山东省高唐县第一中学2019-2020学年高一下学期第二次月考数学试题

山东省高唐县第一中学2019-2020学年高一下学期第二次月考数学试题

高唐一中2019-2020学年下学期第二次月考高一数学试题 ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.（ ）‎ A.z对应点在第二象限 B. C.复数z的虚部为 D.‎ ‎2.高一某班10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：76,90，84,82，81,87，86，82,85,83.这组数据的75百分位数是（ ）‎ A.85 B.86 C.85.5 D.86.5‎ ‎3.已知向量 A．7 B．-7 C. -1 D．1‎ ‎4.设a，b是异面直线，则以下四个结论：‎ ‎①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；‎ ‎②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；‎ ‎③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；‎ ‎④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b，其中正确的个数有(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5.圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为(　　)‎ A．π　　 B． C．π D． ‎ ‎6.已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，· ‎＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的(　　)‎ A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 ‎ C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 ‎7.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，过D1、C、E的截面图形为（ ）‎ A．矩形 B．三角形 ‎ ‎ C．正方形 D．等腰梯形 ‎8.已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ 二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2.5分，有选错的得0分 ‎9.抛掷一枚骰子 1 次，记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A ，“向上的点数是 1,2”为事件 B ，“向上的点数是 1,2,3”为事件 C ，“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D ，则关于事件 A,B,C, D ，下列判断正确的有( ) ‎ A． A 与 B 是互斥事件但不是对立事件 B． A 与C 是互斥事件也是对立事件 ‎ C． A 与 D 是互斥事件 D．C 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 ‎ ‎10.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有(　　)‎ A．b＝20，A＝45°，C＝80° B．a＝30，c＝28，B＝60°‎ C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝12，c＝15，A＝120°‎ ‎11.某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是 （ ）‎ A． ‎ B．这名学生中数学成绩在分以下的人数为 C．这名学生数学成绩的中位数约为 D．这名学生数学成绩的平均数为 E F ‎12.如图，设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB=2，EF=1,则下列说法中正确的是（ ）‎ A.异面直线D1B1与EF所成的角为60○‎ B.三棱锥D1-B1EF的体积为定值 C.平面B1EF与平面A1B1C1D1所成的二面角大小为45○‎ D.直线D1B1与平面B1EF所成的角为30○‎ 三. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于 .‎ ‎14.如图是‎△AOB用斜二测画法画出的直观图，‎ 则‎△AOB的面积是______．‎ ‎15.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为　 　．‎ ‎16.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力 ‎ 救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制. 下图是国家卫健委给出的全国疫情通报， ‎ 甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：‎ 根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在 ‎ 答题纸指定的空白处.（每空 2.5 分） ‎ ‎①_________________________________________________. ‎ ‎②_________________________________________________. ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本题满分10分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)(m∈R)，当m取什么值时，复数z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．‎ ‎18.(本题满分12分)由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某 班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据(取整数)整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15,0.25，0.35，0.20,0.05，则根据直方图所提供的信息，‎ ‎（1）这一天上网学习时间在100～119分钟之间的学生有多少人？‎ ‎（2）这40位同学的线上平均学习时间是多少？‎ ‎（3）如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？为什么？‎ ‎19.(本题满分12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知向量m ‎＝(cosB,2cos2－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0．‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．‎ ‎20.(本题满分12分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.‎ ‎(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．‎ ‎21.(本题满分12分)中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如右图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5:7:12:10:6，‎ ‎（1）抽取的400名学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有多少人？‎ ‎（2）如果视力达到5.0以上算正常，用样本估计总体，求全市高一学生中视力正常的学生有多少人？‎ ‎（3）从第4组和第5组的学生中按分层抽样的方式抽取样本容量为8人的样本，再从样本中随机抽取2人进行问卷调查，请求出2人来自同一组的概率。‎ ‎22.(本题满分12分)如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱 与底面所成的角的正切值为．‎ ‎（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；‎ ‎（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；‎ ‎（3）问在棱上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．‎ 山东省聊城市高唐一中2019-2020学年下学期第二次月考 高一数学答案 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1-4:BBAC 5-8:ACDB 二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2.5分，有选错的得0分 ‎9.ABD 10.AB 11.BC 12.BCD 三. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.4 14.16 15. ‎ ‎16.①甲省比乙省新增人数的平均数低 ②甲省比乙省的方差大 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.　解：由于m∈R，复数z可以表示为 z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i．‎ 当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，‎ 即m＝0或m＝2时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．‎ ‎18.解：(1)由频数＝样本容量×频率＝40×0.35＝14(人)‎ ‎（2）‎ ‎（3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理．‎ ‎19.解：(1)∵m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，‎ ‎∴ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得 sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，‎ ‎∴sinA＝2sinAcosC．‎ 又∵sinA≠0，∴cosC＝，∵C∈(0，π)，∴C＝．‎ ‎(2)由＝，知－＝－，所以2＝＋，‎ 两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacosC ‎∴b2＋a2＋ba＝28.①‎ 又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴a2＋b2－ab＝12.②‎ 由①②得ab＝8，所以S△ABC＝absinC＝2．‎ ‎20.解：(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．‎ 因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．‎ 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．‎ 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．‎ 而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．‎ ‎(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．‎ 证明如下：连结AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．‎ 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．‎ MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．‎ ‎21.解：（1）由图知，第五小组的频率为0.5×‎ ‎0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×＝0.125，所以400名学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有400×0.125＝50(人)．‎ （2） 第4组的频率为 ‎ 所以视力为5.0以上的频率为0.125+0.15=0.275‎ 所以全市高一学生中视力正常的学生有 （3） 第4组频数为 ‎ 第5组频数为 ‎ 所以，按分层抽样的方式，应从第4组抽取 ‎ 应从第5组抽取 ‎ 再从8人中随机抽取2人，假设从第4组随机抽编号为A,B,C,D,E的五人，从第5组随机抽编号为1,2,3的三人，其样本空间为共28，‎ ‎ 事件A表示两人来自同一组，则A={AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,12,13,23}‎ ‎ 共13‎ ‎ 故P(A)=‎ ‎ 所以两人来自同一组的概率为。‎ ‎22.（1）取中点，设面，连，‎ 则为二面角的平面角，‎ 为侧棱与底面所成的角，，‎ 设，，， ∴．‎ ‎（2）连，为异面直线与所成的角．‎ 因为，，所以平面.‎ 平面，所以.‎ ‎∵,∴。‎ ‎（3）延长交于，取中点，连、．‎ 因为，，，故平面，因平面，‎ 故平面平面， 又，故为等边三角形，‎ 所以，由平面，故 因为，所以平面. 取的中点，∵，∴， ∴四边形为平行四边形，所以 ‎ ‎∴平面．即为四等分点