广东实验中学2019-2020学年高二上学期开学摸底考试数学试题

广东实验中学2019-2020学年高二上学期开学摸底考试数学试题

广东实验中学2019-2020学年第一学期高二年级开学摸底考试数学 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 下列六个关系式：①{a,b}{b,a}；②{a,b}={b,a}；③{0}=∅；④0∈{0}；⑤∅∈{0}；⑥∅{0}；其中正确的个数为（   ）‎ A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 少于4个 2. 若=（1，2），=（1，0）则与夹角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. 1‎ 3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 4. 设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 下列四条直线，其倾斜角最大的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 使数列的自然数n的最小值为（　　）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ 7. 将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足方程x2-2x+y2=0，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a-8b+24=0则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，∠ACB=90°，BC=CC1=1，，P为BC1上的动点，则CP+PA1的最小值为（　　）‎ A. B. C. 5 D. ‎ 10. 已知函数f（x）=，则方程f（x+-2）=a（a∈R）的实数根个数不可能（　　）‎ A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 11. 若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 12. 数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点B（-1，0），C（0，2），AB=AC，则△ABC的欧拉线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 1. 过△ABC所在平面α外一点，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，则点O是△ABC的______ 心．‎ 2. 圆心为两直线x+y-2=0和-x+3y+10=0的交点，且与直线x+y-4=0相切的圆的标准方程是______．‎ 3. 已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，则•tan2（π-α）=______．‎ 4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测b2020是数列{an}中的第______项． ‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 5. 设直线l的方程为（a-1）x+y+a+3=0，（a∈R）． （1）若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程； （2）若直线l不经过第一象限，求实数a的取值范围． ‎ 6. 在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15． （1）求数列{an}的通项公式；   （2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小． ‎ 7. 设向量=（λ+2，λ2-cos2α），=（m，+sinαcosα），其中λ，m，α为实数． （1）若α=，求||的最小值； （2）若=2，求的取值范围． ‎ 1. 一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱． （1）求圆锥的侧面积． （2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． ‎ 2. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点． （1）求证：EF∥面BCC1B1；  （2）求证：BE⊥面AB1C1； （3）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论．‎ ‎ ‎ 3. 对函数Φ（x），定义fk（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3． （1）当Φ（x）=2x时 ①求f0（x）和fk（x）的解析式； ②求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线； （2）若Φ（x）=x2，则是否存在正整数k，使得不等式fk（x）＜（1-3k）x+4k2+3k-1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合子集的判定，属于基础题． 本题利用元素与集合的关系进行判断，以及集合自身是自身的子集、空集是任何集合的子集进行判定即可． 【解答】 解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确； 根据集合无序性可知②正确； 集合{0}中含有1个元素，不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 故选C． