北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第4节
第四章 第四节
一、选择题
1．(文)函数 f(x)＝2sinxcosx 是( )
A．最小正周期为 2π的奇函数
B．最小正周期为 2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
[答案] C
[解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性．
f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，最小正周期 T＝2π
2
＝π，
且 f(x)是奇函数．
(理)对于函数 f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(π
4
，π
2)上是增加的
B．f(x)的图像关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为 2π
D．f(x)的最大值为 2
[答案] B
[解析] 本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π，最大值为 1，故
C、D 错；f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递
增区间为 kπ－π
4
，kπ＋π
4 ，(k∈Z)排除 A．
2．函数 y＝sin2x＋sinx－1 的值域为( )
A．[－1,1] B．[－5
4
，－1]
C．[－5
4
，1] D．[－1，5
4]
[答案] C
[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过 sinx＝t 换元转
化为 t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令 t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2
＋t－1，(－1≤t≤1)，显然－5
4
≤y≤1，选 C．
3．(文)(2014·福建高考)将函数 y＝sinx 的图像向左平移π
2
个单位，得到函数 y＝f(x)的图
像，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图像关于直线 x＝π
2
对称
D．y＝f(x)的图像关于点(－π
2
，0)对称
[答案] D
[解析] 本题考查了正弦函数图像平移变换、余弦函数图像性质．
平移后图像对应函数为 y＝sin(x＋π
2)，即 y＝cosx，则由 y＝cosx 图像性质知 D 正确．
(理)(2014·安徽高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当 0≤x≤π时，f(x)＝0，
则 f(23π
6 )＝( )
A．1
2 B． 3
2
C．0 D．－1
2
[答案] A
[解析] 由题意意 f(23π
6 )＝f(17π
6 )＋sin17π
6
＝f(11π
6 )＋sin11π
6
＋sin17π
6
＝f(5π
6 )＋sin5π
6
＋
sin11π
6
＋sin17π
6
＝0＋1
2
－1
2
＋1
2
＝1
2.
4．(文)函数 f(x)＝sinxcosx＋ 3
2 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
[答案] A
[解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．
f(x)＝1
2sin2x＋ 3
2 cos2x＝sin(2x＋π
3)，周期 T＝π，振幅为 1，故选 A．
(理)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π
2
”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若 f(x)是奇函数，则 f(x)＋f(－x)＝0，即 Acos(ωx＋φ)＋Acos(－ωx＋φ)＝0，整
理得 cosωxcosφ＝0 恒成立，故 cosφ＝0，φ＝kπ＋π
2
，k∈Z，故“f(x)是奇函数”是“φ＝π
2
”
的必要不充分条件．
5．已知函数 f(x)＝ 3sinx－cosx，x∈R，若 f(x)≥1，则 x 的取值范围为( )
A．{x|kπ＋π
3
≤x≤kπ＋π，k∈Z}
B．{x|2kπ＋π
3
≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
C．{x|kπ＋π
6
≤x≤kπ＋5π
6
，k∈Z}
D．{x|2kπ＋π
6
≤x≤2kπ＋5π
6
，k∈Z}
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝ 3sinx－cosx＝2sin(x－π
6)，
∴f(x)≥1，即 2sin(x－π
6)≥1，∴sin(x－π
6)≥1
2
，
∴π
6
＋2kπ≤x－π
6
≤5π
6
＋2kπ，k∈Z.
解得π
3
＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
6．使 f(x)＝sin(2x＋y)＋ 3cos(2x＋y)为奇函数，且在[0，π
4]上是减函数的 y 的一个值是
( )
A．π
3 B．2π
3
C．4π
3 D．5π
3
[答案] B
[解析] 因为 f(x)＝2sin(2x＋y＋π
3)是奇函数，
故 f(0)＝2sin(y＋π
3)＝0，排除 A、C；若 y＝5π
3
，
则 f(x)＝2sin2x，在[0，π
4]上是增函数，故 D 错．
二、填空题
7．比较大小：(1)sin
－ π
18 ________sin
－ π
10 .
(2)cos
－23π
5 ________cos
－17π
4 .
[答案] (1)> (2)<
[解析] (1)∵－π
2<－ π
10<－ π
18<π
2
，
y＝sinx 在 －π
2
，π
2 上是增加的，
∴sin
－ π
10
sin
－ π
10 .
(2)cos
－23π
5 ＝cos23π
5
＝cos 4π＋3π
5 ＝cos3π
5
，
cos
－17π
4 ＝cos17π
4
＝cos 4π＋π
4 ＝cosπ
4.
