高考数学复习 17-18版 第1章 第2课 四种命题和充分、必要条件
第 2 课 四种命题和充分、必要条件
[最新考纲]
内容
要求
A B C
命题的四种形式 √
充分条件、必要条件、充分必要条件 √
1．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
图 21
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
2．充分条件与必要条件
(1)如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．
(2)如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充分必要条件．
(3)如果 pD q，且 qD p，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件．
3．集合与充分必要条件
设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，则有：
(1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件．
(2)若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件．
(3)若 A＝B，则 p 是 q 的充分必要条件．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若 p 则 q”的否命题是“若 p，则非 q”．( )
(3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( )
(4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立”．( )
[解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．
(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．
(3)正确．q 是 p 的必要条件说明 p⇒q，所以 p 是 q 的充分条件．
(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)命题“若α＝π
4
，则 tan α＝1”的逆否命题是________．
若 tan α≠1，则α≠π
4 [“若 p 则 q”的逆否命题是“若非 q，则非 p”，显
然非 q：tan α≠1，非 p：α≠π
4
，所以该命题的逆否命题是“若 tan α≠1，则α≠π
4
”．]
3．(2016·镇江期中)实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，则“ac＜0”是“该
方程有实数根”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分
必要”或“既不充分又不必要”)
充分不必要 [一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有实根，则判别式Δ＝b2－4ac
≥0，即 b2≥4ac.当 ac＜0 时，显然有 b2≥4ac；但 b2≥4ac 未必推出 ac＜0，故
“ac＜0”是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有实根的充分不必要条件．]
4．命题“若 a＞－3，则 a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假
命题的个数为________．
2 [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若 a＞－6，则 a＞
－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．
因此 4 个命题中有 2 个假命题．]
5．(2017·南京三模)记不等式“x2＋x－6<0”的解集为集合 A，函数 y＝lg(x
－a)的定义域为集合 B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数 a 的取值范围
为________．
(－∞，－3] [由 x2＋x－6<0 得－3
0 得 x>a，即 B＝{x|x>a}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，
∴a≤－3.]
四种命题的关系及其真假判断
(1)命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆否命题是
________．
(2)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命
题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是________．(填序号)
①真，假，真；②假，假，真；③真，真，假；④假，假，假．
(1)若 x＋y 不是偶数，则 x，y 不都是偶数 (2)② [(1)“若 x，y 都是偶数，
则 x＋y 也是偶数”的逆否命题为“若 x＋y 不是偶数，则 x，y 不都是偶数”．
(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．
当 z1＝1＋2i，z2＝2＋i 时，显然|z1|＝|z2|，但 z1 与 z2 不共轭，所以逆命题为
假命题，从而它的否命题也为假命题．]
[规律方法] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明
它是假命题，只需举一反例即可．
3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性
间接地证明命题的真假．
[变式训练 1] (1)已知命题 p：正数 a 的平方不等于 0，命题 q：若 a 不是正
数，则它的平方等于 0，则 p 是 q 的________．(填“逆命题”“否命题”“逆否
命题”或“否定”)
(2)给出以下四个命题：
①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 q≤－1，则 x2＋x＋q＝0 有实根”的逆否命题；
④若 ab 是正整数，则 a，b 都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
(1)否命题 (2)①③ [(1)把命题 p 可改成“若 a 是正数，则它的平方不等于
0”，显然 q 是 p 的否命题．
(2)①的逆命题为：若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0，显然是真命题；②的
否命题为：不全等的三角形的面积不相等，显然是假命题；
③若 x2＋x＋q＝0 有实根，则Δ＝1－4q≥0，即 q≤1
4.故当 q≤－1 时，方程
x2＋x＋q＝0 有实根是真命题，其逆否命题也是真命题；
④是假命题，如 a＝2，b＝1
2
，则 ab＝1.]
充分条件与必要条件的判断
(1)函数 f(x)在 x＝x0 处导数存在．若 p：f′(x0)＝0；q：x＝x0 是 f(x)
的极值点，则 p 是 q 的________条件. 【导学号：62172006】
(2)(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；
②由于α，β的范围不明确，故当α>β时无法判断“cos α，cos β”的大小关
系．故②错误；
③当 a＝0 时，f(x)＝x3 是奇函数；反之由 f(x)为奇函数可知 a＝0，故③正确．]
[规律方法] 充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用
于命题中涉及字母的范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化
为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
[变式训练 2] (2017·南昌调研)m＝－1 是直线 mx＋(2m－1)y＋1＝0 和直线
3x＋my＋9＝0 垂直的________条件．
充分不必要 [由直线 mx＋(2m－1)y＋1＝0 与 3x＋my＋9＝0 垂直可知 3m＋
m(2m－1)＝0，∴m＝0 或 m＝－1，∴m＝－1 是两直线垂直的充分不必要条件．]
充分条件、必要条件的应用
(典例迁移)
已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x
∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围. 【导学号：62172007】
[解] 由 x2－8x－20≤0 得
－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，
则 S⊆P，
∴
1－m≥－2，
1＋m≤10，
1－m≤1＋m，
∴0≤m≤3.