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵； ∴． 故选：A． 根据向量的坐标即可求出，从而可求出向量与夹角的余弦值． 考查根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：对于A．f（x）=2x-1，g（u）=2u-1，定义域相同均为R，对应法则一样， 故A中两个函数表示同一函数； 对于B．y=x0=1（x≠0）与y=1（x∈R），两个函数的定义域不一致， 故B中两个函数不表示同一函数； 对于C．y=x2，（x∈R）与y=x=x|x|（x∈R），两个函数的定义域一致， 对应法则不一样，故C中两个函数不表示同一函数； 对于D．y=x-1与y=，y==|x-1|，两个函数的解析式不一致， 故D中两个函数不表示同一函数． 故选：A． 只要两函数的定义域相同，对应关系相同即可，与自变量用哪一个符号表示没有关系．就是相同的函数，对选项一一加以判断即可得到答案． 本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，熟练掌握判断两个函数是否为同一函数的方法，正确理解两个函数表示同一函数的概念是解答本题的关键． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：A：将不等式转化为a2-2a+3=（a-1）2+2＞0恒成立，A对． B：a2+b2≥0，B错 C：将不等式转化为a2（a-b）+b2（b-a）=（a-b）（a2-b2）=（a-b）2（a+b）不一定大于等于0，C错． D：如果想要用基本不等式，需要满足a＞0，D错． 故选：A ‎． 利用不等式的基本性质即可判断出． 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系． 根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案． 【解答】 ​解：根据题意，依次分析选项： 对于A、x+2y+3=0，其斜率k1=-，倾斜角θ1为钝角， 对于B、2x-y+1=0，其斜率k2=2，倾斜角θ2为锐角， 对于C、x+y+1=0，其斜率k3=-1，倾斜角θ3为135°， 对于D、x+1=0，倾斜角θ4为90°， 而k1＞k3，故θ1＞θ3， 故选：A． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：令数列前n项积为Tn， 则Tn==， 令，即n2+n＞110 当n=10时，n2+n=110， 当n=11时，n2+n＞110 故选：D． 令数列前n项积为Tn，则Tn=，令，可得答案． 本题考查的知识点是数列的概念，等差数列求和，难度中档． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：将函数y=cosx+sinx=2sin（x+）（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后得到y=2sin（x+m+），所得到的图象关于y轴对称，则m+=kπ+，k∈Z，即m=kπ+， 故m的最小值为； 故选：C． 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得m的最小值 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由x2-2x+y2=0得（x-1）2+y2=1，即P的轨迹是以B（1，0）为圆心半径为1的圆， 由a2+b2+6a-8b+24=0得（a+3）2+（b-4）2=1， 即Q的轨迹是以A（-3，4）为圆心半径为1的圆， 的几何意义为PQ的斜率， 由图象知，PQ斜率的最值为两圆的内公切线， ‎ A，B的中点C（-1，2）， 设PQ的斜率为k，则过C的内公切线方程为y-2=k（x+1）， 即kx-y+k+2=0， 圆心B的直线的距离d==1， 平方得4k2+8k+4=1+k2， 即3k2+8k+3=0， 得k===， 即斜率的最大值为，最小值为， 即的取值范围是[，]， 故选：B． 利用配方法，求出P，Q的轨迹，结合两点斜率公式得到的几何意义为PQ的斜率，利用数形结合得到斜率的最大值和最小值对应两圆的内公切线，结合直线和圆相切的等价条件求出斜率即可． 本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，利用两点斜率的几何意义，转化为求出两圆内公切线斜率问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示， 连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值． BC1=，A1C1=，A1B=，通过计算可得∠A1C1P=90° 又∠BC1C=45° ∴∠A1C1C=135° 由余弦定理可求得A1C= ==5． 故选：C． 连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线，由余弦定理即可求解． 本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，是中档题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵函数f（x）=， 即f（x）=． 因为当f（x）=1时， x=1或3或或-4， 则当a=1时， x+-2=1或3或或-4， 又因为x+-2≥0 或x+-2≤-4， 所以，当x+-2=-4时只有一个x=-2‎ 与之 对应． 其它情况都有2个x值与之对应， 故此时所求的方程有7个根， 当1＜a＜2时，y=f（x）与y=a有4个交点， 故有8个根； 当a=2时，y=f（x）与y=a有3个交点， 故有6个根； 综上：不可能有5个根， 故选：A． 以f（x）=1的特殊情形为突破口，解出x=1或3或或-4，将x+-2是为整体，利用换元的思想方法进一步讨论． 