数学卷·2018届湖北省宜昌市长阳一中高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届湖北省宜昌市长阳一中高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．‎ ‎1．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（　　）‎ A．100 B．150 C．200 D．250‎ ‎2．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1‎ ‎4．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎5．执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　）‎ A．5 B．7 C．10 D．12‎ ‎6．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：‎ ‎ 广告费x ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 销售额y ‎29‎ ‎41‎ ‎50‎ ‎ 59‎ ‎ 71‎ 由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（　　）‎ A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2‎ ‎7．设函数f（x）=+lnx，则（　　）‎ A．x=为f（x）的极大值点 B．x=为f（x）的极小值点 C．x=2为 f（x）的极大值点 D．x=2为 f（x）的极小值点 ‎8．下列命题的叙述：‎ ‎①若p：∀x＞0，x2﹣x+1＞0，则￢p：∃x0≤0，x02﹣x0+1≤0；‎ ‎②三角形三边的比是3：5：7，则最大内角为π；‎ ‎③若•=•，则=；‎ ‎④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，‎ 其中真命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）‎ A．± B．± C．±1 D．±‎ ‎10．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数）以下命题正确的为（　　）‎ A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b C．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b ‎12．已知椭圆T： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，满35分，）‎ ‎13．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是　　．‎ ‎14．已知=2， =3， =4，…，若=6（a，t均为正实数）．类比以上等式，可推测a，t的值，则t+a=　　．‎ ‎15．如图，曲线y=f（x）在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f'（5）=　　．‎ ‎16．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）已知cosA=，求sinC的值．‎ ‎19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．‎ ‎20．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A、B两种不同的数学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验，为了解教学效果，期末考试后，陈老师利用随机抽样的方法分别从两个班级中各随机抽取20名学生，并对他们的成绩进行统计，作出茎叶图如图，记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．‎ ‎（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；‎ ‎（2）由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．‎ 甲班（A方式）‎ 乙班（B方式）‎ 总 计 成绩优秀 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 成绩不优秀 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 总计 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 附：K2=（其中n=a+b+c+d）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎21．已知椭圆C的焦点是，其上的动点P满足 ‎．点O为坐标原点，椭圆C的下顶点为R．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l2交椭圆C于M，N两点，试探究：无论k取何值时，是否恒为定值．是求出定值，不是说明理由．‎ ‎22．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x3+x+1．‎ ‎（1）若曲线y=g（x）的切线l过点A（0，），求切线l的方程；‎ ‎（2）讨论函数h（x）=2f（x）+g（x）﹣x3的单调性；‎ ‎（3）若x1，x2是函数f（x）的两个相异零点，求证：g（x1x2）＞g（e2）．（e为自然对数底数）‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．‎ ‎1．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（　　）‎ A．100 B．150 C．200 D．250‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．‎ ‎【解答】解：分层抽样的抽取比例为=，‎ 总体个数为3500+1500=5000，‎ ‎∴样本容量n=5000×=100．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．‎ ‎【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，‎ ‎∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，‎ 由A可得渐近线方程为y=±2x，‎ 由B可得渐近线方程为y=±x，‎ 由C可得渐近线方程为y=x，‎ 由D可得渐近线方程为y=x．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．‎ ‎【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，‎ 可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，‎ 抛物线的准线方程为：x=﹣2，‎ 代入椭圆方程，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．‎ ‎∴|AB|=6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　）‎ A．5 B．7 C．10 D．12‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；‎ 故输出的n值为7．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：‎ ‎ 广告费x ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 销售额y ‎29‎ ‎41‎ ‎50‎ ‎ 59‎ ‎ 71‎ 由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（　　）‎ A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．