2018-2019学年四川省阆中中学高一下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年四川省阆中中学高一下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省阆中中学高一下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．数列2，22，222，2222，的一个通项公式an是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据所给的这个数列的特点，先写出数列{cn}:9，99，999，9999的通项是10n﹣1，而要求数列的每一项均是数列{cn}的，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，数列{cn}：9，99，999，9999的通项是10n﹣1，‎ 数列2，22，222，2222，…的每一项均是数列{cn}的，‎ 则数列2，22，222，2222，的一个通项公式是an；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项的求法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去寻找通项公式，属于基础题．‎ ‎2．已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（　　）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】利用正弦定理计算，注意有两个解.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，故，‎ 所以，又，故或.所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎3．已知sinθ＋cosθ＝， ≤θ≤，则cos2θ的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】sinθ＋cosθ＝，平方得2 sinθcosθ的值，进而得sinθ-cosθ的值，联立即可求解 ‎【详解】‎ sinθ＋cosθ＝，平方得2 sinθcosθ=，且 <θ<‎ 故,即，则cos2θ=（sinθ＋cosθ）（cosθ- sinθ）= ‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数基本关系及二倍角公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题 ‎4．已知数列{an}满足递推关系：an+1=，a1=，则a2017=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】an+1=，a1=，可得1．再利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵an+1=，a1=，∴1．‎ ‎∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．‎ ‎∴2+2016＝2018．‎ 则a2017．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（b-‎ c）sinB+csinC=asinA，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等式利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，即可求出sinA．‎ ‎【详解】‎ 已知等式（bc）sinB+csinC＝asinA，利用正弦定理化简得：（bc）b+c2＝a2，‎ ‎∴b2+c2﹣a2bc，‎ ‎∴cosA，‎ ‎∴sinA，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，是基础题 ‎6．在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（　　）‎ A． B．5 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，‎ ‎∴acsinB＝2，即c＝4，‎ ‎∴由余弦定理得：﹣2accosB＝1+32﹣8＝25，即b＝5，‎ 则由正弦定理得：2R5．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎7．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若S9＝12，则下列各式一定为定值的是(　　)‎ A．a3＋a8 B．a10‎ C．a3＋a5＋a7 D．a2＋a7‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的性质和求和公式可得a5为定值，逐个选项验证可得．‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质和求和公式可得 S99＝12，∴为定值，‎ 再由等差数列的性质可知a3＋a5＋a7＝3为定值．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质和求和公式，熟记公式及性质，准确计算是关键，属基础题．‎ ‎8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是（ ）‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2，转化为cosA，整理即可判断△ABC的形状．‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中，∵cos2，‎ ‎∴‎ ‎∴1+cosA1，即cosA，‎ ‎∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∴sinAcosC＝0，∵sinA≠0，‎ ‎∴cosC＝0，‎ ‎∴C为直角．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．‎ ‎9．数列{an}的通项公式为，若{an}是递减数列，则λ的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】数列{an}是递减数列，可得an＞an+1，化简解出即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵数列{an}是递减数列，‎ ‎∴an＞an+1，‎ ‎∴﹣2n2+λn＞﹣2（n+1）2+λ（n+1），‎ 解得λ＜4n+2，‎ ‎∵数列{4n+2}单调递增，‎ ‎∴n＝1时取得最小值6，‎ ‎∴λ＜6．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的通项公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10．已知an=（n∈N），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（　　）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】，该函数在和上都是递减的，在上各项为负值，在上各项为正值，这个数列的前项中的最大项和最小项分别是，故选C.‎ ‎11．等差数列共有项，若前项的和为200，前项的和为225，则中间项的和为（ ）‎ A．50 B．75 C．100 D．125‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列前m项的和为x，由等差数列的性质可得，中间的m项的和可设为x+d，后m项的和设为x+2d，‎ 由题意得2x+d=200，3x+3d=225，‎ 解得x=125，d=﹣50，‎ 故中间的m项的和为75，‎ 故选B．‎ ‎12．如图所示，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=AD，AB=2AD，则sinB等于（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据题意设,则,,在中由余弦定理可得 ‎,,在中由正弦定理得,故选C．‎ ‎【考点】正余弦定理的综合应用．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查的是解三角形以及正余弦定理的应用,属于中档题目．题目先根据设出,从而均可用来表示,达到变量的统一,因此只需列出等式求出的值即可．先由余弦定理求出,接下来由和互补,得出其正弦值相等,再从中使用正弦定理,从而求出．‎ 二、填空题 ‎13．