2018届二轮复习 导数及其应用 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 导数及其应用 学案（ 江苏专用）

专题4：导数及其应用（两课时）‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．（1）曲线y＝x3上在点(－1，－1)的切线方程为 ．‎ ‎（2）曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为 ．‎ 答案：（1）y＝3x＋2．‎ ‎ （2）y＝2x或y＝－x．‎ 解析：（1）y ′＝3x，则切线的斜率是3×（－1），再利用点斜式 ‎(2) y ′＝3x－6x＋2，设切点为（x，x3－3x2＋2x）,则切线的斜率为3x－6x＋2.‎ 切线方程为y－（x3－3x2＋2x）＝（3x－6x＋2）（x－x），（0，0）代入，得x的值，从而得到切线方程 ‎2．（1）函数f(x)＝2x2－lnx的减区间为 ．‎ ‎（2）函数f(x)＝x3－ax2－4在(3，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为 ．‎ 答案：（1）(0，)．（2）a≤．‎ 解析：（1）定义域为（0，＋∞）；求导，f ′(x)＝4x－，令f ′(x)＜0，解不等式 ‎(2) f(x)＝x3－ax2－4在(3，＋∞)上是增函数，则f ′(x)＝x－2ax≥0对x∈(3，＋∞)恒成立 ‎∴‎2a≤x，∴‎2a≤3‎ ‎3．求下列函数极值(或最值)：‎ ‎ （1） f(x)＝xlnx （2）f(x)＝sinx－x，x∈[－，]‎ 答案：（1）当x＝时，f(x)取极小值－．‎ ‎ （2）当x＝－时，f(x)取最小值－．当x＝时，f(x)取最大值－．‎ 解析：（1）f ′(x)＝lnx＋1，令f ′(x)＝0，则x＝，列表格得到单调性，求出极小值 ‎(2)f ′(x)＝cosx－，令f ′(x)＝0，则x＝±，列表格得到单调性，求出极小值极大值 ‎4．已知函数f(x)＝ax2－lnx－1(a∈R)，求f(x)在[1，e]上的最小值．‎ 答案：当a≤时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．‎ ‎ 当＜a＜时，f(x)在[1，e]上的最小值为f()＝(ln‎2a－1)．‎ ‎ 当a≥时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．‎ 解析： 解：f ′(x)＝2ax－＝， 当a≤0时，f ′(x)＜0，f(x)在[1，e]上为减函数，所以f(x)的最大值为f（1），最小值为f（e）＝ae2－2． 当a＞0时，令f（x）＝0得2ax2＝1，① 由①得x＝， （1）若≤1，即a≥时，f ′(x)≥0，f(x)在[1，e]上为增函数， ∴最小值为f（1）＝a－1‎ ‎（2）若1＜＜e，即＜a＜时，f(x)在（1，）上为减函数，在（，e）上为增函数， ∴当x＝，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f（）＝(ln‎2a－1)．‎ ‎（3）若≥e，即a≤时，f(x)在（1，e）上为减函数，最小值为f(e)＝ae2－2．‎ 综上得：当a≤时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．‎ ‎ 当＜a＜时，f(x)在[1，e]上的最小值为f()＝(ln‎2a－1)．‎ ‎ 当a≥时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．‎ ‎5．若不等式ax2＞lnx＋1对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．‎ 答案：a＞ 解析：ax2＞lnx＋1∴a＞，令f(x)＝，只要a＞f(x)max 解答：若不等式ax2＞lnx+1对任意x∈（0，+∞）恒成立，‎ ‎∵f ′(x)＝－，（x＞0）， 令f ′(x)=0得x＝，易知当x∈(0，)时，f ′(x)＞0；当x∈(，+∞)时，f ′(x)＜0． 故f(x)在(0，]上递增，在(，+∞)上递减． 所以f(x)max＝f()＝． ‎ 故要使原不等式恒成立，只需a＞， ‎ ‎6．已知f (x)＝ax2，g(x)＝lnx＋1，若y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个交点，求实数a的取值范围．‎ 答案：(0，)‎ 解析：ax2＝lnx＋1有两个根，则ax2－lnx－1＝0有两解。令f(x)＝ax2－lnx－1，则f ′(x)＝2ax－＝， 当a≤0时，f ′(x)＜0，f(x)在（0，＋∞）上为减函数，不合题意 当a＞0时，令f ′(x)＝0得2ax2＝1，① 由①得x＝，f(x)在（0，）上为减函数，在（，＋∞）上为增函数， ∴当x＝，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f（）＝(ln‎2a－1)．‎ ‎∴只要(ln‎2a－1)＜0，∴a∈(0，)‎ 二、方法联想 ‎1．切线方程 ‎ 涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．‎ 注意 (1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．‎ ‎(2)切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．‎ 变式1‎ 函数上一点处的切线方程为，求的值 答案：a＝2，b＝1‎ ‎（已知切线方程求参数）‎ 变式2‎ 题目：在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，‎ 切点分别为和,则的值是 ‎ 答案 ． ‎ 解析：由题设函数y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为：y＝2x1 x－x12，‎ 函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3 x22 x－2x23．‎ 所以，解之得：x1＝，x2＝．‎ 所以 ＝．‎ ‎（已知两曲线的公共切线，求切点）‎ 变式3‎ 曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 .‎ 答案：1‎ ‎（求两曲线的公切线条数）‎ 变式4‎ 已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围 答案：‎ 解：设切点坐标，切线斜率为，则有 ‎ 切线方程为：‎ 因为切线过，所以将代入直线方程可得：‎ ‎ ‎ 所以问题等价于方程，令 即直线与有三个不同交点 令解得 所以在单调递减，在单调递增 ‎ ‎ 所以若有三个交点，则 ‎ 所以当时，过点存在3条直线与曲线相切 ‎（已知公切线条数，研究参数的范围）‎ ‎2．函数单调性 ‎(1)如果在某个区间上f ′(x)＞0，那么f(x)为该区间上的增函数；‎ 如果在某个区间上f ′(x)＜0，那么f(x)为该区间上的减函数．‎ ‎(2)如果f(x)在某个区间为增函数，那么在该区间f ′(x)≥0；‎ 如果f(x)在某个区间为减函数，那么在该区间f ′(x)≤0．‎ 注意 求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“∪”，用“，”或“和”．‎ 变式1、已知f(x)＝2ax－－(2＋a)ln x(a≥0)．当a＞0时，讨论f(x)的单调性．‎ 答案：f′(x)＝‎2a＋－(2＋a)＝＝.‎ ‎ ①当0＜a＜2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数；‎ ‎ ②当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎ ③当a＞2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数．‎ ‎（已知导数等于0的两个根，求单调性）‎ 变式2、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围_______________‎ 答案：‎ ‎（不单调，求参数的范围）‎ 变式3、定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 ．‎ 答案：‎ ‎(确定函数单调性)‎ ‎3．函数极值(或最值)‎ ‎①求函数的定义域；②求f ′(x)＝0在区间内的根；③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．‎ 变式1、已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是_____．‎ 答案：(－1,0)‎ 解答：因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f ′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f ′(x)＞0，右边f ′(x)＜0，所以导函数f ′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．‎ ‎（已知极大（小）值点，求参数范围）‎ 变式2、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．‎ 答案　(，2)‎ 解答：由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，‎ 所以根据导函数图象可又a>0，解得

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