【数学】2020届一轮复习北师大版比较法学案

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【数学】2020届一轮复习北师大版比较法学案

一 比较法 ‎1．作差比较法 ‎(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a0，若>1，则a>b；若<1，则a1，则ab.‎ ‎(2)作商比较法解题的一般步骤：‎ ‎①判定a，b的符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．‎ 作差比较法证明不等式 ‎[例1]　已知x>y，求证：x3－x2y＋xy2>x2y－xy2＋y3.‎ ‎[思路点拨]　因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小．‎ ‎[证明]　x3－x2y＋xy2－(x2y－xy2＋y3)‎ ‎＝x(x2－xy＋y2)－y(x2－xy＋y2)‎ ‎＝(x－y)(x2－xy＋y2)‎ ‎＝(x－y).‎ 因为x>y，所以x－y>0，‎ 于是(x－y)>0，‎ 所以x3－x2y＋xy2>x2y－xy2＋y3.‎ ‎(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．‎ ‎(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．‎ ‎(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．‎ ‎1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．‎ 证明：a2＋b2－2(a－b－1)‎ ‎＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，‎ ‎∴a2＋b2≥2(a－b－1)．‎ ‎2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，‎ 求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．‎ 证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)‎ ‎＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1‎ ‎＝a(bn－an)＋b(an－bn)‎ ‎＝(a－b)(bn－an)．‎ ‎①当a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，‎ ‎∴(a－b)(bn－an)<0.‎ ‎②当b>a>0时，bn－an>0，a－b<0.‎ ‎∴(a－b)(bn－an)<0.‎ ‎③当a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.‎ 综合①②③可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).‎ 作商比较法证明不等式 ‎[例2]　设a>0，b>0，求证：aabb≥(ab).‎ ‎[思路点拨]　不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法．‎ ‎[证明]　∵aabb>0，(ab)>0，‎ ‎∴＝a·b＝.‎ 当a＝b时，显然有＝1；‎ 当a>b>0时，>1，>0，‎ ‎∴由指数函数单调性，有>1；‎ 当b>a>0时，0<<1，<0，‎ ‎∴由指数函数的单调性，有>1.‎ 综上可知，对任意实数a，b，都有aabb≥(ab).‎ 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．‎ ‎3．已知a>b>c>0.求证：a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b.‎ 证明：由a>b>c>0，得ab＋cbc＋aca＋b>0.‎ 作商＝ ‎＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b ‎＝a－ba－cb－c.‎ 由a>b>c>0，得a－b>0，a－c>0，b－c>0，‎ 且>1，>1，>1.‎ ‎∴a－ba－cb－c>1.‎ ‎∴a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b.‎ ‎4．设n∈N，n>1，求证logn(n＋1)>log(n＋1)(n＋2)．‎ 证明：因为n>1，‎ 所以logn(n＋1)>0，log(n＋1)(n＋2)>0，‎ 所以＝log(n＋1)(n＋2)·log(n＋1)n ‎≤2‎ ‎＝2‎ ‎<2＝1.‎ 故log(n＋1)(n＋2)a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，‎ Q(x)＝8＋1.4x.‎ ‎∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)，‎ ‎∴当x>10时，P(x)Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适．‎ 当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．‎ ‎1．下列关系中对任意a1 D.a2>b2‎ 解析：选B　∵a－b>0.‎ ‎(－a)2>(－b)2>0.‎ 即a2>b2>0.∴<1.‎ 又lg b2－lg a2＝lgQ B．P0恒成立，‎ ‎∴Q≥P.‎ 法二：P－Q＝ ‎＝，‎ ‎∵a2＋a＋1>0恒成立且a4＋a2≥0，‎ ‎∴P－Q≤0，即Q≥P.‎ ‎3．已知a>0，b>0，m＝＋，n＝＋，p＝，则m，n，p的大小关系是(　　)‎ A．m≥n>p B．m>n≥p C．n>m>p D．n≥m>p 解析：选A　由m＝＋，n＝＋，得a＝b>0时，m＝n, 可排除B、C项．比较A、D项，不必论证与p的关系．取特殊值a＝4，b＝1，则m＝4＋＝，n＝2＋1＝3，∴m>n，可排除D，故选A.‎ ‎4．设m>n，n∈N＋，a＝(lg x)m＋(lg x)－m，b＝(lg x)n＋(lg x)－n，x>1，则a与b的大小关系为(　　)‎ A．a≥b B．a≤b C．与x值有关，大小不定 D．以上都不正确 解析：选A　a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx ‎＝(lgmx－lgnx)－ ‎＝(lgmx－lgnx)－ ‎＝(lgmx－lgnx) ‎＝(lgmx－lgnx).‎ ‎∵x>1，∴lg x>0.‎ 当0b；‎ 当lg x＝1时，a＝b；‎ 当lg x>1时，a>b.‎ ‎∴应选A.‎ ‎5．若0Q，则实数a，b满足的条件为________．‎ 解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)‎ ‎＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ‎＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a ‎＝(ab－1)2＋(a＋2)2，‎ ‎∵P>Q，∴P－Q>0，‎ 即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，‎ ‎∴ab≠1或a≠－2.‎ 答案： ab≠1或a≠－2‎ ‎7．一个个体户有一种商品，其成本低于元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．‎ 解析：设这种商品的成本费为a元．‎ 月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，‎ 月末售出的利润为L2＝120－2%a，‎ 则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a ‎＝0.045，‎ ‎∵a<，‎ ‎∴L10，‎ 即ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz.‎ ax＋by＋cz－(bx＋ay＋cz)＝(a－b)x＋(b－a)y＝(a－b)(x－y)>0，‎ ‎∴ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz.‎ ax＋by＋cz－(bx＋cy＋az)＝(a－b)x＋(b－c)y＋(c－a)z＝(a－b)x＋(b－c)y＋[(c－b)＋(b－a)]z＝(a－b)(x－z)＋(b－c)(y－z)>0，‎ ‎∴ax＋by＋cz>bx＋cy＋az.‎ 故ax＋by＋cz最大．‎
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