【数学】2019届一轮复习北师大版1-2　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

【数学】2019届一轮复习北师大版1-2　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

‎§1.2　命题与量词、基本逻辑联结词 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解命题的概念．‎ ‎2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．‎ ‎3.理解全称量词和存在量词的意义．‎ ‎4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.‎ ‎1．命题的概念 能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．‎ ‎2．全称量词与全称命题 ‎(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．‎ ‎(2)全称命题：含有全称量词的命题．‎ ‎(3)全称命题的符号表示：‎ 形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．‎ ‎3．存在量词与存在性命题 ‎(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．‎ ‎(2)存在性命题：含有存在量词的命题．‎ ‎(3)存在性命题的符号表示：‎ 形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．‎ ‎(4)全称命题与存在性命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x∈M，綈p(x)‎ ‎∃x∈M，q(x)‎ ‎∀x∈M，綈q(x)‎ ‎4.基本逻辑联结词 ‎(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．‎ ‎(2)命题真值表 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 假 假 假 真 知识拓展 ‎1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．‎ ‎(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．‎ ‎(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．‎ ‎2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．‎ ‎3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“3≥2”是真命题．(　√　)‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　√　)‎ ‎(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　√　)‎ ‎(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(　×　)‎ ‎(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　B 解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．‎ ‎3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________________________．‎ 答案　存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三　易错自纠 ‎4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(　　)‎ A．全等三角形的面积不一定都相等 B．不全等三角形的面积不一定都相等 C．存在两个不全等三角形的面积相等 D．存在两个全等三角形的面积不相等 答案　D 解析　命题是省略量词的全称命题，易知选D.‎ ‎5．下列命题中， 为真命题的是(　　)‎ A．∀x∈R，－x2－1<0‎ B．∃x∈R，x2＋x＝－1‎ C．∀x∈R，x2－x＋>0‎ D．∃x∈R，x2＋2x＋2<0‎ 答案　A ‎6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ 答案　1‎ 解析　∵函数y＝tan x在上是增函数，‎ ‎∴ymax＝tan ＝1.‎ 依题意知，m≥ymax，即m≥1.‎ ‎∴m的最小值为1.‎ 题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎1．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为(　　)‎ A．p∧q B．p∨q C．p∧(綈q) D．綈q 答案　B 解析　函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．‎ 由3x>0，得0<<1，所以函数y＝的值域为(0,1)，故命题q为真命题．‎ 所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B.‎ ‎2．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．p∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)‎ 答案　B 解析　∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.‎ ‎∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．‎ ‎∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，‎ 此时a2＜b2，‎ ‎∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．‎ ‎∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.‎ ‎3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：‎ ‎①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．‎ 其中正确的是________．(填序号)‎ 答案　②‎ 解析　命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．‎ 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式；‎ ‎(2)判断其中命题p、q的真假；‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．‎ 题型二　含有一个量词的命题 命题点1　全称命题、存在性命题的真假 典例 (2017·韶关二模)下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0‎ C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2‎ 答案　B 解析　当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.‎ 命题点2　含一个量词的命题的否定 典例 (1)命题“∀x∈R，x＞0”的否定是(　　)‎ A．∃x∈R，x＜0 B．∀x∈R，x≤0‎ C．∀x∈R，x＜0 D．∃x∈R，x≤0‎ 答案　D 解析　全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”．‎ ‎(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x∈R,1＜f(x)≤2”的否定形式是(　　)‎ A．∀x∈R,1＜f(x)≤2‎ B．∃x∈R,1＜f(x)≤2‎ C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2‎ D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2‎ 答案　D 解析　存在性命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”．‎ 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．‎ ‎(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；‎ ‎②对原命题的结论进行否定．‎ 跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是(　　)‎ A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝ B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1‎ C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x 答案　B 解析　∵sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝0，‎ ‎∴∀x∈(0，＋∞)，f(x)>0，‎ 即ex>x＋1，故B正确；‎ 当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；∵当x∈时，sin x0‎ C．∀x∈R，ex－x－1>0‎ D．∀x∈R，ex－x－1≥0‎ 答案　C 解析　根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.‎ 题型三　含参命题中参数的取值范围 典例 (1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．‎ 答案　[－12，－4]∪[4，＋∞)‎ 解析　若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，‎ 即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，‎ 则－≤3，即a≥－12.‎ ‎∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，‎ ‎∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．‎ ‎(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案　 解析　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，‎ g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，‎ 得0≥－m，所以m≥.‎ 引申探究 本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案　 解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，‎ 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，‎ ‎∴m≥.‎ 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．‎ 跟踪训练 (1)已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1,3)‎ C．(－3，＋∞) D．(－3,1)‎ 答案　B 解析　原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.‎ ‎(2)已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]‎ C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]‎ 答案　A 解析　依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题，‎ 得即m≥2.‎ 常用逻辑用语 考点分析 ‎ 有关命题及其真假判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．‎ 一、命题的真假判断 典例1 (1)(2017·江西红色七校联考)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝，则f(f(－1))＝0，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)‎ ‎(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p：∀x∈R,3x<5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)‎ 解析　(1)因为3x＞0，当m＜0时，m－x2＜0，‎ 所以命题p为假命题；‎ 当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，‎ 所以f(f(－1))＝f＝－2＝0，‎ 所以命题q为真命题，‎ 逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题，故选B.‎ ‎(2)若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，‎ ‎∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，‎ ‎∴(綈p)∧q是真命题．‎ 答案　(1)B　(2)B 二、求参数的取值范围 典例2　(1)已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥ex，命题q：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　(1)命题“p∧q”是真命题，p和q均是真命题．‎ 当p是真命题时，a≥(ex)max＝e；‎ 当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4，‎ 所以a∈[e,4]．‎ ‎(2)∵x∈，∴f(x)≥2 ＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，当x∈[2,3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a，依题意知f(x)min≥g(x)min，即4≥a＋4，∴a≤0.‎ 答案　(1)[e,4]　(2)(－∞，0]‎ ‎1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是(　　)‎ A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p真q假 D．p∨q为假 答案　D 解析　∵p假，q假，∴p∨q为假．‎ ‎2．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是(　　)‎ A．p为真 B．綈q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真 答案　C 解析　函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，故命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.‎ ‎3．(2018·唐山一模)已知命题p：∃x∈N，x30恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．‎ 答案　0‎ 解析　∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，‎ ‎∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，‎ ‎∴①为假命题；‎ 当且仅当x＝±时，x2＝2，‎ ‎∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；‎ 对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；‎ ‎4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，‎ 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，‎ ‎∴④为假命题．‎ ‎∴①②③④均为假命题．‎ 故真命题的个数为0.‎ ‎12．已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是 ‎____________．‎ 答案　 解析　由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方，故Δ＝25－4×a<0，‎ 解得a>，即实数a的取值范围为.‎ ‎13．已知命题p：－40，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．‎ 答案　[－1,6]‎ 解析　p：－40等价于20，则命题“p∧(綈q)”是假命题；‎ ‎②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；‎ ‎③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．‎ 其中正确结论的序号为________．‎ 答案　①③‎ 解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，‎ 所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；‎ ‎②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；‎ ‎③正确，所以正确结论的序号为①③.‎ ‎15．已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　[0,2]‎ 解析　若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．‎ 由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，‎ 设f(x)＝，x≠0，则 f′(x)＝＝，‎ 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当01，x≥2)．‎ ‎(1)若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；‎ ‎(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2, ＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________．‎ 答案　(1)[3，＋∞)　(2)(1，]‎ 解析　(1)因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．‎ ‎(2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，‎ 则　解得a∈(1，]．‎