江西省高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A）试卷 含答案

江西省高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A）试卷 含答案

江西省高安中学 2019—2020 学年度上学期期中考试 高一年级数学试题（A 卷） 一. 选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.已知集合 A＝ ，则 A∩B 的元素个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.若两直线 的倾斜角分别为 ，则下列四个命题中正确的是（ ） A.若 ，则两直线的斜率： B.若 ，则两直线的斜率： C.若两直线的斜率： ，则 D.若两直线的斜率： ，则 3.平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 等于 (　 　) A. B. C. D. 4.已知直线 的倾斜角为 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 5.设数列 为等差数列，且其前 n 项和为 .若 ，则 （ ） A.40 B.54 C.80 D.96 6.已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角 的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.在 中， ，则 ( ) A. B. C. D. 8.若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适 当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则 的值等于（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 { } { }3( , ) , ( , )x y y x B x y y x= = = 1 2,l l 1 2,α α 1 2 α α< 1 2k k< 1 2 α α= 1 2k k= 1 2k k< 1 2 α α< 1 2k k= 1 2 α α= a → b → 45 ( )1,1a = 2b = 3a b+  34 2 5 30 13 6 2+ 2 3 0x y− − = θ sin2θ 1 4 3 4 4 5 2 5 { }na nS 8 112 6a a= + 9S = 1 1 1ABC A B C− M 1 1AC AM 1BC 15 3 5 3 6 4 10 4 ABC∆ cos cos 2b C c B b+ = b a = 1 2 2 2 2 − 2 ,a b 2( ) ( 0, 0)f x x px q p q= − + > > , , 2a b − p q+ ，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 10.已知函数 ，将 的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍， 纵坐标不变，再把所得的图象向右平移 个单位长度，所得的图象关于原点对称，则 的一 个值是( ) A. B. C. D. 11.正数 满足 ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实 数 的取值范围是( ） A. B. C. D. 12.已知球 是正三棱锥 的外接球，底边 ，侧棱 ，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在题中横线上) 13.已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是_____. 14.记不等式组 表示的平面区域为 ，则圆 在区域 内的 弧长为________． 15.已知等差数列 的公差 ,且 成等比数列,若 为数列 的前 项和,则 的最小值为____________. [ ] [ ] 时，，且上的偶函数，当是定义在已知函数 2121 ,0,,21)(.9 xxmxxmmxf ≠∈− ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− − <   ( ) ( )1 2f x f x− ≤ 11, 3  −   1 1,2 3  −   10, 3      10, 2      ( ) cos 2 4f x x π = +   ( )y f x= 1 2 ϕ ϕ 3 16 π 3 8 π 3 4 π 5 16 π ba, 191 =+ ba mxxba −++−≥+ 1842 x m [3, )+∞ ( ,3]−∞ ( ,6]−∞ [6, )+∞ O A BCD− 3BC = 2 3AB = E BD 3BD BE= E O 5 ,44 π π     [ ]2 ,4π π 9 ,44 π π     11 ,44 π π     ( )2( ) lg 2f x x ax= − + (2, )+∞ a ( 2 )( 3 ) 0, 0 x y x y x − + ≥  ≥ D 2 2 1x y+ = D { }na 0d ≠ 1 3 13, ,a a a 1 1, na S= { }na n 2 24 5 n n S a + + 16.已知函数 满足 ，且 ,当 时， ，若曲线 与直线 有 5 个交点，则实数 的取值范围是 ______. 三 .解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ,共 75 分 ,17 题 满 分 10 分 ， 其 余 满 分 12 分 ) 17.（1）已知直线 ： 与 ： .若 ，求 的值. 18. 