广东省深圳外国语学校2018-2019学年第二学期高三第一次热身考试理科数学

广东省深圳外国语学校2018-2019学年第二学期高三第一次热身考试理科数学

‎2018-2019学年第二学期高三第一次热身考试 理科数学 本卷共4页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并上交．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知复数是一元二次方程的一个根，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）在各项均为正数的等比数列中，，则 ‎ （A）有最小值3 （B）有最小值6 （C）有最大值6 （D）有最大值9‎ ‎（4）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公 ‎ 益活动的概率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知抛物线：（）的焦点为，为坐标原点，若抛物线上存在点，‎ ‎ 使得，则的值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问 ‎ 城中家几何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正 ‎ 好分完，问共有多少户人家？设计流程图如下，则输出的值是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一 ‎ 圆周），则该几何体的表面积为 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（8）已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不 ‎ 等实数、，不等式恒成立，则不等 ‎ 式的解集为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知函数（），．若在区间内有零点，‎ ‎ 则的取值范围是 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（10）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭 ‎ 圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知是正三棱椎，其外接球的表面积为，且 ‎ ，则三棱锥的体积为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）设函数，其图像在点处的切线方程为．若，‎ ‎ ，，，试判断，，三者是否有确 ‎ 定的大小关系 ‎ （A） （B） （C） （D）不确定 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个考生都必须作答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．‎ ‎（13）等边的边长为，则在方向上的投影为__________．‎ ‎（14）如果不等式组表示的平面区域内存在点在函数的图象上，‎ ‎ 那么实数a的取值范围是__________．‎ ‎（15）若（，为有理数），则__________．‎ ‎（16）已知函数，数列中，（），则数列的 ‎ 前100项之和__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知中，角，，的对边分别为，，．‎ ‎（1）若，，依次成等差数列，且公差为2，求的值；‎ ‎（2）若的外接圆面积为，求周长的最大值．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．‎ ‎（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程（系数精确到）；若政府不调控，依此相关关系预测的12月份该市新建住宅销售均价；‎ ‎（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作为样本分析，若关注所抽三个月份的所属季节，记不同季度的个数为，求的分布列和数学期望．‎ 参考数据：，，；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，．为线段上 一点，且平面．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：（）的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线与椭圆 相交，所得弦长为1，斜率为（）的直线L过点，且与椭圆相交于不同的两点，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论取何值，为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（21）（本小题满分共12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若，，求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若，使得不等式成立的的取值中有且仅有两个整数，求实数的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎（22）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆：的圆心为．‎ ‎（I）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）过原点且与直线（t为参数，）平行的直线，与的交点为，，且的面积为，求的值．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）画出的图象，并由图象写出的解集；‎ ‎（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．