高中数学讲义微专题80 排列组合中的常见模型

高中数学讲义微专题80 排列组合中的常见模型

微专题 80 排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求 的元素。 例如：用 组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位，共有 4 种选择，而其余数位没有要求，只 需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为 种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再 用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品，3 件次品。从这 10 件产品中任意抽出 3 件，至少有一 件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少 1 件次品”包含 1 件，2 件，3 件次品的情况，需要进行分类 讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。 （种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数 是指从 个元素中取出 个元素，再将这 个元 素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆 分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项不同的工作，若这 3 人中只有一名女 生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步： 确定选哪些学生，共有 种可能，然后将选出的三个人进行排列： 。所以共有 种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他 元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法 0,1,2,3,4 4 44 96N A   3 3 10 7 85N C C   m nA n m m 2 1 4 3C C 3 3A 2 1 3 4 3 3 108C C A  解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余 3 个元素排列，则共有 种位置，第二步考虑 甲乙自身顺序，有 种位置，所以排法的总数为 种 2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行 “插空”，然后再进行各自的排序 注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序 例如：有 6 名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法 解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从 5 个空中选择 2 个插入进去，即有 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。所以 种 3、错位排列：排列好的 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称 为这 个元素的一个错位排列。例如对于 ，则 是其中一个错位排列。3 个元 素的错位排列有 2 种，4 个元素的错位排列有 9 种，5 个元素的错位排列有 44 种。以上三种 情况可作为结论记住 例如：安排 6 个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数 有多少种？ 解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有 种选法，然后剩下 4 个班主任均不监 考自己班，则为 4 个元素的错位排列，共 9 种。所以安排总数为 4、依次插空：如果在 个元素的排列中有 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这 个元素排好位置，再将 个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元 素可选择的空 ） 例如：已知 6 个人排队，其中 相对位置不变，则不同的排法有多少种 解：考虑先将 排好，则 有 4 个空可以选择， 进入队伍后， 有 5 个空可以选择， 以此类推， 有 6 种选择，所以方法的总数为 种 5、不同元素分组：将 个不同元素放入 个不同的盒中 6、相同元素分组：将 个相同元素放入 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有 种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元 素个数，则可将这 个元素排成一列，共有 个空，使用 个“挡板”进入空档处， 4 4A 2 2A 4 2 4 2 48N A A   2 5C 2 4 2 5 4 2 480N C A A    n n , , ,a b c d , , ,d c a b 2 6C 2 6 9 135N C   n m m n m 1 , , , , ,A B C D E F , ,A B C , ,A B C D D E F 4 5 6 120N     n m n m 1 1 m nC   n  1n   1m  则可将这 个元素划分为 个区域，刚好对应那 个盒子。