已知公差不为 0 的等差数列 的首项 ，且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ， ，求数列 的前 项和 . 19. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是等腰梯形，且 ，其中 . （1）证明：平面 平面 . （2）求点 到平面 的距离。 ( )f x ( 1 ) (1 )f x f x− + = + (1 ) (1 ),( )f x f x x R+ = − ∈ [ ]0,1x∈ ( ) 2 1xf x = − ( )y f x= ( 1)y k x= − k 1l 2 1 0x my+ + = 2l 4 ( 1) 2 0mx m y+ + + = 1 2l l m ..03)62(),22(2 的方程求圆在直线两点，且圆心，，过）已知圆（ CyxCBAC =+− { }na 1 2a = 1 2 41, 1, 1a a a+ + + { }na 1 1 n n n b a a + = *n N∈ { }nb n nS P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD / /AD BC 2 5, 2, 2 4 2,AB PA BC AD AC BD E= = = = = PBD ⊥ PAC B PDC 20.在平面四边形 中，已知 ， ， ． （1）若 ，求 的面积； （2）若 ， ，求 的长． （1）当 时，求 的值域； （2）若对任意 ， ，求实数 的取值范围． 22.对于定义域为 的函数 ，部分 与 的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 0 2 2 0 0 2 （1）求 ； （2）数列 满足 ，且对任意 ，点 都在函数 的图像上， 求 ； （3）若 ，其中 ， ， ， ， 求此函数的解析式，并求 ( )． ABCD 3 4ABC π∠ = AB AD⊥ 1AB = 5AC = ABC∆ 2 5sin 5CAD∠ = 4=AD CD nmxfxxnxxm  ⋅==−= )()cos4,sin2(),1,cos3(sin.21 2 ，函数已知向量 [0, ]2x π∈ ( )f x [0, ]2x π∈ 2 ( ) ( 2) ( ) 2 0f x a f x a− + + + ≥ a R ( )y f x= x y x 2− 1− 0 y 3 1− { [ (0)]}f f f { }nx 1 2x = n ∗∈N 1( , )n nx x + ( )y f x= 1 2 4nx x x+ + + ( ) sin( )y f x A x bω ϕ= = + + 0A > 0 ω π< < 0 ϕ π< < 0 3b< < (1) (2) (3 )f f f n+ + + n ∗∈N 江西省高安中学 2019—2020 学年度上学期期中考试 高一年级数学试题（A 卷）答案 一、选择题：(每小题 5 分，共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C B D A C C A D B 二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分) 13． 14. 15.4 16. . 三、解答题： 17．（1）因为 ，所以 ，解得 . （2）根据题意，设圆 C 的圆心为（a，b），半径为 r， 则圆 C 方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， 又由圆 C 过 A（﹣2，2），B（2，6）两点，且圆心 C 在直线 3x+y＝0 上， 则有 ，解可得 a＝﹣2，b＝6，r2＝16， 则圆 C 的方程为（x+2)2+（y﹣6)2＝16； 18．（1）设数列 的公差为 ，则 ， . 由 ， ， 成等比数列，得 ， 即 ，得 （舍去）或 . 所以数列 的通项公式为 ， . （2）因为 ， 所以 . 19.（1）过点 作 交 于点 . ( ],3−∞ 4 π 1 1 1 1, ,4 6 6 4    − −       1 2l l 22( 1) 4 0 2 ( 1) 0 m m m m  + − =  − + ≠ 1 2m = − { }na d ( )2 1na n d= + − *Nn∈ 1 1a + 2 1a + 4 1a + ( ) ( )( )2 2 1 41 1 1a a a+ = + + ( ) ( )23 3 3 3d d+ = + 0d = 3d = 3 1na n= − *Nn∈ ( )( )1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n n n b a a n n n n+  = = = − − + − +  ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 3 5 8 3 3 1 3 2 3 2 3 2 2 3 2n nS n n n n        = − + − + + − = − =       − + + +        A AH BC⊥ BC H 因为底面 是等腰梯形，且 ，所以 在 中， ，同理可得 因为 与 相似，所以 ， 所以 ，则 因为 平面 平面 ，所以 因为 平面 平面 ，且 ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 （2）因为 平面 ，所以 ， 因为 ，所以 在 中，因为 ， 所以 ， 所以 ，则 的面积为 设点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积 因为 ，所以 ，解得 故点 到平面 的距离为 20．