‎ ‎【解答】解：由题意， =4， =50．‎ ‎∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．‎ ‎∴当x=10时， =10.2×10+9.2=111.2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．设函数f（x）=+lnx，则（　　）‎ A．x=为f（x）的极大值点 B．x=为f（x）的极小值点 C．x=2为 f（x）的极大值点 D．x=2为 f（x）的极小值点 ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求出其导函数，并找到导函数大于0和小于0对应的区间，即可求出结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=+lnx；‎ ‎∴f′（x）=﹣+=；‎ x＞2⇒f′（x）＞0；‎ ‎0＜x＜2⇒f′（x）＜0．‎ ‎∴x=2为f（x）的极小值点．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．下列命题的叙述：‎ ‎①若p：∀x＞0，x2﹣x+1＞0，则￢p：∃x0≤0，x02﹣x0+1≤0；‎ ‎②三角形三边的比是3：5：7，则最大内角为π；‎ ‎③若•=•，则=；‎ ‎④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，‎ 其中真命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据命题的否定的定义可知①错误；首先根据三角形大边对大角的性质，确定长度为7的边所对的角最大，再使用余弦定理求出该角即可判断②正确；将原式移项变形得到，根据向量数量积的定义可知此时有三种可能，故③错误；若ac2＜bc2，则a＜b，但反之不成立，故④正确．‎ ‎【解答】解：对于①：根据命题的否定的定义可知，￢p：∃x0≤0，x02﹣x0+1≤0，故①错误；‎ 对于②：根据三角形大边对大角的性质，7所对的角最大，再由余弦定理，得cosα=，故，即最大内角为π，故②正确；‎ 对于③：若，则，此时，，或，有三种可能，故③错误；‎ 对于④：若ac2＜bc2，则a＜b，故ac2＜bc2是a＜b的充分条件；当a=﹣2，b=3，c=0时，a＜b，但ac2＜bc2不成立．所以ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，故④正确；‎ 综上可知，真命题的个数为2个，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）‎ A．± B．± C．±1 D．±‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A1B⊥A2C，可得，求出a=b，即可得出 双曲线的渐近线的斜率．‎ ‎【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），‎ ‎∵A1B⊥A2C，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴双曲线的渐近线的斜率为±1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，‎ 其中只有（3，4，5）为勾股数，‎ 故这3个数构成一组勾股数的概率为．‎ 故选：C ‎　‎ ‎11．设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数）以下命题正确的为（　　）‎ A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b C．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】利用指数函数的单调性、作差法即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：对于A．ea+2a=eb+3b，则ea﹣eb=3b﹣2a，若a＞b，则ea﹣eb＞0，而3b﹣2a＞0不一定成立．‎ 对于B．ea+2a=eb+3b，则ea﹣eb=3b﹣2a，若a＜b，则ea﹣eb＜0，而3b＞3a＞2a，因此一定成立．‎ 同理可得：C，D不正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆T： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．‎ ‎【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵，∴y1=﹣3y2，‎ ‎∵，设，b=t，‎ ‎∴x2+4y2﹣4t2=0①，‎ 设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，‎ ‎∴，，‎ 解得，‎ 故选B ‎　‎ 二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，满35分，）‎ ‎13．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是　600　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出合格人数．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图得合格的频率=（0.035+0.015+0.01）×10=0.6‎ 合格的人数=0.6×1000=600‎ 故答案为：600‎ ‎　‎ ‎14．已知=2， =3， =4，…，若=6（a，t均为正实数）．类比以上等式，可推测a，t的值，则t+a=　41　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】观察所给式子的特点，找到相对应的规律，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵=2， =3，‎ ‎∴，，‎ ‎∵=6（a，t均为正实数）‎ ‎∴a=6，t=62﹣1=35，‎ ‎∴t+a=35+6=41．‎ 故答案为：41．‎ ‎　‎ ‎15．如图，曲线y=f（x）在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f'（5）=　2　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据题意，由图象和切线方程可得：f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1．即可得到结果．‎ ‎【解答】解：由于曲线f（x）在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，‎ 则f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1．‎ 故f（5）+f′（5）=3﹣1=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为　x2=16y　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程和离心率，可得b=a，c=2a，由点到直线的距离公式可得p的方程，代入化简可得p值，进而可得方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得双曲线C1：﹣=1的渐近线为y=±x，‎ 化为一般式可得bx±ay=0，离心率e===2，‎ 解得b=a，∴c==2a，‎ 又抛物线C2：x2=2py（p＞0）故焦点到bx±ay=0的距离d===2，‎ ‎∴p==8，‎ ‎∴抛物线C2的方程为：x2=16y 故答案为：x2=16y ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）bn=2+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+…+b10的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，‎ 解得，‎ 所以an=3+（n﹣1）=n+2；‎ ‎（Ⅱ）bn=2+n=2n+n，‎ 所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+‎ ‎=（2+22+…+210）+（1+2+…+10）‎ ‎=+=2101．