本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于中档题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意， ， 解①得：a＜-1或a＞0； 由②得：＜0， 令， 则（1-t）2-2（2+t）（t-1）＜0， 得t2+4t-5＞0，解得t＜-5或t＞1， 则＜-5或＞1， 则0＜＜或＞2． 即＜a＜0或0＜a＜1． 综上，实数a的取值范围为． 故选：A． 由题意可得，再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，训练了对数不等式的解法，属难题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 由于AB=AC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，求出线段BC的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程． 本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【解答】 解：由于AB=AC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上， 设线段BC垂直平分线的斜率为k，则kkBC=-1， ∴k×=-1，∴k=，又BC中点坐标为（，1）， ∴△ABC的欧拉线的方程为：y-1=-，整理得：2x+4y-3=0 故选：D． 13.【答案】外 ‎ ‎【解析】证明：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC， 故△POA，△POB，△POC都是直角三角形 ∵PO是公共边，PA=PB=PC ‎ ‎∴△POA≌△POB≌△POC ∴OA=OB=OC 故O是△ABC外心 故答案为：外． 点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得OA=OB=OC，符合这一性质的点O是△ABC外心． 本题考查三角形五心，求解本题的关键是能够根据题设条件得出PA，PB，PC在底面上的射影相等，以及熟练掌握三角形个心的定义，本题是一个判断形题，是对基本概念的考查题． 14.【答案】（x-4）2+（y+2）2=2 ‎ ‎【解析】解：联立，解得， ∴圆心坐标为：（4，-2）． ∵圆与直线x+y-4=0相切， ∴圆心（4，-2）到直线x+y-4=0的距离为， ∴圆的半径为． ∴圆的标准方程为（x-4）2+（y+2）2=2， 故答案为：（x-4）2+（y+2）2=2． 直接联立方程组求两条直线交点的坐标，即为圆心坐标，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y-4=0的距离，也就是所求圆的半径，然后直接写出圆的标准方程． 本题考查了两条直线交点的求法，考查了直线和圆的位置关系，直线和圆相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，此题是中档题． 15.【答案】- ‎ ‎【解析】解：解得方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-，x2=2， 由于α是第三象限角，∴sinα=-，则cosα=-， ∴•tan2（π-α） =•tan2α =•tan2α=-tan2α=-==-． 故答案为：-． 求解方程的根，再由角所在的象限确定角的正弦值，进而求出它的余弦值，利用诱导公式把所求的式子进行化简，把此角的正弦值和余弦值代入进行求解． 本题的考点是诱导公式和平方关系的应用，注意利用角所在的象限和诱导公式的口诀，正确确定三角函数值的符号，对于符号问题是易错的地方，需要认真和细心． 16.【答案】5050 ‎ ‎【解析】解：根据题意，由图可得：a1==1，a2==3，a3==6，…… 依此类推：an=， 其中当n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，29，30……时，an可以被5整除， 即数列{an}中每10项有4项能被5整除， 又2020=4×505，b2020是数列{an}中第5050项； 故答案为：5050． 根据题意，分析数列an的通项公式，进而分析可得当n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，29，30……时，an可以被5整除，即数列{an}中每10项有4项能被5整除，据此分析可得答案． 本题考查归纳推理的应用，关键是分析数列的变化规律，属于基础题． 17.【答案】解：（1）a=1时，直线化为y+4=0，不符合条件，应舍去； 当a≠1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，-a-3），（，0）． ‎ ‎∵直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等， ∴||=|-a-3|，解得a=-3或a=0，a=2． ∴直线l的方程为：-4x+y=0，-x+y+3=0或x+y+5=0． （2）直线l的方程（a-1）x+y+a+3=0化为y=-（a-1）x-a-3． ∵直线l不经过第一象限， ∴，解得a≥1． ∴实数a的取值范围是a≥1． ‎ ‎【解析】（1）a=1时，直接验证；当a≠1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，-a-3），（，0）．根据直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等即可得出． （2）直线l的方程（a-1）x+y+a+3=0化为y=-（a-1）x-a-3．由于直线l不经过第一象限，可得，解得即可． 本题考查了直线的截距式、直线的斜率与截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.