‎ 理科数学、答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ 二、填空题：‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 一、选择题：‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C．【解析】首先要注意集合中的元素是整数，其次是不要混淆选项（A）与（C）的 ‎ 意义．‎ ‎（2）已知复数是一元二次方程的一个根，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C．【解析】一元二次方程的复数根、复数及其模的概念．解一元二次方程得 ‎ 或，得．‎ ‎（3）在各项均为正数的等比数列中，，则 ‎ （A）有最小值3 （B）有最小值6 （C）有最大值6 （D）有最大值9‎ ‎【答案】B．【解析】等比数列的性质与基本不等式的灵活应用．‎ ‎（4）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公 ‎ 益活动的概率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D．【解析】]每位同学有2种选法，基本事件的总数为，其中周六、周日中有一 ‎ 天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为．‎ ‎（5）已知抛物线：（）的焦点为，为坐标原点，若抛物线上存在点，‎ ‎ 使得，则的值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C．【解析】方法一：由，得在线段的中垂线上，‎ ‎ 且到抛物线准线的距离为，则有．‎ ‎ 方法二：设则有，则有．‎ ‎（6）《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问 ‎ 城中家几何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正 ‎ 好分完，问共有多少户人家？设计流程图如下，则输出的值是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B．【解析】事实上是一个列方程解古典问题的题，借程序框图的形式给出，它可以用 ‎ 计算机去求解，但不能用笔算，不要思维定式．设有户人家，则，解得．‎ ‎（7）一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一 ‎ 圆周），则该几何体的表面积为 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面 ‎ 的柱体，由柱体表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为 ‎ 底面的柱体，（也可以看成一个凹六棱柱与四分之一圆柱的组合体），其底面面积为：‎ ‎ ，底面周长为：，柱体的高 ‎ 为4，故柱体的表面积，故选A．‎ ‎（8）已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数、，不等式 ‎ 恒成立，则不等式的解集为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B．【解析】由已知图像关于点对称， ‎ ‎ 又是上的减函数，所以，有．选B．‎ ‎（9）已知函数（），．若在区间内有零点，‎ ‎ 则的取值范围是 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】D．【解析】，‎ ‎ 由令得函数有一零点，‎ ‎ 排除（B）、（C），令得函数在上的零点从小到大为：‎ ‎ ，显然，可排除（A），故答案为（D）．‎ ‎【法二：，由得，当时，‎ ‎ ，由题意知存在，，‎ ‎ 即，所以，由知，‎ ‎ 当时，，，，…，所以选D．】‎ ‎（10）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭 ‎ 圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B．【解析】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距为，有题意可得，‎ ‎ 又，‎ ‎ 则．‎ ‎（11）已知是正三棱椎，其外接球的表面积为，且 ‎ ，则三棱锥的体积为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】Ｂ．【解析】如图，‎ ‎ 设的中心为，易知球的半径，设的边长 ‎ 为，，，‎ ‎ ，，，‎ ‎ 中，，解得，‎ ‎ ，三棱锥的体积．故选．‎ ‎（12）设函数，其图像在点处的切线方程为．若，‎ ‎ ，，，试判断，，三者是否有确 ‎ 定的大小关系 ‎ （A） （B） （C） （D）不确定 ‎【答案】A．【解析】已知，画出其图象，如图所示，点，，，‎ ‎ ，为在点处的 ‎ 切线．考虑到中隐含了函数，‎ ‎ 且，而，‎ ‎ ，，‎ ‎ 显然，故．‎ 二、填空题：‎ ‎（13）等边的边长为，则在方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】．【解析】在上的投影长的为，但方向与的方向相反．‎ ‎（14）如果不等式组表示的平面区域内存在点在函数的图象上，‎ ‎ 那么实数a的取值范围是__________．‎ ‎【答案】．【解析】要使函数满足题目要求，必须，‎ ‎ 得．‎ ‎（15）若（，为有理数），则__________．‎ ‎【答案】．【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式．属于基础知识、基本运算的考查．‎ ‎ ∵‎ ‎ ，‎ ‎ 由已知，得，∴．故填70．‎ ‎（16）已知函数，数列中，（），则数列的 ‎ 前100项之和__________．‎ ‎【答案】．【解析】因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ ，‎ ‎ 同理可得：，，，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴的前100项之和．故答案为：10200．