2，3，‎ 在时间区间内的有2人，记作4，5，在时间区间的有1人，记作6‎ 从这6人中抽取2人，基本事件有 ‎，共15个，‎ 其中玩手机的时间均低于2小时的基本事件有，共3个，‎ 故所求概率为.‎ ‎（3）统计结果的列联表为：‎ 使用手机时间低于1小时 使用手机时间不低于1小时 合计 优 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 非优 ‎20‎ ‎35‎ ‎55‎ 合计 ‎45‎ ‎55‎ ‎100‎ 则.‎ 故能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为综合素质考核为“优”与使用手机的时间有关.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点有：分层抽样、古典概型及独立性检验，属于基础题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；‎ ‎（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，极小值为，当时，极大值为；（2）‎ - 24 -‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由求出，然后利用导数研究出的单调性即可 ‎（2）不等式可变形为，由，且，得函数在上单调递减，令，则在上恒成立，即在上恒成立，然后利用导数求出右边的最小值即可.‎ ‎【详解】（1）由题意得函数的定义域为，‎ 由函数在点处的切线方程为，得，解得.‎ 此时，.‎ 令，得或.‎ 当和时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 则当时，函数取得极小值，为，‎ 当时，函数取得极大值，为.‎ ‎（2）由得.‎ 不等式可变形为，即 - 24 -‎ ‎.‎ 因为，且，‎ 所以函数在上单调递减.‎ 令，‎ 则在上恒成立，‎ 即在上恒成立.‎ 设，‎ 则.‎ 因为当时，，‎ 所以函数在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的极值及利用导数解决恒成立问题，属于较难题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4--4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ - 24 -‎ ‎（1）求曲线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点为曲线上的点，直线经过圆的圆心，且倾斜角为，求点到直线的最大距离.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相关知识直接转化即可 ‎（2）首先得出直线的方程为，设，点到直线的距离，然后即可求出答案.‎ ‎【详解】（1）由可得，即，‎ 故曲线的普通方程为.‎ 由及，可得，‎ 所以圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）可知，圆的圆心为.‎ 因为直线经过圆的圆心，且倾斜角为，‎ 所以直线的方程为，‎ 即.‎ 由点为曲线上的点可设，‎ 则点到直线的距离（其中），‎ - 24 -‎ 所以，‎ 即点到直线的最大距离为.‎ ‎【点睛】本题考查的是参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化即利用参数方程解决最值问题，属于基础题.‎ 选修4--5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的图象与直线所围成图形的面积；‎ ‎（2）求不等式组的解集.‎ ‎【答案】（1）6；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）当时，，然后画出图象即可求出答案 ‎（2）当时，，由得，然后分和两种情况讨论.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 在同一直角坐标系中作出函数的图象与直线如图所示.‎ - 24 -‎ 由图可知，函数的图象与直线所围成图形的面积为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以当时，，‎ 所以当时，，即，解得.‎ ‎①当时，，此时不等式的解集为.‎ ‎②当时，，此时不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎ ‎ - 24 -‎