已知数列为等差数列，若=8,,则的值为_______________‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】利用等差数列性质求解即可 ‎【详解】‎ 由等差数列性质知2，解=32‎ 故答案为32‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质，准确计算是关键，是基础题 ‎14．一艘船以的速度向正北航行，船在处看见灯塔在船的北偏东方向，1后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上，这时船与灯塔的距离等于_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意画出图形：∠A＝45°，∠ACB＝105°，推出∠B，求出AC，利用三角形求出CD，然后求BC．‎ ‎【详解】‎ 由题意画出图形，如图过C作CD⊥AB于D，‎ 在Rt△ACD中，AC＝20×1＝20，∠A＝45°，‎ ‎∴sinA．‎ ‎∴CD＝AC•sinA＝2010．‎ 在Rt△BCD中，∠B＝∠PCB﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，‎ ‎∴BC＝2•CD＝2×1020．‎ ‎∴此时船与灯塔的距离BC为20‎ 故答案为20‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，也可以利用正弦定理解答本题，考查计算能力．‎ ‎15．数列的通项公式，则该数列的前8项之和等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用裂项求和即可求数列的和．‎ ‎【详解】‎ 由题)‎ 则该数列的前8项之和等于 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查数列求和，考查裂项求和方法，准确计算是关键，是基础题 ‎16．已知数列的前项和为，，，且对于任意，，满足 ，则的值为__________‎ ‎【答案】91‎ ‎【解析】由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2，可得an+1﹣an＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵对于任意n＞1，n∈N，满足Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），‎ ‎∴n≥2时，Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2，‎ ‎∴an+1﹣an＝2．‎ ‎∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2．‎ 则＝1+9×291．‎ 故答案为91‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，求项数n.‎ ‎【答案】n=26‎ ‎【解析】由题得求得+，再利用求和公式求n即可 ‎【详解】‎ 由题知 ‎①+②得 4（+）=88，得+‎ 所以 n=26‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列性质及求和公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题 ‎18．设正项数列的前项和满足.‎ ‎（1）求的通项公式;‎ ‎（2）设 , 求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）令，得当时， ，得，即可求解；（2），裂项相消求和即可 ‎【详解】‎ ‎（1）令，解得当时， ，即2）=0，因为 ，所以 ，于是有，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，因此 .‎ ‎（2）因为 ， ‎ ‎ 所以 = =‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式及数列求和，等差数列通项，裂项相消求和，准确计算是关键，是基础题 ‎19．已知向量＝(sin x，cos x)，＝(cos x，cos x)，＝(2，1)．‎ ‎(1)若∥，求sin xcos x的值；‎ ‎(2)若0＜x≤，求函数f(x)＝·的值域．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ‎ ‎【解析】(1)由向量共线得tan x＝2，再由同角三角函数基本关系得sin xcos x＝‎ ‎，即可求解；(2)整理f(x)＝·＝sin（2x+）+，由三角函数性质即可求解最值 ‎【详解】‎ ‎(1)∵∥，∴sin x＝2cos x，tan x＝2.‎ ‎∴sin xcos x＝＝=‎ ‎(2)f(x)＝·＝sin xcos x＋cos2x ‎＝sin 2x＋(1＋cos 2x)=sin（2x+）+‎ ‎∵0＜x≤，∴＜2x+≤.∴sin（2x+）≤1‎ ‎∴1≤f(x)≤.所以f(x)的值域为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数恒等变换，同角三角函数基本关系式，三角函数性质，熟记公式，准确计算是关键，是中档题 ‎20．在△ABC中，AsinC ‎（Ⅰ）求∠B的大小；‎ ‎（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）1‎ ‎【解析】（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2=b2+ac，即可求得cosB，则B可求；（Ⅱ）由C=-A，代入cosA+cosC整理为sin（A+），由A的范围求其最大值即可 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵在△ABC中，由正弦定理可得a2+c2=b2+ac．∴a2+c2-b2=ac，‎ ‎∴cosB=，又B ‎∴B=；‎ ‎（Ⅱ）由（I）得：C=-A，‎ ‎∴cosA+cosC =cosA+cos（-A）=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+），‎ ‎∵A∈（0，），∴A+∈（，π），‎ 故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即c cosA+cosC的最大值为1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正余弦定理及三角函数化简，三角函数性质，熟记公式，准确计算是关键，是中档题 ‎21．在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：‎ ‎（1）a和c的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.‎ 解，即可求出a，c；（2） 在中，利用同角基本关系得 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.‎ ‎（1）由得，，又，所以ac=6.‎ 由余弦定理，得.‎ 又b=3，所以.‎ 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.‎ 因为a>c,∴ a=3，c=2.‎ ‎（2）在中，‎ 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.‎ 于是=.‎ ‎【考点】1.解三角形；2.三角恒等变换.‎ ‎22．如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点.现位于A点北偏东点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西 且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时.‎ ‎(1)求BD之间的距离 ‎(2)该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎【答案】（1） ；（2）1‎ ‎【解析】(1)由题知，，在中，由正弦定理得，即可求BD; （2）由题得由=，在中，由余弦定理得 ，求得CD=30,即可求解t ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知海里，，‎ ‎∴，在中，由正弦定理得，‎ ‎∴‎ ‎= =（海里），‎ ‎（2）由题可知 =，BC=海里，‎ 在中，由余弦定理得 ‎ ‎ ，‎ ‎∴CD=30（海里），则需要的时间t=（小时）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的实际应用，考查正余弦定理，熟记定理公式，准确计算是关键，是中档题