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文档介绍
高考数学模拟试卷3 (2)
- 1 - 宜昌市 2018 届高三 4 月调研考试 数学(理工农医类)(38) 第Ⅰ卷 选择题(60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.设全集U R ,集合 { |1 3}A x x , { | 2 3 0}B x x ,则 ( )UA C B ( ) A. 3( , )2 B. (1, ) C. 3(1, )2 D. 3[ ,3)2 2.若复数 2 1 ( 1)z m m i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 2 z ( ) A.i B. i C. 2i D. 2i 3.下列命题正确的是( ) A.命题“ p q ”为假命题,则命题 p 与命题 q 都是假命题; B.命题“若 x y ,则sin sinx y ”的逆否命题为真命题; C.“ 2 2am bm ”是“ a b ”成立的必要不充分条件; D.命题“存在 0x R ,使得 2 0 0 1 0x x ”的否定是:“对任意 x R ,均有 2 1 0x x ”. 4.已知随机变量 (1,1)N ,其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形OABC 中随机投 掷 10000 个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( ) 注: 68.26%P , 2 2 95.44%P . A.6038 B.6587 C.7028 D.7539 5.已知数列 na 满足 15 25 5n na a ,且 2 4 6 9a a a ,则 1 5 7 9 3 log a a a ( ) A.-3 B.3 C. 1 3 D. 1 3 6.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵” 1 1 1ABC A B C - 2 - 的所有顶点都在球 O 的球面上,且 1AB AC ,若球O 的表面积为3 ,则这个三棱柱的 体积是( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D.1 7.偶函数 f x 和奇函数 g x 的图象如图所示,若关于 x 的方程 1f g x , 2g f x 的实根个数分别为 m 、 n ,则 m n ( ) A.16 B.14 C.12 D.10 8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( ) A.14 B.15 C.16 D.17 9.已知 6 7 0 1 71 x a x a a x a x ,若 0 1 7 0a a a ,则 3a ( ) A.-5 B.-20 C.15 D.35 10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表 面积为( ) - 3 - A.8 4 2 B.12 4 2 2 3 C. 6 4 2 2 3 D.12 11.已知双曲线C : 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,O 为坐标原点, 以 1 2F F 为直径的圆 O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P 、Q ,点 B 为圆O 与 y 轴正半轴的交点,若 2POF QOB ,则双曲线C 的离心率为( ) A.3 5 B. 3 5 2 C.1 5 D.1 5 2 12.已知函数 2 lnxf x e x x 与函数 22xg x e x ax 的图象上存在关于 y 轴对称 的点,则实数 a 的取值范围为( ) A. , e B. 1, e C. , 1 D. 1, 2 第Ⅱ卷 非选择题(90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷的横线上. 13.平面向量 (2, )a , ( 3,1)b ,若向量 a 与b 共线,则 a b . 14.设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b 的右焦点与抛物线 2 16y x 的焦点相同,离心率为 6 3 ,则 此椭圆的方程为 . 15.已知 x , y 满足不等式组 2 0 3 0 2 3 0 y x x y x y ,若不等式 7ax y 恒成立,则实数 a 的取值 范围是 . 16.设数列 na 满足 0 1 2a , 2 1 0,1,22018 n n n aa a n ,若使得 11k ka a ,则正整 - 4 - 数 k . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~ 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 17.已知向量 2 sin 2 , 2 cos2a x x , cos ,sin ( )2b ,若 ( )f x a b ,且函 数 ( )f x 的图象关于直线 6x 对称. (Ⅰ)求函数 ( )f x 的解析式,并求 ( )f x 的单调递减区间; (Ⅱ)在 ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 ( ) 2f A ,且 5b , 2 3c , 求 ABC 外接圆的面积. 18.如图,在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, AC BC , 1 2AC BC AA ,点 P 为棱 1 1B C 的中点,点Q 为线段 1A B 上一动点. (Ⅰ)求证:当点 Q 为线段 1A B 的中点时, PQ 平面 1A BC ; (Ⅱ)设 1BQ BA ,试问:是否存在实数 ,使得平面 1A PQ 与平面 1B PQ 所成锐二面角 的余弦值为 30 10 ?若存在,求出这个实数 ;若不存在,请说明理由. 19.手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看 到朋友圈里好友的步数.小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”,他随机选取了 其中 30 名,其中男女各 15 名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如下表所示: 0,2500 2500,5000 5000,7500 7500,10000 10000, 步 数性 别 - 5 - 男 0 2 4 7 2 女 1 3 7 3 1 (Ⅰ)以样本估计总体,视样本频率为概率,在小明QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取 3 名,其中走路步数低于 7500 步的有 X 名,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)如果某人一天的走路步数超过 7500 步,此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”,否 则为“消极型”.根据题意完成下面的 2 2 列联表,并据此判断能否有95% 以上的把握认为 “评定类型”与“性别”有关? 积极型 消极型 总计 男 女 总计 附: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d . 2 0( )P K k 0.10 0.05 0.025 0.01 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 20.已知倾斜角为 4 的直线经过抛物线 : 2 2 ( 0)y px p 的焦点 F ,与抛物线 相交于 A 、 B 两点,且 8AB . (Ⅰ)求抛物线 的方程; (Ⅱ)过点 (12,8)P 的两条直线 1l 、 2l 分别交抛物线 于点C 、D 和 E 、F ,线段CD 和 EF 的中点分别为 M 、 N .如果直线 1l 与 2l 的倾斜角互余,求证:直线 MN 经过一定点. 21.已知函数 lnf x ax x . (Ⅰ)讨论 f x 的单调性; (Ⅱ)若 2 1,a e ,求证: 12 axf x ax xe . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] - 6 - 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心为 2 2, 4 ,半径为 2 2 .以极点为原点,极轴方向为 x 轴 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为 1 3 1 x ta y t (t 为 参数, a R 且 0a ). (Ⅰ)写出圆 C 的极坐标方程和直线l 的普通方程; (Ⅱ)若直线l 与圆C 交于 A 、 B 两点,求 AB 的最小值. 23.[选修 4-5:不等式选讲] 设不等式 1 1 2x x 的解集为 A . (Ⅰ)求集合 A ; (Ⅱ)若 m A ,不等式 2 2 1 0mx x m 恒成立,求实数 x 的取值范围. - 7 - 宜昌市 2018 届高三 4 月调研考试 数学(理科)参考答案(38) 一、选择题 1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12:DC 二、填空题 13. 20 3 14. 2 2 124 8 x y 15. [ 4,3] 16. 2018 三、解答题 17.