例如：将 6 个相同的小球放入到 4 个不同的盒子里，那么 6 个小球 5 个空档，选择 3 个位置放“挡板”，共有 种可能 7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜 色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的 颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？ 解：可根据使用颜色的种数进行分类讨论 （1）使用 4 种颜色，则每个区域涂一种颜色即可： （2）使用 3 种颜色，则有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首 先要选择不相邻的区域：用列举法可得： 不相邻 所以涂色方案有： （3）使用 2 种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止 总计 种 二、典型例题： 例 1：某电视台邀请了 6 位同学的父母共 12 人，请 12 位家长中的 4 位介绍对子女的教育情况， 如果这 4 位中恰有一对是夫妻，则不同选择的方法种数有多少 思路：本题解决的方案可以是：先挑选出一对夫妻，然后在挑选出两个不是夫妻的即可。 第一步：先挑出一对夫妻： 第二步：在剩下的 10 个人中选出两个不是夫妻的，使用间接法： 所以选择的方法总数为 （种） 答案： 种 例 2：某教师一天上 3 个班级的课，每班上 1 节，如果一天共 9 节课，上午 5 节，下午 4 节， 并且教师不能连上 3 节课（第 5 节和第 6 节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同 排法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 思路：本题如果用直接法考虑，则在安排的过程中还要考虑两节连堂，并且会受到第 5,6 节 课连堂的影响，分类讨论的情形较多，不易求解。如果使用间接法则更为容易。首先在无任 n m m 3 5 20C  4 1 4N A  ,I IV 3 2 4N A 4 3 4 4 48S A A   1 6C 2 10 5C   1 2 6 10 5 240N C C   240 474 77 462 79 何特殊要求下，安排的总数为 。不符合要求的情况为上午连上 3 节： 和下午连上三节： ，所以不同排法的总数为： （种） 答案：A 例 3：2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两 位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. B. C. D. 思路：首先考虑从 3 位女生中先选中相邻的两位女生，从而相邻的女生要与另一女生不相邻， 则可插空，让男生搭架子，因为男生甲不站两端，所以在插空的过程中需有人站在甲的边上， 再从剩下的两个空中选一个空插入即可。 第一步：从三位女生中选出要相邻的两位女生： 第二步：两位男生搭出三个空，其中甲的边上要进入女生，另外两个空中要选一个空进女生， 所以共有 种选法。 第三步：排列男生甲，乙的位置： ，排列相邻女生和单个女生的位置： ，排列相邻女 生相互的位置： 所以共有 种 答案：B 例 4：某班班会准备从甲，乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲，乙两名同学至少有一 人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ） A. 360 B. 520 C. 600 D. 720 思路：因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同，所以考虑“先取再排”，分为“甲乙”同 时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论：若甲乙同时被选中，则只需再从剩下 5 人中 选取 2 人即可： ，在安排顺序时，甲乙不相邻则“插空”，所以安排的方式有： ， 从而第一种情况的总数为： （种），若甲乙只有一人选中，则首先先从 甲乙中选一人，有 ，再从剩下 5 人中选取三人，有 ，安排顺序时则无要求，所以第二种 情况的总数为： （种），从而总计 600 种 答案：C 3 9A 3 4A 3 3A 3 3 3 9 4 3 474A A A   60 48 42 36 2 3C 1 2C 2 2A 2 2A 2 2A 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 48N C C A A A      2 5C 2 2 3 2A A 2 2 2 1 5 3 2 120N C A A    1 2C 3 5C 1 3 4 2 2 5 4 480N C C A    例 5：从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且 顺序不变）的不同排列共有________种 思路：从题意上看，解决的策略要分为两步：第一步要先取出元素，因为“qu”必须取出， 所以另外 3 个元素需从剩下的 6 个元素中取出，即 种，然后在排列时，因为要求“qu”相 连，所以采用“捆绑法”，将 qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列： ，因为“qu”顺 序不变，所以不需要再对 qu 进行排列。