2018届二轮复习2-1函数及其表示课件（全国通用）

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2 . 1 　 函数及其表示 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 函数与映射的概念 数集 集合 任意 数 x 都有唯一确定 数 f ( x ) 任意 元素 x 都有唯一确定 元素 y f : A → B f : A → B - 4 - 知识梳理 考点自测 2 . 函数的有关概念 (1) 函数的定义域、值域 在函数 y=f ( x ), x ∈ A 中 , x 叫作自变量 , 　　　　　　　　 叫作函数的定义域 ; 与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值 ,___________________ 叫作函数的值域 , 显然 , 值域是集合 B 的子集 .   (2) 函数的三要素 : 　　　　　 、 　　　　 和 　　　　　　 .   3 . 函数的表示方法 表示函数的常用方法有 　 　 　 、 　　 　　 和 　　　　　 .   4 . 分段函数 若函数在其定义域内 , 对于 　　　　　　　　 的不同取值区间 , 有着不同的对应关系 , 这样的函数通常叫作分段函数 . 分段函数是一个函数 , 分段函数的定义域是各段定义域的 　　　　 , 值域是各段值域的 　　　　 .   x 的取值范围 A 函数值的集合 { f ( x ) |x ∈ A } 定义域 　 值域 　 对应关系 解析法 　 图像法 　 列表法 定义域内 并集 并集 - 5 - 知识梳理 考点自测 1 . 映射 :(1) 映射是函数的推广 , 函数是特殊的映射 , A , B 为非空数集的映射就是函数 ; (2) 映射问题允许多对一 , 但不允许一对多 . 2 . 判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致 . 3 . 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集 , 其值域等于各段函数的值域的并集 , 分段函数虽由几部分组成 , 但它表示的是一个函数 . 4 . 与 x 轴垂直的直线和一个函数的 图像 至多有 1 个交点 . - 6 - 知识梳理 考点自测 5 . 函数定义域的求法 - 7 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 函数是其定义域到值域的映射 . ( 　　 ) (2) 函数 y=f ( x ) 的 图像 与直线 x= 1 有两个交点 . ( 　　 ) (3) 定义域相同 , 值域也相同的两个函数一定是相等函数 . ( 　　 ) (4) 二次函数 y=x 2 - 1 的值域可以表示为 { y|y=x 2 - 1, x ∈ R }, 即为 { y|y ≥ - 1} . ( 　　 ) (5) 分段函数是由两个或几个函数组成的 . ( 　　 ) √ × × √ × - 8 - 知识梳理 考点自测 D 解析 : 由 4 -x 2 ≥ 0, 得 A= [ - 2,2] . 由 1 -x> 0, 得 B= ( -∞ ,1), 故 A ∩ B= [ - 2,1) . 故选 D . C 解析 : 由题中表格知 g (3) = 1, 故 f ( g (3)) =f (1) = 3 . - 9 - 知识梳理 考点自测 4 ∴ f (3) =f (9) = 1 + log 6 9, f (4) = 1 + log 6 4, ∴ f (3) +f (4) = 2 + log 6 9 + log 6 4 = 2 + log 6 36 = 2 + 2 = 4 . - 10 - 知识梳理 考点自测 5 . 如图表示的是从集合 A 到集合 B 的对应 , 其中 　　　 　 是映射 , 　　　　　 是函数 . ( 只填序号 )   ①②④ ①② 解析 : 函数与映射都要求对于集合 A 中的任一元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应 , 所以 ③ 不是映射也不是函数 ; ①②④ 表示的对应是映射 ; ①② 是函数 , 由于 ④ 中的集合 A , B 不是数集 , 所以不是函数 . - 11 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 函数的基本概念 例 1 以下给出的同组函数中 , 表示同一函数的有 　　　　　 . ( 只填序号 )   f 2 ( x ): ③ f 1 ( x ): y= 2 x , f 2 ( x ): 如图所示 . ②③ - 12 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 解析 : ① 不是同一函数 .f 1 ( x ) 的定义域为 { x ∈ R |x ≠0}, f 2 ( x ) 的定义域为 R . ② 是同一函数 , x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同 , 它们是同一函数的不同表示方式 . ③ 是同一函数 . 理由同 ② . - 13 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 怎样判断两个函数是同一函数 ? 解题心得 两个函数是否表示同一函数 , 取决于它们的定义域和对应关系是否相同 , 只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时 , 它们才表示同一函数 . 另外 , 函数的自变量习惯上用 x 表示 , 但也可以用其他字母表示 , 如 : f ( x ) = 2 x- 1, g ( t ) = 2 t- 1, h ( m ) = 2 m- 1 均表示同一函数 . - 14 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 1 (1) 下列四个 图像 中 , 是函数 图像 的是 ( 　　 ) A. ① B. ①③④ C. ①②③ D. ③④ (2) 在下列函数中 , 与函数 y=x 相等的是 ( 　　 ) B B - 15 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 (3)(2017 福建厦门一模 , 文 3) 如图 , 函数 f ( x ) 的 图像 是折线段 ABC , 其中 A , B , C 的坐标分别为 (0,4),(2,0),(6,4), 则 f (1) +f (3) = ( 　　 )   A.3 B.0 C.1 D.2 A 解析 : (1) ①③④ 图像 中的每一个 x 的值对应唯一的 y 值 , 因此都是函数 图像 ; ② , 当 x> 0 时 , 每一个 x 的值对应两个不同的 y 值 , 因此不是函数 图像 . 