解:(Ⅰ) ( ) 2 sin 2 cosf x a b x 2 cos2 sin 2 sin(2 )x x , ∵函数 ( )f x 的图象关于直线 6x 对称,∴ 2 6 2k , k Z , ∴ 6k , k Z ,又 2 ,∴ 6 . ∴ ( ) 2 sin(2 )6f x x . ∵函数 siny x 的单调递减区间为 32 ,22 2k k , k Z . 令 32 2 ,26 2 2x k k ,∴ 2,6 3x k k . ∴ ( )f x 的单调递减区间为 2,6 3k k , k Z . (Ⅱ)∵ ( ) 2 sin(2 ) 26f A A ,∴sin(2 ) 16A . ∵ (0, )A ,∴ 132 ,6 6 6A ,∴ 2 6 2A ,∴ 6A . 在 ABC 中,由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A 25 12 2 5 2 3 cos 76 , ∴ 7a . 由正弦定理得 72 1sin 2 a RA ,∴ 7R ,∴ 7S . 18.(Ⅰ)证明:法 1:连接 1AB 、 1AC ,显然 A 、Q 、 1B 三点共线. - 8 - ∵点 P 、Q 分别为 1 1B C 和 1A B 的中点,∴ 1/ /PQ AC ; 在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, AC BC ,∴ BC 平面 1 1ACC A ,∴ 1BC AC , 又 1AC AA ,∴四边形 1 1ACC A 为正方形,∴ 1 1AC AC , ∵ 1AC 、 BC 平面 1 1ACC A ,∴ 1AC 平面 1A BC , 而 1/ /PQ AC ,∴ PQ 平面 1A BC . 法 2:(用向量法同等给分). (Ⅱ)解:以 C 为原点,分别以CA 、CB 、 1CC 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 连接 1A P 、 1B Q ,设 ( , , )Q x y z , ∵ 1BQ BA ,∴ ( , 2, ) (2, 2,2)x y z ,∴ 2 2 2 2 x y z ,∴ (2 ,2 2 ,2 )Q . 当点Q 在线段 1A B 上运动时,∴平面 1A PQ 的法向量即为平面 1A PB 的法向量, 设平面 1A PB 的法向量为 1 ( , , )n x y z ,由 1 1 1 0 0 n BP n PA 得 2 0 2 0 x y y z , 令 2y 得 1 (1,2,1)n , 设平面 1B PQ 的法向量为 2 ( , , )n x y z ,由 2 1 2 1 0 0 n PB n B Q 得 0 ( 1) 0 y x z , 令 1z 得 2 1 1( ,0,1) (1 ,0, )n ,取 2 (1 ,0, )n , ∵ 1 2 2 2 (1,2,1) (1 ,0, )cos , 6 (1 ) n n 2 1 30 106 2 2 1 , ∴ 29 9 2 0 ,∴ 1 3 或 2 3 . 19.解:(Ⅰ)在小明的男性好友中任意选取 1 名,其中走路步数低于 7500 的概率为 6 2 15 5 . X 可能取值分别为 0,1,2,3, ∴ 0 0 3 3 2 3 27( 0) ( ) ( )5 5 125P X C , 1 1 2 3 2 3 54( 1) ( ) ( )5 5 125P X C , 2 2 1 3 2 3 36( 2) ( ) ( )5 5 125P X C , 3 3 0 3 2 3 8( 3) ( ) ( )5 5 125P X C , - 9 - 积极型 消极型 总计 男 9 6 15 女 4 11 15 总计 13 17 30 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 则 27 54( ) 0 1125 125E X 36 8 62 3125 125 5 . (Ⅱ)完成 2 2 列联表 2k 的观测值 2 0 30(9 11 6 4) 15 15 13 17k 750 3.394 3.841221 . 据此判断没有95% 以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 20.解:(Ⅰ)由题意可设直线 AB 的方程为 2 py x ,令 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y . 联立 2 2 2 py x y px 得 2 2 3 04 px px ,∴ 1 2 3x x p , 根据抛物线的定义得,又 1 2 4AB x x p p ,又 8AB ,∴ 4 8p ,∴ 2p . 则此抛物线的方程为 2 4y x . (Ⅱ)设直线 1l 、 2l 的倾斜角分别为 、 ,直线 1l 的斜率为 k ,则 tank . 