高考数学专题复习：课时达标检测（三十七） 空间点、直线、平面之间的位置关系

高考数学专题复习：课时达标检测（三十七） 空间点、直线、平面之间的位置关系

课时达标检测（三十七） 空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：选A　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．‎ ‎2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交，充分性成立；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行，则A，B，C，D四点共面，必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要条件．‎ ‎3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)‎ A．b⊂α ‎ B．b∥α C．b⊂α或b∥α ‎ D．b与α相交或b⊂α或b∥α 解析：选D　结合正方体模型可知b与α相交或b⊂α或b∥α都有可能．‎ ‎4.如图，平行六面体ABCD A1B‎1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．‎ 解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的棱有5条．‎ 答案：5‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．若直线上有两个点在平面外，则(　　)‎ A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 解析：选D　根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．‎ ‎2．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是(　　)‎ A．6 B．‎12 C．12 D．24 解析：选A　如图，已知空间四边形ABCD，对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的角，大小为45°，故S四边形EFGH＝3×4×sin 45°＝6，故选A.‎ ‎3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 解析：选D　构造如图所示的正方体ABCDA1B‎1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B‎1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.‎ ‎4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)‎ A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 解析：选D　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．‎ ‎5.如图，ABCD A1B‎1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)‎ A．A，M，O三点共线 ‎ B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 ‎ D．B，B1，O，M共面 解析：选A　连接A‎1C1，AC，则A‎1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A‎1C⊂平面ACC‎1A1，因为M∈A‎1C，所以M∈平面ACC‎1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC‎1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC‎1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．‎ ‎6．过正方体ABCD A1B‎1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选D　如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A‎1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A‎1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．‎ 二、填空题 ‎7.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)‎ ‎①EF与GH平行 ‎②EF与GH异面 ‎③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 ‎④EF与GH的交点M一定在直线AC上 解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．‎ 因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，‎ 所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，‎ 设交点为M.因为点M在EF上，‎ 故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，‎ ‎∴点M是平面ACB与平面ACD的交点，‎ 又AC是这两个平面的交线，‎ 所以点M一定在直线AC上．‎ 答案：④‎ ‎8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．‎ 解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．‎ 答案：3‎ ‎9．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.‎ ‎①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；‎ ‎②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；‎ ‎③若a∥b，则必有a∥c；‎ ‎④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号)‎ 解析：①中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b⊥c，则b⊥平面α，此时不论a，c是否垂直，均有a⊥b，故②错误；③中当a∥b时，则a∥平面β，由线面平行的性质定理可得a∥c，故③正确；④中若b∥c，则a⊥b，a⊥c时，a与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误．‎ 答案：①③‎ ‎10.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．‎ 解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.在Rt△CKN中，CK＝ ＝.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝＝，所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是.‎ 答案： 三、解答题 ‎11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ 解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，‎ 所以相交直线EF与EG所成的角，‎ 即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.‎ 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎12.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ 解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥PABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