故选 B . (2) 观察选项中化简后的函数的对应关系及定义域是否和函数 y=x 相同 , 易得答案为 B . (3) 由题中函数 f ( x ) 的 图像 可得 , f (1) = 2, f (3) = 1, 故 f (1) +f (3) = 3, 故选 A . - 16 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 求函数的定义域及函数值 A D - 17 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 18 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 已知函数解析式 , 如何求函数的定义域 ? 解题心得 1 . 函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合 , 求解时 , 把自变量的限制条件列成一个不等式 ( 组 ), 不等式 ( 组 ) 的解集就是函数的定义域 , 解集要用集合或者区间表示 . 2 . 由实际问题求得的函数的定义域 , 除了要考虑函数解析式有意义外 , 还要使实际问题有意义 . - 19 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 2 (2017 山东淄博月考 ) 函数 的定义域是 ( 　　 ) A.(0,2) B.(0,1) ∪ (1,2) C.(0,2] D.(0,1) ∪ (1,2] D - 20 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 求函数的解析式 - 21 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 22 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 23 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 求函数解析式有哪些基本的方法 ? 解题心得 函数解析式的求法 (1) 待定系数法 : 若已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函数 ), 可用待定系数法 ; (2) 换元法 : 已知复合函数 f ( g ( x )) 的解析式 , 可用换元法 , 此时要注意新元的取值范围 ; (3) 方程法 : 已知关于 f ( x ) 与 或 f ( -x ) 的表达式 , 可根据已知条件再构造出另外一个等式 , 与其组成方程组 , 通过解方程组求出 f ( x ); 提醒 : 由于函数的解析式相同 , 定义域不同 , 则为不相同的函数 , 因此求函数的解析式时 , 如果定义域不是 R , 一定要注明函数的定义域 . - 24 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 B 2 x+ 7 - 25 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 26 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 分段函数 ( 多考向 ) 考向 1 　 求分段函数的函数值 思考 求分段函数的函数值如何选取函数的解析式 ? - 27 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考向 2 　 由分段函数构成的等式求参数的值 C 思考 求含有参数的分段函数的函数值如何选取函数的解析式 ? - 28 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考向 3 　 由分段函数构成的不等式求自变量的取值范围 思考 如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式 ? - 29 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 解题心得 分段函数问题的求解策略 : (1) 分段函数的求值问题 , 应首先确定自变量的值属于哪个区间 , 然后选定相应的解析式代入求解 . (2) 对求含有参数的自变量的函数值 , 如果不能确定自变量的范围 , 应采取分类讨论 . (3) 解由分段函数构成的不等式 , 一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论 . - 30 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 log 3 2 2 x|x ≤ - 2 或 x ≥ 1 或 x= 0} 　 - 31 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 32 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 33 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 34 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 35 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思想方法 —— 如何求抽象函数的定义域 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数 , 与其有关的问题对同学们来说具有一定难度 , 特别是求其定义域时 , 许多同学解答起来总感觉棘手 , 在高考中一般不会单独考查 , 但从提升能力方面考虑 , 还应有所涉及 . - 36 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 典例 若函数 y=f ( x ) 的定义域是 [1,2 018], 则函数 的定义域是 ( 　　 ) A.[0,2 017] B.[0,1) ∪ (1,2 017] C.(1,2 018] D.[ - 1,1) ∪ (1,2 017] 点拨 先利用换元法求出函数 f ( x+ 1) 的定义域 , 则函数 g ( x ) 的定义域为 f ( x+ 1) 的定义域与不等式 x- 1≠0 的解集的交集 . 答案 : B - 37 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 解析 : 要使函数 f ( x+ 1) 有意义 , 则有 1 ≤ x+ 1 ≤ 2 018, 解得 0 ≤ x ≤ 2 017, 故函数 f ( x+ 1) 的定义域为 [0,2 017] . 解得 0 ≤ x< 1 或 1

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