解：（1）在 中， 即 ,解得 . ABCD 2 4 2BC AD= = 2, 3 2BH HC= = Rt ABH∆ 2 2 20 2 3 2AH AB BH= − = − = 6AC = BEC△ DEA△ 2AE DE= = 2 2 24 4 8AE DE AD+ = + = = AC BD⊥ PA ⊥ ,ABCD BD ⊆ ABCD PA BD⊥ PA ⊆ ,PAC AC ⊆ PAC PA AC A= BD ⊥ PAC BD ⊆ PBD PBD ⊥ PAC PA ⊥ ABCD ,PA AC PA AD⊥ ⊥ 2, 2 2, 6PA AD AC= = = 2 3, 2 10PD PC= = PDC∆ 2 3, 2 10, 2 5PD PC CD= = = 20 40 12 3 2cos 52 2 5 2 10 PCD + −∠ = = × × 7sin 5PCD∠ = PDC∆ 1 1 7sin 2 10 2 5 2 142 2 5PC CD PCD⋅ ∠ = × × × = B PDC h B PCD− 2 14 3 hV = 1 1 4 2 3 2 2 83 2P BDCV V −= = × × × × = 2 14 83 h = 6 14 7h = B PDC 6 14 7 ΔABC 2 2 2AC AB BC 2AB BC COS ABC∠= + − ⋅ ⋅ 25 1 BC 2 BC= + + ⋅ 2BC 2BC 4 0⇒ + − = BC 2= 所以 . （2）因为 ,所以 ， , .在 中， , . 所以 . 21.（1） 当 时， ， ， 所以 的值域为 ． （2）令 ， ，由（1）得 ，问题等价于 ， 恒成立，当 时， ； 当 时， ， 恒成立， 因为 ， ，当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值为 2，故 ，综上，实数 的取值范围为 ． 22.(1) (2) ,周期为 4 , 所以 ΔABC 1 1 2 1S AB BC sin ABC 1 22 2 2 2 ∠= ⋅ ⋅ = × × × = 0 2 5BAD 90 ,sin CAD 5 ∠ ∠= = 2 5cos BAC 5 ∠ = 5sin BAC 5 ∠ = πsin BCA sin BAC4 所以 ∠ ∠ = −   ( )2 cos BAC sin BAC2 ∠ ∠= − 2 2 5 5 10 2 5 5 10  = − =    ΔABC AC AB sin ABC sin BCA∠ ∠= AB sin ABCAC 5sin BCA ∠ ∠ ⋅∴ = = 2 2 2CD AC AD 2AC AD cos CAD∠= + − ⋅ ⋅所以 55 16 2 5 4 135 = + − × × × = CD 13= ( ) 2 22sin 2 3sin cos 4cosf x x x x x= − + 22 2cos 2 3sin cosx x x= + − 3 cos2 3sin2x x= + − 2cos 2 33x π = + +   0, 2x π ∈   42 ,3 3 3x π π π + ∈   1cos 2 1,3 2x π   + ∈ −       ( )f x [ ]1,4 ( )t f x= 0, 2x π ∈   [ ]1,4t ∈ ( )2 2 2 0t a t a− + + + ≥ [ ]1,4t ∈ 1t = a R∈ 1t ≠ ( ) 11 1a t t ≤ − + − ( ]1,4t ∈ ( ]1,4t ∈ ( ) ( )1 11 2 1 21 1t tt t − + ≥ − ⋅ =− − 2t = ( ) 11 1t t − + − 2a ≤ a ( ],2−∞ ( ){ } ( )( ) ( )0 3 1 2f f f f f f  = = − =  ( ) ( ) ( )1 1 2 12, 2 0,n nx x f x x f x f+= = ∴ = = = ( )3 2 3,x f x= = ( )4 3 1,x f x= = − ( )5 4 2x f x= = 5 1x x∴ = = . (3)由题意得 又 而 从而有 此函数的最小正周期为 6, 1)当 时. . 2)当 时. . 1 2 4nx x x+ + + 4n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2{ 0 3 3 2 0 4 f f f f − = = = = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 sin sin sin cos 0ω ϕ ω ϕ ω ϕ− ∴ + = − + ∴ =  0 ω π< < sin 0 cos 0ω ϕ∴ ≠ ∴ = 0 ϕ π< < 2 πϕ∴ = ( )2 3 3 2 { 2 3 { 2cos 1 3 02 0 A b Acos A Acos b b A A AAcos b ω ω ωω + = + − = + = ⇒ = − ⇒ − + − =+ = 2 22 4 2 2 3 0 2. 1A A A A A b∴ − + − + = ∴ = = 1cos 2 ω =  0 ω π< < 3 πω∴ = ( ) 2cos 13f x x π∴ = + ( ) ( )6 0 3f f= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4)+ 5 6 6f f f f f f+ + + + = （ 2n k= ( )*k N∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 6f f f n f f f k+ + + = + + +  ( ) ( ) ( )1 2 6 6 3k f f f k n = + + + = =  2 1n k= − ( )*k N∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 6 6 2 6 1 6f f f n f f f k f k f k f k+ + + = + + + − − − − −  ( ) ( ) ( )1 2 6 5 6 5 3 2k f f f k n = + + + − = − = − 