综上可知，当 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件．
[迁移探究 1] 本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要
条件．
[解] 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．
若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，
∴ 1－m＝－2，
1＋m＝10，
∴ m＝3，
m＝9，
即这样的 m 不存在．
[迁移探究 2] 本例条件不变，若非 P 是非 S 的必要不充分条件，求实数 m
的取值范围．
[解] 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．
∵非 P 是非 S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件，
∴P⇒S 且 SD P，
∴[－2,10] [1－m,1＋m]，
∴ 1－m≤－2，
1＋m＞10
或 1－m＜－2，
1＋m≥10，
∴m≥9，即 m 的取值范围是[9，＋∞)．
[规律方法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解
题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集
合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
[变式训练 3] (1)(2017·徐州模拟)已知命题 p：a≤x≤a＋1，命题 q：x2－4x<0，
若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是________．
(2)方程 ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件
是________．
(1)(0,3) (2)a≤0 或 a＝1 [(1)令 M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝
{x|00，
a＋1<4，
解得 00，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是
________．
若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0 [根据逆否命题的定义，命题“若
m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2＋x－m＝0 没有实
根，则 m≤0”．]
2．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的
________条件．
必要不充分 [m⊂α，m∥βD α∥β，但 m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”
是“α∥β”的必要不充分条件．]
3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．
充分必要 [因为 x2－2x＋1＝0 有两个相等的实数根，为 x＝1，所以“x＝1”
是“x2－2x＋1＝0”的充分必要条件．]
4．已知 a，b，c 都是实数，则在命题“若 a＞b，则 ac2＞bc2”与它的逆命
题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
【导学号：62172008】
2 [由 a＞bD ac2＞bc2，但 ac2＞bc2⇒a＞b.
所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．
从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]
5．“m＜1
4
”是“一元二次方程 x2＋x＋m＝0 有实数解”的________条件.
【导学号：62172009】
充分不必要 [x2＋x＋m＝0 有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即 m≤1
4
，因为 m＜1
4
⇒m≤1
4
，反之不成立．
故“m＜1
4
”是“一元二次方程 x2＋x＋m＝0 有实数解”的充分不必要条
件．]
6．给出下列命题：
①“若 a21，则 ax2－2ax＋a＋3>0 的解集为 R”的逆否命题；
④“若 3x(x≠0)为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
③④ [对于①，否命题为“若 a2≥b2，则 a≥b”，为假命题；对于②，逆命题
为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当 a>1 时，Δ＝－12a<0，
原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆
否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]
7．(2017·金陵中学期中)设 a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2 且 b>2”的
________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必
要”)
必要不充分 [当 a>2 且 b>2 时，a＋b>4.
但当 a＝1，b＝6 时，有 a＋b＝7>4，
故“a＋b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件．]
8．“sin α＝cos α”是 cos 2α＝0 的________条件．
充分不必要 [∵cos 2α＝cos2α－sin2α，
∴若 sin α＝cos α，则 cos 2α＝0，反之不一定，如当 cos α＝－sin α时也成立．]
9．命题“若 a2＋b2＝0，则 a＝0 且 b＝0”的逆否命题是________.
【导学号：62172010】
若 a≠0 或 b≠0，则 a2＋b2≠0 [“若 a2＋b2＝0，则 a＝0 且 b＝0”的逆否命
题是“若 a≠0 或 b≠0，则 a2＋b2≠0”．]
10．若 x＜m－1 或 x＞m＋1 是 x2－2x－3＞0 的必要不充分条件，则实数 m
的取值范围是________．
[0,2] [由已知易得{x|x2－2x－3＞0} {x|x＜m－1 或 x＞m＋1}，
又{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1 或 x＞3}，
∴
－1≤m－1，
m＋1＜3
或
－1＜m－1，
m＋1≤3，
∴0≤m≤2.]
二、解答题
11．已知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若 a＋b≥0，
则 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解] (1)否命题：已知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若 a
＋b<0，则 f(a)＋f(b)0，设 p：函数 y＝cx 在 R 上递减；q：
函数 f(x)＝x2－c2 的最小值不大于－ 1
16.如果 p，q 均为真命题，求实数 c 的取值范
围．
[解] 因为 c>0，p：函数 y＝cx 在 R 上递减，
所以 p 为真时，00，所以 c≥1
4.
因为 p，q 均为真命题，所以
0
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