2020版高中数学 第二章 2.2. 事件的相互独立性

2020版高中数学 第二章 2.2. 事件的相互独立性

‎2.2.2　‎事件的相互独立性 学习目标　1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．‎ 知识点一　相互独立的概念 甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A为“从甲箱里摸出白球”，事件B为“从乙箱里摸出白球”．‎ 思考1　事件A发生会影响事件B发生的概率吗？‎ 答案　不影响．‎ 思考2　P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？‎ 答案　P(A)＝，P(B)＝，‎ P(AB)＝＝.‎ 思考3　P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？‎ 答案　P(AB)＝P(A)P(B)．‎ 梳理　‎ 条件 设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)‎ 结论 称事件A与事件B相互独立 知识点二　相互独立的性质 16‎ 条件 A与B是相互独立事件 结论 也相互独立 ‎1．不可能事件与任何一个事件相互独立．(　√　)‎ ‎2．必然事件与任何一个事件相互独立．(　√　)‎ ‎3．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　√　)‎ ‎4．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　√　)‎ 类型一　事件独立性的判断 例1　判断下列各对事件是不是相互独立事件：‎ ‎(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；‎ ‎(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；‎ ‎(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．‎ 考点　相互独立事件的定义 题点　相互独立事件的判断 解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．‎ ‎(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．‎ ‎(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，‎ 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，‎ 所以P(AB)＝P(A)P(B)，‎ 所以事件A与B相互独立．‎ 反思与感悟　三种方法判断两事件是否具有独立性 16‎ ‎(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．‎ ‎(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．‎ ‎(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．‎ 跟踪训练1　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：‎ ‎(1)家庭中有两个小孩；‎ ‎(2)家庭中有三个小孩．‎ 考点　相互独立事件的定义 题点　相互独立事件的判断 解　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，‎ 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.‎ 这时A＝{(男，女)，(女，男)}，‎ B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，‎ AB＝{(男，女)，(女，男)}，‎ 于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.‎ 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，‎ 所以事件A，B不相互独立．‎ ‎(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．‎ 由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．‎ 于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，‎ 显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．‎ 从而事件A与B是相互独立的．‎ 类型二　求相互独立事件的概率 例2　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：‎ ‎(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；‎ 16‎ ‎(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．‎ 考点　相互独立事件同时发生的概率计算 题点　求多个相互独立事件同时发生的概率 解　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，‎ 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，‎ 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.‎ ‎(1)由题意得A，B，C之间互相独立，‎ 所以恰好有两列火车正点到达的概率为 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)‎ ‎＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()‎ ‎＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.‎ ‎(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P( )‎ ‎＝1－P()P()P()‎ ‎＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.‎ 引申探究 ‎1．在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．‎ 解　恰有一列火车正点到达的概率为 P3＝P(A )＋P(B)＋P( C)＝P(A)P()·P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.‎ ‎2．若一列火车正点到达计10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．‎ 解　事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，‎ 所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)‎ ‎＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.‎ 反思与感悟　明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．‎ 一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：‎ ‎(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.‎ ‎(2)A，B都发生为事件AB.‎ ‎(3)A，B都不发生为事件 .‎ ‎(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.‎ ‎(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ .‎ 跟踪训练2　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和 16‎ ‎，求两人破译时，以下事件发生的概率：‎ ‎(1)两人都能破译的概率；‎ ‎(2)恰有一人能破译的概率；‎ ‎(3)至多有一人能破译的概率．‎ 考点　相互独立事件同时发生的概率计算 题点　求两个相互独立事件同时发生的概率 解　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．‎ ‎(1)两个人都破译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.‎ ‎(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B，‎ ‎∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)‎ ‎＝P(A)P()＋P()P(B)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，‎ ‎∴其概率为1－P(AB)＝1－＝.‎ 类型三　相互独立事件的综合应用 例3　计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．‎ ‎(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？‎ ‎(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率；‎ ‎(3)用X表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求X的分布列．‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与分布列 解　(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则 P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，‎ P(C)＝×＝.‎ 因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大．‎ 16‎ ‎(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则 P(D)＝P(AB )＋P(A C)＋P(BC)‎ ‎＝××＋××＋××＝.‎ ‎(3)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝2)＝P(D)＝，‎ P(X＝3)＝××＝，‎ P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－－－＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 反思与感悟　概率问题中的数学思想 ‎(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．‎ ‎(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．‎ ‎(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．‎ 跟踪训练3　甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎(1)求乙投球的命中率p；‎ ‎(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 解　(1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得P()P()＝，‎ 16‎ 解得P()＝或P()＝－(舍去)，‎ 故p＝1－P()＝，所以乙投球的命中率为.‎ ‎(2)方法一　由题设知，P(A)＝，P()＝，‎ 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 ‎1－P(·)＝1－P()P()＝.‎ 方法二　由题设知，P(A)＝，P()＝，‎ 故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P(A)P()＋P(A)P(A)＝.‎ ‎1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)‎ A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 考点　相互独立事件的定义 题点　相互独立事件的判断 答案　D 解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错．而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件．‎ ‎2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 考点　相互独立事件同时发生的概率计算 题点　求两个相互独立事件同时发生的概率 答案　A 解析　P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.