由于直线 1l 与 2l 的倾斜角互余,则 sin( )2tan tan( )2 cos( )2 cos 1 1 sinsin tan cos , 则直线 2l 的斜率为 1 k . 于是直线 CD 的方程为 8 ( 12)y k x ,即 ( 12) 8y k x , 联立 2 ( 12) 8 4 y k x y x 得 2 4 32 48 0ky y k ,∴ 4 C Dy y k , - 10 - 则 2 4 1624C Dx x k k ,∴ 2 2 8 2(12 , )M k k k , 同理将 k 换成 1 k 得: 2(12 2 8 ,2 )N k k k , ∴ 2 2 12( ) 1 12( ) 8( ) MN kkk k kk k 1 1 4kk . 则直线 MN 的方程为 212 [ (12 2 8 )]1 4 y k x k k kk , 即 1 4 10k y xk ,显然当 10x , 0y . 所以直线 MN 经过定点 (10,0) . 21.解:(Ⅰ) 1 1'( ) axf x a x x , ∵ 0a , '( ) 0f x 在 (0, ) 上恒成立,即 f x 在 (0, ) 上单调递减. 当 0a 时,由 '( ) 0f x ,得 1x a ;由 '( ) 0f x ,得 10 x a ; 综上:当 0a 时, f x 在 (0, ) 上单调递减; 当 0a 时, f x 在 10, a 上单调递减,在 1 ,a 上单调递增. (Ⅱ)令 1( ) ( ) 2 axg x f x ax xe 1 lnaxxe ax x , 则 1 1 1'( ) ax axg x e axe a x 1 1( 1) axax e x , 由于 1 1 1 1ax ax xee x x ,设 1( ) 1axr x xe , 1'( ) (1 ) axr x ax e , 由 1'( ) 0 1 0r x ax x a ,所以 ( )r x 在 10, a 上单调递增; 由 1'( ) 0 1 0r x ax x a ,所以 ( )r x 在 1 ,a 上单调递减. ∴ max 2 1 1( ) ( 1) 0r x r a ae (因为 2 1a e ),从而 1 1 0axe x . - 11 - 则 ( )g x 在 10, a 上单调递减;在 1 ,a 上单调递增,∴ min 1( )g x g a , 设 21 0,t ea , 2 2 1 ( ) ln 1(0 )tg h t t t ea e , 2 1 1'( ) 0h t e t , ( )h t 在 20,e 上递减,∴ 2( ) ( ) 0h t h e ; ∴ ( ) 0g x ,故 12 axf x ax xe . 说明:判断 1 1axe x 的符号时,还可以用以下方法判断: 由 1 1 0axe x 得到 1 ln xa x ,设 1 ln( ) xp x x , 2 ln 2'( ) xp x x , 当 2x e 时, '( ) 0p x ;当 20 x e 时, '( ) 0p x . 从而 ( )p x 在 2(0, )e 上递减,在 2( , )e 上递增. ∴ 2 min 2 1( ) ( )p x p e e . 当 2 1a e 时, 1 ln xa x ,即 1 1 0axe x . 22.解:(Ⅰ)法一:在极坐标系中,令 BOX , 4AOX , 在 ABC 中, AC 为直径, 4 2 cos( )4OB , ∵ 1 3 1 x ta y t 消去参数 t 得直线l 的普通方程为: 3 1 0ax y a . 法二:在直角坐标系中,圆 C 的圆心为 (2,2) ,则方程为 2 2( 2) ( 2) 8x y . 即 2 2 4 4 0x y x y ,∴ 2 4 cos 4 sin 0 , 即 4cos 4sin 4 2 sin( )4 . (Ⅱ)法一:直线过圆 C 内一定点 (3,1)P ,当CP AB 时, AB 有最小值, ∴ 222 2 8 2 2 6AB R CP . 法二:点 (2,2)C 到直线l 的距离 2 1 1 ad a , ∴ 222AB R CP 2 2 2 (1 ) 22 8 2 71 1 a a a a . - 12 - 当 1a 时, AB 有最小值 2 6 . 23.解:(Ⅰ)由已知,令 2( 1) ( ) 1 1 2 ( 1 1) 2( 1) x f x x x x x x , 由 ( ) 2f x 得 { | 1 1}A x x . (Ⅱ)将不等式 2 2 1 0mx x m 整理成 2( 1) 2 1 0x m x , 令 2( ) ( 1) 2 1g m x m x ,要使 ( ) 0g m , 则 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 0 (1) ( 1) 1 2 1 0 g x x g x x , ∴ 2 2 2 2 0 2 0 x x x x ,∴ 1 3 3 1 0 2 x x x 或 ,∴ 3 1 2x .查看更多