高中数学选修1-1课时提升作业(十一)2-1-2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用探究导学课型

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高中数学选修1-1课时提升作业(十一)2-1-2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用探究导学课型

温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(十一) 椭圆方程及性质的应用 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C: + =1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为 ( ) A.1 B.1 或 2 C.2 D.0 【解析】选 C.因为直线过定点(3,-1)且 + <1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直 线 l 与椭圆有 2 个公共点. 2.点 A(a,1)在椭圆 + =1 的内部,则 a 的取值范围是 ( ) A.- C.-2b>0),则 ①点 P 在椭圆外⇔ + >1; ②点 P 在椭圆上⇔ + =1; ③点 P 在椭圆内⇔ + <1. 3.(2015·马鞍山高二检测)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶 点为 A,上顶点为 B,若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 |F1F2|,则椭圆 C 的离心率 e= ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.设椭圆 C 的焦距为 2c(cb>0)中心的一条弦,M 是椭圆上任意 一点,且 AM,BM 与两坐标轴均不平行,kAM,kBM 分别表示直线 AM,BM 的斜率,则 kAM·kBM= ( ) A.- B.- C.- D.- 【解析】选 B.设 A(x1,y1),M(x0,y0), 则 B(-x1,-y1), kAM·kBM= · = = =- . 【一题多解】(特殊值法):因为四个选项为定值,取 A(a,0),B(-a,0), M(0,b),可得 kAM·kBM=- . 【补偿训练】(2015·衡水高二检测)如果 AB 是椭圆 + =1(a>b>0)的任意一条与 x 轴不垂 直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB·kOM 的值为 ( ) A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2 【解析】选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0), 则 + =1, + =1,两式作差得 = 所以 kAB·kOM= · = = =e2-1. 5.AB 为过椭圆 + =1(a>b>0)中心的弦,F1(c,0)为椭圆的右焦点,则△AF1B 面积的最大 值是 ( ) A.b2 B.ab C.ac D.bc 【解析】选 D.如图, = + =2 . 又因为|OF1|=c 为定值, 所以点 A 与(0,b)重合时,OF1 边上的高最大, 此时 的面积最大为 bc. 所以 的最大值为 bc. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为________. 【解析】将椭圆与直线方程联立: 解得交点 A(0,-2),B .设右焦点为 F, 则 S△OAB= ·|OF|·|y1-y2|= ×1×| +2| = . 答案: 7.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M,N 两点,原点 O 与线段 MN 的中点 P 连线的斜率为 , 则 的值是________. 【解析】由 消去 y, 得(m+n)x2-2nx+n-1=0. 则 MN 的中点 P 的坐标为 . 所以 kOP= = . 答案: 8.(2015·宁波高二检测)已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,满足 · =0 的点 M 总在 椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________. 【解析】由 · =0,得以 F1F2 为直径的圆在椭圆内,于是 b>c,于是 a2-c2>c2,所 以 0b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 .直线 y=k(x-1)与椭 圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程. (2)当△AMN 的面积为 时,求 k 的值. 【解析】(1)由题意得 解得 b= . 所以椭圆 C 的方程为 + =1. (2)由 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. Δ=24k2+16>0. 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= , x1x2= , 所以|MN|= = = . 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= , 所以△AMN 的面积为 |MN|·d= . 由 = ,解得 k=±1. (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.已知椭圆 C 的方程为 + =1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的 射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为 ( ) A.2 B.2 C.8 D.2 【解析】选 B.根据已知条件 c= ,则点 在椭圆 + =1(m>0)上, 所以 + =1,可得 m=2 . 2.(2015·福建高考)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直 线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭 圆 E 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.不妨设左焦点为 F2,连接 AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形 AFBF2 的对角 线互相平分,所以四边形 AFBF2 为平行四边形,所以 + = + =2a=4, 所以 a=2,设 M(0,b),所以 d= b≥ ⇒b≥1, 所以 e= = ≤ = ,又 e∈(0,1),所以 e∈ . 【补偿训练】过椭圆 +y2=1 右焦点且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦 MN 的长为 ( ) A. B. C. D. 【解题指南】求出过椭圆 +y2=1 右焦点且斜率为 1 的直线方程,代入椭圆 +y2=1,可得 一元二次方程,利用弦长公式,即可求弦 MN 的长. 【解析】选 A.设 M(x1,y1),N(x2,y2), 因为椭圆 +y2=1 右焦点坐标为( ,0), 所以过椭圆 +y2=1 右焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- , 代入椭圆 +y2=1,可得 +(x- )2=1,即 5x2-8 x+8=0,所以 x1+x2= ,x1x2= , 所以|MN|= · = · = . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2015·济南高二检测)已知对 k∈R,直线 y-kx-1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是________. 【解析】因为直线 y-kx-1=0 过定点(0,1), 要使直线和椭圆恒有公共点, 则点(0,1)在椭圆上或椭圆内,即 + ≤1, 整理,得 ≤1,解得 m≥1. 又方程 + =1 表示椭圆,所以 m>0 且 m≠5, 综上 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5. 答案:m≥1 且 m≠5 4.(2015·无锡高二检测)若倾斜角为 的直线交椭圆 +y2=1 于 A,B 两点,则线段 AB 的中 点的轨迹方程是________________. 【解析】设中点坐标为(x,y),直线方程为 y=x+b,代入椭圆方程得 5x2+8bx+4(b2-1)=0,由 根与系数的关系及中点的定义,可得 x+4y=0, 由Δ>0,得- 0 所以 x1+x2=3,x1x2=-8. 所以线段 AB 的长度为 |AB|= = = = = . 6.(2014·陕西高考)已知椭圆 + =1(a>b>0)经过点(0, ), 离心率为 ,左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程. (2)若直线 l:y=- x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2 为直径的 圆交于 C,D 两点,且满足 = ,求直线 l 的方程. 【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长,再由离心率及 a,b,c 间的关系,列方程组得 解.(2)先利用直线与圆相交求得弦 CD 的长,再利用椭圆与直线相交得 AB 的长,通过解方程 得 m 值从而得解. 【解析】(1)由题设知 解得 a=2,b= ,c=1, 所以椭圆的方程为 + =1. (2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1, 所以圆心到直线的距离 d= . 由 d<1 得|m|< . (*) 所以|CD|=2 =2 = . 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得 x2-mx+m2-3=0, 由根与系数的关系可得 x1+x2=m,x1x2=m2-3. 所以|AB|= = . 由 = 得 =1,解得 m=± ,满足(*), 所以直线 l 的方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 关闭 Word 文档返回原板块
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