‎ ‎3．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是(　　)‎ 16‎ A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)‎ C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 答案　B 解析　恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)，故选B.‎ ‎4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 考点　相互独立事件同时发生的概率计算 题点　求多个相互独立事件同时发生的概率 答案　C 解析　由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，，则在这段道路上三处都不停车的概率P＝××＝.‎ ‎5．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：‎ ‎(1)第3次拨号才接通电话；‎ ‎(2)拨号不超过3次而接通电话．‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 解　设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3.‎ ‎(1)第3次拨号才接通电话可表示为1‎2A3，‎ 于是所求概率为P(1‎2A3)＝××＝.‎ ‎(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为 A1＋‎1A2＋1‎2A3，‎ 于是所求概率为P(A1＋‎1A2＋1‎2A3)‎ ‎＝P(A1)＋P(‎1A2)＋P(1‎2A3)‎ ‎＝＋×＋××＝.‎ 16‎ 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)‎ 互斥事件 相互独立事件 定义 不可能同时发生的两个事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 概率 公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)‎ P(AB)＝P(A)P(B)‎ 一、选择题 ‎1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)‎ A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立 考点　相互独立事件的定义 题点　相互独立事件的判断 答案　C 解析　∵P(A)＝1－P()＝1－＝，‎ ‎∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴A，B相互独立．‎ ‎2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是‎3”‎为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 答案　A 16‎ 解析　因为P(A)＝，P(B)＝，所以P()＝，‎ P()＝.又A，B为相互独立事件，‎ 所以P( )＝P()P()＝×＝.‎ 所以A，B中至少有一个发生的概率为1－P( )＝1－＝.‎ ‎3．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　相互独立事件性质的应用 答案　C 解析　设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．‎ 根据题意，知事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.‎ 记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，‎ 则C＝A∪B，且A和B互斥．‎ 故P(C)＝P(A∪B)‎ ‎＝P(A)＋P(B)‎ ‎＝P(A)P()＋P()P(B)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎4．从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于(　　)‎ A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰好有1个红球的概率 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 答案　C 16‎ 解析　至少有1个红球的概率是×＋×＋×＝. ‎ ‎5．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)‎ A. B. C. D. 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　相互独立事件性质的应用 答案　D 解析　由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，‎ 即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，‎ ‎∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，则P()＝P()＝，‎ ‎∴P(A)＝.‎ ‎6．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 考点　相互独立事件同时发生的概率计算 题点　求多个相互独立事件同时发生的概率 答案　B 解析　因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，它们之间相互独立，且遇到红灯的概率都是，所以未遇到红灯的概率都是1－＝，所以P＝××＝.‎ ‎7．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　)‎ A. B. 16‎ C. D. 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 答案　C 解析　满足xy＝4的所有可能如下：‎ x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.‎ ‎∴所求事件的概率为 P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)‎ ‎＝×＋×＋×＝.‎ ‎8．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 答案　B 解析　设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，‎ 所以P(E)＝P(ABC∪AB∪AC)‎ ‎＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)‎ ‎＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()·P(C)‎ ‎＝××＋××＋××＝.‎ 二、填空题 ‎9．某自动银行设有两台ATM机．在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为，，则该客户此刻到达需要等待的概率为________．‎ 考点　相互独立事件同时发生的概率计算 题点　求两个相互独立事件同时发生的概率 16‎ 答案　 解析　该客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用，故所求概率为P＝×＝.‎ ‎10．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　相互独立事件性质的应用 答案　　 解析　∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，‎ ‎∴P()＝，即P(C)＝.又P(C)＝P()·P(C)＝，‎ ‎∴P()＝，P(B)＝.又P(AB)＝，则P(A)＝，‎ ‎∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝.‎ ‎11．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　相互独立事件性质的应用 答案　0.128‎ 解析　由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]·P(A)P(A)＝0.128.‎ 三、解答题 ‎12．要生产一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲、乙机床生产的产品中各任取1件，求：‎ ‎(1)至少有1件废品的概率；‎ ‎(2)恰有1件废品的概率．‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 解　从甲、乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A，B，则事件A，B相互独立．‎ ‎(1)设至少有1件废品为事件C，则 16‎ P(C)＝1－P( )＝1－P()P()＝1－(1－0.04)×(1－0.05)＝0.088.‎ ‎(2)设“恰有1件废品”为事件D，则 P(D)＝P(A )＋P(B)＝0.04×(1－0.05)＋(1－0.04)×0.05＝0.086.‎ ‎13．某校设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆，10个学豆，20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别为，，，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．‎ ‎(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；‎ ‎(2)设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列．‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与分布列 解　(1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥．‎ P(A1)＝××＝，‎ P(A2)＝××××＝，‎ P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝，‎ 所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.‎ ‎(2)由题意得X的所有可能取值为0,5,15,35，‎ P(X＝0)＝＋P(A)＝，‎ P(X＝5)＝×＝，‎ P(X＝15)＝×××＝，‎ P(X＝35)＝××××＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎35‎ P 16‎ 四、探究与拓展 ‎14．甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中6道题，乙能答对其中8道题．若规定每人每次考试都从这10道题中随机抽出3道题进行测试，且至少答对2道题算合格，则甲、乙两人分别参加一次考试，至少有一人考试合格的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 答案　C 解析　设事件A表示“甲考试合格”，事件B表示“乙考试合格”，则P(A)＝＝＝，‎ P(B)＝＝＝.‎ 所以甲、乙两人考试都不合格的概率为P( )＝P()P()＝×＝，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1－P( )＝1－＝.‎ ‎15．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ 设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列．‎ 考点　‎ 题点　‎ 解　设A表示事件“作物产量为‎300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4.‎ ‎∵利润＝产量×市场价格－成本，‎ ‎∴X所有可能的取值为 ‎500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，‎ 16‎ ‎300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.‎ P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，‎ P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()‎ ‎＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，‎ P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，‎ 所以X的分布列为 X ‎4 000‎ ‎2 000‎ ‎800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 16‎