THUSSAT7月测试文科数学试卷

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中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年 7 月测试 文科数学试卷 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 2{ | 2 0}A x x x= +  , { | 2 2 0}xBx−= −  ，则 AB= A． { | 2 1}xx−   − B． { | 1 0 }xx−   C． { | 2 1}xx−   − D． { | 1 0 }xx−   2．在复平面内，复数 34iz i += （ i 为虚数单位）对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．两个国内微电影制作团队打算从伦敦、香港、悉尼、迪拜、上海这五个城市中各选取一个地方拍 摄现代城市魅力，且这两个团队选择的城市不同，则这两个团队都选择在国外拍摄的概率为 A． 1 5 B． 3 10 C． 2 5 D． 1 2 4．已知 )2(0 π,  , ta n 3 = ，则 πsin( )4 −= A． 5 5 B． 10 10 C． 25 5 D． 3 1 0 10 5．已知某几何体的三视图如图所示（方格纸中每个小正方形的边长为 1）， 则该几何体的表面积为 A． 6 2 6 2 ++ B． 4 2 6 2 ++ C． 6 2 10 2 ++ D． 4 2 10 2 ++ 6．下列函数中奇函数的个数是 ① ( ) 2 2xxfx −=− ② ( ) sinf x x x= ③ 3 3( ) log 3 xfx x −= + ④ ( ) | 3| | 3|f x x x= + − − A．1个 B． 2 个 C．3 个 D． 4 个 正视图 侧视图 俯视图 （第 5 题图） 7．“ 8a =− ”是“直线 3 4 0x y a− − = 与圆 224 2 1 0x y x y+ − − + = 相切”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数 1 , 0 , ( ) 0 , 0 , 1 , 0 , x f x x x  ==  − 则函数 ( ) ( ) (e 1 ) xg x f x =  − 的大致图象是 A B C D 9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，对后世的数学研究影响深远，全书共收有 246 个数学 问题，分为九章．其中有这样的问题：“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升，问中间二节 欲均容各多少？”意思为：“今有竹九节，下三节容量和为 4 升，上四节容量和为 3 升，若每一节 容量变化均匀（即每节容量成等差数列），问每节容量各为多少？”在这个问题中，最上一节与最 下一节的容量和为 A． 64 33 升 B． 65 33 升 C． 67 33 升 D． 68 33 升 10．已知函数 π( ) 2sin( )cos6f x x x=+ ，且 12 3( ) ( ) 4f x f x =− ，则 12||xx+ 的最小值为 A． π 6 B． π 3 C． 2 π 3 D． 5 π 6 11．已知双曲线 22 221( 0, 0)xy abab− =   的左右焦点分别为 12,FF，直线l 过点 2F 且与双曲线右支交于 ,AB两点，若 22| | 3| |AF BF= ，且 1 3cos 5AF B=，则双曲线的离心率为 A． 5 2 B． 10 2 C． 10 3 D． 5 2 12．若存在正实数 ,xy使得 22(ln ln )x axy y x y xy− = − − 成立，则实数 a 的取值范围是 A．(1,)− B．(1, )+ C．[2, )+ D．( ,2]− O O O O 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．函数 ( ) 2 l nf x x =− 的定义域为 ． 14 ． 在 ABC△ 中 ， 已 知 4AB AC== , 120BAC =  , M 为 BC 上 一 点 ， 且 3B C B M= ，则 AB AM= ． 15．设 nS 是各项均为正数的等比数列 {}na 的前 n 项和， 1 3a = ，若 4a− , 3a , 5a 成等差数列，则 nS 与 na 的关系式为 ． 16．已知 0x  , 0y  ，且 224x y x y x y+ = + ，则 xy+ 的最小值为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 10 分）在 ABC△ 中， a , b , c 分别为角 A , B ,C 的对边，且 cos 2 cos 3 2 Bb C a c= − ． （1）求 c os B 的值； （2）若 2c = , ABC△ 的面积为 25，求 b 的值． 18．（本题满分 12 分）已知数列{}na 的前 n 项和为 nS ，且 2 3 3( )nnS a n = − N ． （1）求数列 {}na 的通项公式； （2）若 3logn n nb a a= ，求数列 {}nb 的前 n 项和 nT ． 19．（本题满分 12 分）某蔬菜经销商销售新鲜有机芹菜，售价 为每公斤 20 元，进价为每公斤 12 元．出于保鲜要求，当天 进货当天销售，若当天没有全部售出，则未售出的部分全 部降价以每公斤 10 元处理完．根据以往的销售情况，得到 如图所示的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图计算这种有机芹菜日需求量的 平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）若经销商某天购进130 公斤这种有机芹菜，假设当天的需求量为 x 公斤(0 250)x ，其 利润为 y 元，结合频率分布直方图估计其利润 y 不小于340 元的概率． （第 19 题图） 频率/组距 日需求量(公斤) 0 50 100 150 200 250 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 20．（本题满分 12 分）如图，在多面体 111A B C A B C− 中， 111A A B B C C/ / / / ， 1CC ⊥ 底面 ABC ， 1A C B C⊥ ． （1）求证： BC ⊥ 平面 11A AC C ； （2）若 1AC BC==, 1 2CC = ，求三棱锥 1 1 1C A B C− 的体积． A1 （第 20 题图） 21．（本题满分 12 分）已知椭圆 22 22: 1( 0)xyE a bab+ =   经过点 3( 1 , )2M ，其焦距为 2，椭圆 E 的左 顶点为 A ． （1）求椭圆 E 的方程； （2） N 为 x 轴上一点，直线 l 过 N 且与椭圆 E 交于 P 、Q 两点，记直线 AP 、 AQ 的斜率分别 为 1k 、 2k ，若 121 4 0kk+=，求点 N 的坐标． 22．（本题满分 12 分）已知函数 2( ) ( 1)e 4 1xf x a x x x= + − − + （ a  R , e 为自然对数的底数）． （1）若 1a = ，求函数 ()fx的单调区间； （2）若 1x − 时， ( ) 0fx 恒成立，求 a 的取值范围．