高考数学专题复习(精选精讲)练习8-二项式定理习题精选精讲

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高考数学专题复习(精选精讲)练习8-二项式定理习题精选精讲

例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立,题型繁多,解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用,又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到,题型多为选择题,填空题,偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下,希望能够起到抛砖引玉的作用。‎ 一、求二项展开式 ‎1.“”型的展开式 例1.求的展开式;‎ 解:原式==‎ ‎=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ 小结:这类题目一般为容易题目,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。‎ ‎2. “”型的展开式 ‎ 例2.求的展开式;‎ 分析:解决此题,只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。‎ ‎3.二项式展开式的“逆用”‎ 例3.计算;‎ 解:原式=‎ 小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。‎ 二、通项公式的应用 ‎1.确定二项式中的有关元素 例4.已知的展开式中的系数为,常数的值为 ‎ 解:‎ ‎ 令,即 依题意,得 ‎,解得 ‎2.确定二项展开式的常数项 例5.展开式中的常数项是 ‎ 解: ‎ ‎ 令,即。‎ ‎ 所以常数项是 ‎3.求单一二项式指定幂的系数 例6.(03全国)展开式中的系数是 ;‎ 解:==‎ ‎ 令则,从而可以得到的系数为:‎ ‎ ,填 三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数 例7.的展开式中,的系数等于 ‎ 解:的系数是四个二项展开式中4个含的,则有 ‎ ‎ ‎ 例8.(02全国)的展开式中,项的系数是 ;‎ ‎ 解:在展开式中,的来源有:‎ ① 第一个因式中取出,则第二个因式必出,其系数为;‎ ② 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出,其系数为 的系数应为:填。‎ 四、利用二项式定理的性质解题 1. 求中间项 例9.求(的展开式的中间项;‎ 解:展开式的中间项为 ‎ 即:。‎ ‎ 当为奇数时,的展开式的中间项是和;‎ 当为偶数时,的展开式的中间项是。‎ 2. 求有理项 例10.求的展开式中有理项共有 项;‎ 解:‎ 当时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。‎ ① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式;‎ ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式。‎ 3. 求系数最大或最小项 (1) 特殊的系数最大或最小问题 例11.(00上海)在二项式的展开式中,系数最小的项的系数是 ;‎ 解:‎ 要使项的系数最小,则必为奇数,且使为最大,由此得,从而可知最小项的系数为 (2) 一般的系数最大或最小问题 ‎ 例12.求展开式中系数最大的项;‎ ‎ 解:记第项系数为,设第项系数最大,则有 ‎ 又,那么有 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 解得,‎ 系数最大的项为第3项和第4项。‎ (1) 系数绝对值最大的项 例13.在(的展开式中,系数绝对值最大项是 ;‎ 解:求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理,‎ 故此答案为第4项,和第5项。‎ 五、利用“赋值法”求部分项系数,二项式系数和 ‎ 例14.若,‎ ‎ 则的值为 ;‎ ‎ 解: ‎ ‎ 令,有,‎ ‎ 令,有 ‎ 故原式=‎ ‎ =‎ ‎=‎ 在用“赋值法”求值时,要找准待求代数式与已知条件的联系,一般而言:特殊值在解题过程中考虑的比较多。‎ ‎ 例15.设,‎ ‎ 则 ;‎ 分析:解题过程分两步走;第一步确定所给绝对值符号内的数的符号;第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。‎ ‎ 解:‎ ‎ =‎ ‎ =0‎ 六、利用二项式定理求近似值 ‎ 例16.求的近似值,使误差小于;‎ ‎ 分析:因为=,故可以用二项式定理展开计算。‎ ‎ 解:==‎ ‎ ,‎ ‎ 且第3项以后的绝对值都小于,‎ ‎ 从第3项起,以后的项都可以忽略不计。‎ ‎ ==‎ 小结:由,当的绝对值与1相比很小且很大时,等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此可以用近似计算公式:,在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高,则可以使用更精确的公式:。‎ ‎ 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目,但是按照新课标要求,对高中学生的计算能力是有一定的要求,其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。‎ 七、利用二项式定理证明整除问题 ‎ 例17.求证:能被7整除。‎ ‎ 证明: ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =49P+()‎ ‎ 又 ‎ =(7+1)‎ ‎ =‎ ‎ =7Q(Q)‎ ‎ 能被7整除。‎ 在利用二项式定理处理整除问题时,要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来,变形要有一定的目的性,要凑 出相关的因数。‎
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