综上，共有： 种 答案： 例 6：设有编号 的五个茶杯和编号为 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶 杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（ ） A. 30 种 B. 31 种 C. 32 种 D. 36 种 思路：本题可按照相同编号的个数进行分类讨论，有两个相同时，要先从 5 个里选出哪两个 相同，有 种选法，则剩下三个为错位排列，有 2 种情况，所以 ，有三个相同时， 同理，剩下两个错位排列只有一种情况（交换位置），所以 ，有四个相同时则最后 一个也只能相同，所以 ，从而 （种） 答案：B 例 7：某人上 10 级台阶，他一步可能跨 1 级台阶，称为一阶步，也可能跨 2 级台阶，称为二 阶步；最多能跨 3 级台阶，称为三阶步，若他总共跨了 6 步，而且任何相邻两步均不同阶， 则此人所有可能的不同过程的种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 答案：A 思路：首先要确定在这 6 步中，一阶步，二阶步，三阶步各有几步，分别设为 ， 则有 ，解得： ，因为相邻两步不同阶，所以符合要 求的只有 ，下面开始安排顺序，可以让一阶步搭架子，则二阶步与三阶步必须插入一 阶步里面的两个空中，所以共有 2 种插法，二阶步与三阶步的前后安排共有 3 种（三二二， 3 6C 4 4A 3 4 6 4 480C A  480 1,2,3,4,5 1,2,3,4,5 2 5C 2 1 5 2N C  3 2 5 1N C  3 1N  2 3 5 52 1 1 31S C C      , ,x y z N  6 2 3 10 x y z x y z        4 3 2 0, 2, 4 2 1 0 x x x y y y z z z                    3 2 1 x y z      三二三，二三三），所以过程总数为 答案：A 例 8：某旅行社有导游 9 人，其中 3 人只会英语，2 人只会日语，其余 4 人既会英语又会日语， 现要从中选 6 人，其中 3 人负责英语导游，另外三人负责日语导游，则不同的选择方法有 _______种 思路：在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游。英语导游的组成可按只会英语 的和会双语的人数组成进行分类讨论，然后再在剩下的人里选出日语导游即可。第一种情况： 没有会双语的人加入英语导游队伍，则英语导游选择数为 ，日语导游从剩下 6 个人中选择， 有 中，从而 ，第二种情况：有一个会双语的人加入英语导游队伍，从而可得 ， 依 次 类 推 ， 第 三 种 情 况 。 两 个 会 双 语 的 加 入 英 语 导 游 队 伍 ， 则 ，第四种情况，英语导游均为会双语的。则 ，综上所述，不 同的选择方法总数为 (种) 答案：216 种 例 9：如图，用四种不同颜色给图中 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且 图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 思路：如果用四种颜色涂六个点，则需要有两对不相邻的点涂相同的 颜 色 。 所 以 考 虑 列 举 出 不 相 邻 的 两 对 点 。 列 举 的 情 况 如 下 ： ， ， ， ， ， ， ， ， 共九组，所以涂色方法共有 如果用三种颜色涂六个点，则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色，列举情况如下： ， 共两组，所以涂色方法共有 综上所述，总计 种 答案：B 例 10：有 8 张卡片分别标有数字 ，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求 3 2 3 6N    3 3C 3 6C 3 3 0 3 6N C C   1 2 3 1 4 3 5N C C C   2 1 3 2 4 3 4N C C C   3 3 3 4 3N C C     3 3 1 2 3 2 1 3 3 3 3 6 4 3 5 4 3 4 4 3 216S C C C C C C C C C C          , , , , ,A B C D E F 288 264 240 168   , ,A C B D   , ,A C B E   , ,A C D F   , ,A F B D   , ,A F B E   , ,A F C E   , ,B D C E   , ,B E D F   , ,C E D F 4 49 216A     , , ,A C B E D F    , , ,A F C E B D 3 42 48A  264 1,2,3,4,5,6,7,8 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有（ ） A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 D. 960 种 思路：中间行数字和为 5 只有两种情况，即 和 ，但这两组不能同时占据两行，若按题 意思考，以 占中间行为例，则在安排时既要考虑另一组 是否同时被选中，还要考虑同 时被选中时不能呆在同一行，情况比较复杂。所以考虑间接法，先求出中间和为 5 的所有情 况，再减去两行和为 5 的情形 解：先考虑中间和为 5 的所有情况： 第一步：先将中间行放入 或 ： 第二步：中间行数字的左右顺序： 第三步：从剩下 6 个数字中选择 4 个，填入到剩余的四个位置并排序： 所以中间和为 5 的情况总数为 在考虑两行和为 5 的情况： 第一步： ， 两组中哪组占用中间行： 第二步：另一组可选择的行数： 第三步： ， 在本行中的左右顺序： 第四步：从剩下 4 个数中选取 2 个填入所剩位置并排序： 所以两行和为 5 的情况： 从而仅有中间行为 5 的情况为 （种） 答案：B 1,4 2,3 1,4 2,3 1,4 2,3 1 2C 2 2A 4 6A 1 2 4 2 2 4 1440S C A A    1,4 2,3 1 2C 1 2C 1,4 2,3 2 2 2 2A A 2 4A 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 192N C C A A A      1248S N 