【答案】解：（1）∵等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15， ∴ 解得a1=-9，d=3， ∴an=3n-12． （2）∵a1=-9，d=3，an=3n-12， ∴= =-， ∴当n=3或4时，前n项的和Sn取得最小值S3=S4=-18． ‎ ‎【解析】（1）由等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15，，由此能求出数列{an}的通项公式． （2）由a1=-9，d=3，an=3n-12，知=-，由此能求出当n=3或4时，前n项的和Sn取得最小值S3=S4=-18． 本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用． 19.【答案】解：（1）当a=时，=（m，+）， ∴||2=m2++=（m2+m）+=（m+）2+， ∴||= （2）∵=2，向量=（λ+2，λ2-cos2α），=（m，+sinαcosα）， ∴λ+2=2m，λ2-cos2α=m+sin2α ∴4m2-9m+4=sin2α+cos2α=2sin（2α+）， ∵-2≤2sin（2α+）≤2， ∴-2≤4m2-9m+4≤2， 解得≤m≤2 而=2-， ∴∈[-6，1] ‎ ‎【解析】（1）根据向量的模的定义和二次函数的性质即可求出， （2）根据=2，结合三角函数的恒等变换，求出m的取值范围，再求的取值范围即可． 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，还考查了求函数的最值问题，是综合题． 20.【答案】解：（1）圆锥的母线长为=2（cm）， ∴圆锥的侧面积S1=π×2×2=4 π（cm2）．…（6‎ 分） （2）画出圆锥的轴截面如图所示： 设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知=， ∴r=，∴圆柱的侧面积S2=2πrx=（-x2+6x）=-[（x-3）2-9]， ∴当x=3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2．…（12分） ‎ ‎【解析】（1）求出母线长，然后求解侧面积； （2）设圆柱的底面半径为r cm，求出r=，得到圆柱的侧面积S2的表达式，然后求解最大值． 本题考查圆柱的轴截面的面积的求法，考查轴截面面积的最大值的求法，解题时要注意空间思维能力的合理运用． 21.【答案】证明：（1）因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点， 所以EF∥A1A． 因为B1B∥A1A， 所以EF∥B1B． 又因为EF⊄平面BCC1B1，B1B⊂BCC1B1， 所以EF∥面BCC1B1． （2）因为BC⊥BC1，AB⊥BC，AB∩C1B=B， 所以BC⊥平面ABC1． 因为BE⊂平面ABC1，所以BE⊥BC． 又因为BC∥B1C1，所以BE⊥B1C1． 因为AB=BC1，E为AC1的中点， 所以BE⊥AC1． 因为AC1∩B1C1=C1， 所以BE⊥面AB1C1． （3）取BC1中点为G，连接GE、GF， 又因为E为AC1的中点， 所以GE∥AB． 因为EG⊄平面A1B1BA，AB⊂平面A1B1BA， 所以EG∥平面A1B1BA． 同理可证：EF∥平面A1B1BA． 又因为EF∩EG=E， 所以平面EFG∥平面ABB1A1． 所以在线段BC1上是存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1． ‎ ‎【解析】（1）由题意可得：EF∥A1A，所以可得EF∥B1B，再根据线面平行的判定定理可得线面平行． （2）根据题意可得：BC⊥平面ABC1，进而得到BE⊥BC，即得到BE⊥B1C1，因为AB=BC1，E为AC1的中点，所以BE⊥AC1，由线面垂直的判定定理可得线面垂直． （3）取BC1中点为G，连接GE、GF，由题意可得：GE∥AB，所以EG∥平面A1B1BA．同理可证：EF∥平面A1B1BA．再根据面面平行的判定定理可得面面平行． 解决此类问题的关键是熟练掌握有关线线、线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理． 22.【答案】解：（1）①f0（x）=Φ（x））=2x，x∈（0，2]；fk（x）=Φ（x-2k）+3k=2x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z． ②∵fk（x）=2x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z是增函数， ∴Φ（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为Pk（2k+2，4+3k）， 第k+1阶阶梯函数图象的最高点为Pk+1（2k+4，7+3k ‎）， 所以过Pk、Pk +1这两点的直线的斜率为k=．同理可得过Pk+1、 Pk +2这两点的直线的斜率也为．所以，Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线． （2）若Φ（x）=x2，则fk（x）=（x-2k）2+3k，fk（x）＜（1-3k）x+4k2+3k-1⇔（x-2k）2+3k＜（1-3k）x+4k2+3k-1， 整理得出x2-（k+1）x+1＜0．当k=1时，x2-2x+1＜0无解，当k≥2时，x2-（k+1）x+1＜0， 得出     ① 又根据x∈（2k，2k+2]，k∈Z           ② 又根据，①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意． ‎ ‎【解析】（1）利用题目中给出的阶梯函数的定义解决该类问题．关键要理解阶梯函数的定义以及一些字母和符号的含义．为求解函数解析式做准备，证明共线只需说明各点连线的斜率相等； （2）掌握探究性问题的解决方法，要假设存在正整数，寻找相应的关系式进行求解或说明． 本题考查新定义型问题的解决方法，属于创新题型．关键要理解阶梯函数的定义，然后写出该函数的解析式，利用单调性写出该函数的最值．掌握探究性问题的研究方法，先假设存在，再寻找字母满足的关系式，进行求解和判断． ‎