∵0<π
4<3π
5 <π，
且函数 y＝cosx 在[0，π]上是减少的，
∴cosπ
4>cos3π
5
，即 cos
－17π
4 >cos
－23π
5 ，
即 cos
－23π
5 0)个单位长度，所得函数的
图像关于 y 轴对称，则 a 的最小值是( )
A．7π
6 B．π
2
C．π
6 D．π
3
[答案] C
[解析] ∵y＝sinx－ 3cosx＝2sin(x－π
3)，经平移后的函数图像所对应解析式为 y＝
2sin(x－a－π
3)，它关于 y 轴对称，∴－a－π
3
＝kπ＋π
2
，k∈Z.又 a>0，由分析可知 a 的最小值
为 π
6.故选 C．
(理)(2014·辽宁高考)将函数 y＝3sin(2x＋π
3)的图像向右平移π
2
个单位长度，所得图像对应
的函数( )
A．在区间[ π
12
，7π
12]上单调递减
B．在区间[ π
12
，7π
12]上单调递增
C．在区间[－π
6
，π
3]上单调递减
D．在区间[－π
6
，π
3]上单调递增
[答案] B
[解析] 本题考查三角函数的图像平移、三角函数的单调区间．
y＝3sin[2(x－π
2)＋π
3]＝3sin(2x＋π
3
－π)
＝－3sin(2x＋π
3)．
2kπ－π
2
≤2x＋π
3
≤2kπ＋π
2
，
2kπ－5π
6
≤2x≤2kπ＋π
6
，kπ－5π
12
≤x≤kπ＋ π
12
，
∴[kπ－5π
12
，kπ＋ π
12](k∈Z)是减区间，[kπ＋ π
12
，kπ＋7π
12](k∈Z)是增区间．故选 B．
二、填空题
3．若直线 y＝a 与函数 y＝sinx，x∈[－2π，2π)的图像有 4 个交点，则 a 的取值范围是
________．
[答案] (－1,1)
[解析] 如图所示：
y＝sinx，x∈[－2π，2π)有两个周期，
故若 y＝sinx 与 y＝a 有 4 个交点，则－10，|φ|<π
2)，给出下列四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图像关于直线 x＝ π
12
成轴对称图形；
③它的图像关于点(π
3
，0)成中心对称图形；
④在区间[－π
6
，0)上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题
________(用序号表示即可)
[答案] ①②⇒③④(也可填①③⇒②④)
[解析] 若①、②成立，则ω＝2π
π
＝2；令 2· π
12
＋φ＝kπ＋π
2
，k∈Z 且|φ|<π
2
，故 k＝0，∴
φ＝π
3.此时 f(x)＝sin(2x＋π
3)，当 x＝π
3
时，sin(2x＋π
3)＝sinπ＝0，∴f(x)的图像关于(π
3
，0)成中心
对称；又 f(x)在[－5π
12
， π
12]上是增函数，在[－π
6
，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似
的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.
三、解答题
5．(文)(2014·福建高考)已知函数 f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．
(1)求 f(5π
4 )的值；
(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解析] (1)f(5π
4 )＝2cos5π
4 (sin5π
4
＋cos5π
4 )＝－2cosπ
4(－sinπ
4
－cosπ
4)＝2.
(2)因为 f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝ 2sin(2x＋π
4)＋1，
所以 T＝2π
2
＝π.
由 2kπ－π
2
≤2x＋π
4
≤2kπ＋π
2
，k∈Z，
得 kπ－3π
8
≤x≤kπ＋π
8
，k∈Z.
所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－3π
8
，kπ＋π
8]，k∈Z.
(理)(2014·福建高考)已知函数 f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－1
2.
(1)若 0<α<π
2
，且 sinα＝ 2
2
，求 f(α)的值；
(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解析] (1)∵0<α<π
2
，sinα＝ 2
2
，∴cosα＝ 2
2
∴f(α)＝ 2
2 ( 2
2
＋ 2
2 )－1
2
＝1
2
(2)∵f(x)＝sinxcosx＋cos2x－1
2
＝1
2sin2x＋1＋cos2x
2
－1
2
＝1
2sin2x＋1
2cos2x＝ 2
2 sin(2x＋π
4)
∴T＝2π
2
＝π
由 2kπ－π
2
≤2x＋π
4
≤2kπ＋π
2
，k∈Z 得
kπ－3
8π≤x≤kπ＋π
8 k∈Z
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－3
8π，kπ＋π
8]k∈Z.
6．(文)已知函数 f(x)＝sinx－cosxsin2x
sinx
.
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求 f(x)的单调递减区间．
[解析] (1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z)，
故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为 f(x)＝sinx－cosxsin2x
sinx
＝sinx－cosx·2sinxcosx
sinx
＝2cosx(sinx－cosx)
＝sin2x－cos2x－1＝ 2sin(2x－π
4)－1，
所以 f(x)的最小正周期 T＝2π
2
＝π.
(2)函数 y＝sinx 的单调递减区间为[2kπ＋π
2
，2kπ＋3π
2 ](k∈Z)．
由 2kπ＋π
2
≤2x－π
4
≤2kπ＋3π
2
，x≠kπ(k∈Z)，
得 kπ＋3π
8
≤x≤kπ＋7π
8 (k∈Z)．
所以 f(x)的单调递减区间为[kπ＋3π
8
，kπ＋7π
8 ](k∈Z)．
(理)已知函数 f(x)＝sinx－cosxsin2x
sinx
.
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求 f(x)的单调递增区间．
[解析] (1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z)，
故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为 f(x)＝sinx－cosxsin2x
sinx
＝2cosx(sinx－cosx)
＝sin2x－cos2x－1
＝ 2sin(2x－π
4)－1，
所以 f(x)的最小正周期 T＝2π
2
＝π.
(2)函数 y＝sinx 的单调递增区间为[2kπ－π
2
，2kπ＋π
2](k∈Z)．
由 2kπ－π
2
≤2x－π
4
≤2kπ＋π
2
，x≠kπ(k∈Z)，
得 kπ－π
8
≤x≤kπ＋3π
8
，x≠kπ(k∈Z)．
所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－π
8
，kπ)和(kπ，kπ＋3π
8 ](k∈Z)．