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）已知cosA=，求sinC的值．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；‎ ‎（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．‎ ‎【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，‎ ‎∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，‎ ‎∴cosB=，∴B=．‎ ‎（2）∵cosA=，∴sinA=，‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．‎ ‎　‎ ‎19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，‎ ‎∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，‎ ‎∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，‎ 直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，‎ ‎∴AA1==，CF=．‎ 三棱锥F﹣AEC的体积：×==．‎ ‎　‎ ‎20．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A、B两种不同的数学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验，为了解教学效果，期末考试后，陈老师利用随机抽样的方法分别从两个班级中各随机抽取20名学生，并对他们的成绩进行统计，作出茎叶图如图，记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．‎ ‎（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；‎ ‎（2）由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．‎ 甲班（A方式）‎ 乙班（B方式）‎ 总 计 成绩优秀 ‎　1　‎ ‎　5　‎ ‎　6　‎ 成绩不优秀 ‎　19　‎ ‎　15　‎ ‎　34　‎ 总计 ‎　20　‎ ‎　20　‎ ‎　40　‎ 附：K2=（其中n=a+b+c+d）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件数，列举出结果，满足条件的事件也可以列举出结果，得到概率．‎ ‎（2）根据所给的数据，列出列联表，根据列联表中的数据，做出观测值，把观测值同临界值表进行比较，得到有90%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是 ‎（86，93）（86，96）（86，97）（86，99）（86，99）‎ ‎（93，96）（93，97）（93，99）（93，99）（96，97）（96，99）‎ ‎（96，99）（97，99）（97，99）（99，99）共有15种结果，‎ 符合条件的事件数（93，96）（93，97）（93，99）（93，99）（96，97）（96，99）‎ ‎（96，99）（97，99）（97，99）（99，99）共有10种结果，‎ 根据等可能事件的概率得到P==；‎ ‎（2）由已知数据得 ‎ 甲班（A方式）‎ 乙班（B方式）‎ 总 计 成绩优秀 ‎1‎ ‎5‎ ‎6‎ 成绩不优秀 ‎19‎ ‎15‎ ‎34‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据列联表中的数据，K2==3.137‎ 由于3.137＞2.706，‎ ‎∴有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C的焦点是，其上的动点P满足．点O为坐标原点，椭圆C的下顶点为R．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l2交椭圆C于M，N两点，试探究：无论k取何值时，是否恒为定值．是求出定值，不是说明理由．‎ ‎【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意设出椭圆方程，由已知求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）写出直线l2的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到M，N两点横坐标的和与积，由向量数量积的坐标表示求得恒为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0）．‎ ‎∵椭圆上的动点P满足，‎ ‎∴2a=4，a=2．‎ 又c=2，∴a2=12，b2=a2﹣c2=4，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）设l2：y=kx+1，联立方程组，‎ 消去y得（1+3k2）x2+6kx﹣9=0，‎ 又∵点（0，1）在椭圆C内，∴△＞0恒成立．‎ 设M （x1，kx1+1），N（x2，x2+1），‎ 则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，‎ 易知R（0，﹣2），=（x1，kx1+3），=（x2，kx2+3），‎ ‎∴•=x1x2+（kx1+3）（kx2+3）=（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9‎ ‎=（1+k2）•（﹣）+3k•（﹣）+9=0，与k无关．‎ 则无论k取何值时，恒为定值0．‎ ‎　‎ ‎22．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x3+x+1．‎ ‎（1）若曲线y=g（x）的切线l过点A（0，），求切线l的方程；‎ ‎（2）讨论函数h（x）=2f（x）+g（x）﹣x3的单调性；‎ ‎（3）若x1，x2是函数f（x）的两个相异零点，求证：g（x1x2）＞g（e2）．（e为自然对数底数）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）设切点为（m， m3+m+1），切线方程为y﹣（m3+m+1）=（m2+1）（x﹣m），代入点A得方程；（2）求导，由导数确定单调性；（3）构造函数μ（t）=lnt﹣，t∈（1，+∞），并判断其单调性，由此得到g（x1x2）＞g（e2）．‎ ‎【解答】解：（1）设切点为（m， m3+m+1），又∵g′（x）=x2+1．‎ ‎∴切线的斜率=m2+1，‎ 即切线方程为y﹣（m3+m+1）=（m2+1）（x﹣m），‎ ‎∴﹣（m3+m+1）=（m2+1）（0﹣m），‎ 解得，m=1，‎ 则切线方程为2x﹣y=0．‎ ‎（2）h（x）=2f（x）+g（x）﹣x3=2lnx﹣2ax+x+1，x∈（0，+∞）‎ h′（x）=，‎ ‎①当a时，h′（x）＞0，即h（x）在（0，+∞）上是增函数；‎ ‎②当a＞时，由h′（x）＞0解得0＜x＜；‎ ‎∴h（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．‎ ‎（3）证明：∵x1，x2是函数f（x）的两个相异零点，不妨设x1＞x2＞0，‎ ‎∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0；‎ ‎∴a=．‎ 故（x1﹣x2）（a﹣）=ln，‎ 设（t＞1），则μ（t）=lnt﹣，t∈（1，+∞），‎ μ′（t）=＞0，‎ ‎∴μ（t）在（1，+∞）是增函数，故μ（t）＞0，‎ 又∵x1﹣x2＞0，∴a﹣＞0，‎ ‎∴lnx1，+lnx2=ax2+ax1＞0；‎ 从而x1•x2＞e2．‎ 又g（x）=x3+x+1在R上是增函数，则g（x1x2）＞g（e2）．‎