‎ 三、解答题：‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知中，角，，的对边分别为，，．‎ ‎（1）若，，依次成等差数列，且公差为2，求的值；‎ ‎（2）若的外接圆面积为，求周长的最大值．‎ ‎【解】（1），，成等差，且公差为2，，，‎ 又，，，，‎ ‎ 恒等变形得，解得或．又，．‎ ‎（2）在中，，‎ ‎ ，，．‎ ‎ 的周长 ‎ ，‎ 又，，当即时，取得最大值．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．‎ ‎（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程（系数精确到）；若政府不调控，依此相关关系预测的12月份该市新建住宅销售均价；‎ ‎（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作为样本分析，若关注所抽三个月份的所属季节，记不同季度的个数为，求的分布列和数学期望．‎ 参考数据：，，；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．‎ ‎【解析】（1）‎ 月份 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 均价 ‎0.95‎ ‎0.98‎ ‎1.11‎ ‎1.12‎ ‎1.20‎ ‎ 计算可得：，，，所以，‎ ‎ ．‎ ‎ 所以以3月份至7月份关于的回归方程为．‎ ‎ 将2016年的12月份代入回归方程，得，‎ ‎ 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米． ……………6分 ‎（II）根据题意，的可能取值为1，2，3．‎ ‎ ，，，‎ ‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 因此，的数学期望． ………………12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面 平面，．为线段上一点，且平面．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．‎ ‎【解】（I）∵底面是边长为2的菱形，，‎ ‎ ∴，且，． ……1分 ‎ ∵四边形是矩形，∴．‎ ‎ ∵平面平面，‎ ‎ 平面平面，‎ ‎ ∴平面，平面．‎ ‎ 记．取中点，则．∴平面． ……3分 ‎ 如图，以为原点，分别以，，的方向为 ‎ 轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ ‎ 由题意得，，，‎ ‎ ，，． ……5分 ‎ ∴，．‎ ‎ ∵为线段上一点，设（），‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∵平面，∴．‎ ‎ ∵．解得．∴．∴． …… 7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），可知平面．∴平面． ……8分 ‎ ，．设平面的法向量为．‎ ‎ 由，得．取，则．……10分 ‎ ∵， ……11分 ‎ ∴二面角的余弦值为． ……12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：（）的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交，所得弦长为1，斜率为（）的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论取何值，为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解】（I）由题意可知椭圆过点，则，又．‎ ‎ 解得，则椭圆方程． …………4分 ‎（II）设在轴上存在点满足题意，‎ ‎ 直线过点且斜率为，则直线的方程可设为：‎ ‎ 由，可知：．‎ ‎ ----------------6分 ‎ 易知：．设．则： ----------------7分 ‎ ------------9分 ‎ 由题可设： ----------------10分 ‎ 对任意实数恒成立；‎ ‎ ，解得：，．‎ ‎ 存在点满足题意，且常数为． ----------------12分 ‎（21）（本小题满分共12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若，，求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若，使得不等式成立的的取值中有且仅有两个整数，求实数的取值范围．‎ ‎【解】（I）当时，，．‎ ‎ 当时，，故时，，单调递减；‎ ‎ 当时，令，解得或．‎ ‎ ①当时，，故时，，单调递减；‎ ‎ ②当时，，恒成立，无单调递减区间．‎ ‎ 综上，当时，的单调递减区间是；‎ ‎ 当时，的单调递减区间是；‎ ‎ 当时，无单调递减区间． …………………………………………５分 ‎（II）当时，，不等式，‎ ‎ 整理为，对于，‎ ‎ 当时，；当时，．‎ ‎ 所以不等式可化为．‎ ‎ 设，，则，‎ ‎ 设，则，故在内单调递减．‎ ‎ 又，，，所以存在，使得成立，‎ ‎ 故函数在区间内单调递增，在区间内单调递减．‎ ‎ 所以当时，函数取极大值．‎ ‎ 又，所以要使得原不等式有且仅有两个整数解，‎ ‎ 只需要有且仅有两个整数解，即，解得．‎ ‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎（22）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎【答案】（1）圆，；（2）或．‎ ‎【解】（1）消去参数得到的普通方程为，知是以为圆心，为半径的圆．将，代入的普通方程中，得到的极坐标方程为或，而当时得，故的极坐标方程为． ……………5分 ‎（2）直线的极坐标方程为，与的交点分别为，，‎ ‎，得（），得或．…10分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解】（1）的图象如右图所示，由图象可得的解集 ‎ 为（或写为）． ……………5分 ‎（2）因，从而只需，即，‎ ‎ 解之得，故实数的取值范围为． …10分