2015-2016学年湖北省黄冈市高一（上）期末数学试卷
2015-2016学年湖北省黄冈市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=( )
A.[0, 1] B.(0, 1] C.[0, 1) D.(−∞, 1]
2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=1x
3. 下列各组向量中可以作为基底的是（ ）
A.a→=(0, 0)，b→=(1, −2) B.a→=(1, 2)，b→=(3, 4)
C.a→=(3, 5)，b→=(6, 10) D.a→=(2, −3)，b→=(−2, 3)
4. 要得到函数y=sin(4x−π3)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（ ）个单位．
A.向左平移π12 B.向右平移π12 C.向左平移π3 D.向右平移π3
5. 在等腰三角形ABC中，BC=4，AB=AC，则BA→⋅BC→=( )
A.−4 B.4 C.−8 D.8
6. 如果一个点既在对数函数的图象上又在指数函数的图象上，那么称这个点为“幸运点”，在下列的五个点M(1, 1)，N(1, 2)，P(2, 1)，Q(2, 2)，G(2, 12)中，“幸运点”有多少个（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7. 已知函数f(x)=x(ex+ae−x)(x∈R)，若函数f(x)是偶函数，记a=m，若函数f(x)为奇函数，记a=n，则m+2n的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.−1
8. 若sinθ=k+1k−3，cosθ=k−1k−3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为（ ）
A.34 B.34或0
C.0 D.以上答案都不对
9. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A，ω均为正的常数，φ为锐角）的最小正周期为π，当x=2π3时，函数f(x)取得最小值，记a=f(0)，b=f(π3)，c=f(π12)，则有（ ）
A.a=b
0, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a+b=________．
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已知a=log827，则2a+2−a=________．
三、解答题（共6小题，满分70分）
已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α，β．集合A={α, β}，B={2, 4, 5, 6}，C={1, 2, 3, 4}，A∩C=A，A∩B=⌀，求p，q的值？
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m→=(22, −22)，n→=(sinx, cosx)，x∈(0, π2)．
(1) 若m→⊥n→，求tanx的值；
(2) 若m→与n→的夹角为π3，求sinx+cosx的值．
李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
(1) 求方案一收费L(x)元与用电量x（度）间的函数关系；
(2) 李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？
(3) 李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻(P0)开始计算时间．
(1) 求点P距离水面的高度y(m)与时间t(s)满足的函数关系；
(2) 求点P第一次到达最高点需要的时间．
若在定义域内存在实数x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则称函数f(x)是“可拆函数”．
(1) 函数f(x)=kx是否是“可拆函数”？请说明理由；
(2) 若函数f(x)=2x+b+2x是“可拆函数”，求实数b的取值范围：
(3) 证明：f(x)=cosx是“可拆函数”．
已知集合M{h(x)|h(x)}的定义域为R, 且对任意x都有h(−x)=−h(x)设函数f(x)=−2x+a2x+1+b（a，b为常数）．
(1) 当a=b=1时，判断是否有f(x)∈M，说明理由；
(2) 若函数f(x)∈M，且对任意的x都有f(x)0, a≠1)恒过(1, 0)点，
故M(1, 1)，N(1, 2)，一定不是幸运点，
当y=1时，指数函数y=ax(a>0, a≠1)恒过(0, 1)点，
故P(2, 1)也一定不是幸运点，
而Q(2, 2)是函数y=2x与y=log2x的交点；
G(2, 12)是函数y=12x与y=log4x的交点；
故幸运点有2个.
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
利用函数f(x)=x(ex+ae−x)是偶函数，得到g(x)=ex+ae−x为奇函数，然后利用g(0)=0，可以解得m．函数f(x)=x(ex+ae−x)是奇函数，所以g(x)=ex+ae−x为偶函数，可得n，即可得出结论．
【解答】
解：设g(x)=ex+ae−x，
因为函数f(x)=x(ex+ae−x)是偶函数，
所以g(x)=ex+ae−x为奇函数．
又因为函数f(x)的定义域为R，
所以g(0)=0，
即g(0)=1+a=0，解得a=−1，
所以m=−1．
因为函数f(x)=x(ex+ae−x)是奇函数，
所以g(x)=ex+ae−x为偶函数
所以(e−x+aex)=ex+ae−x即(1−a)(e−x−ex)=0对任意的x都成立
所以a=1，所以n=1，
所以m+2n=1
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
三角函数
【解析】
由sin2θ+cos2θ=(k+1k−3)2+(k−1k−3)2=2k2+2k2−6k+9=1，求出k，由此有求出tanθ．
【解答】
解：∵ sinθ=k+1k−3，cosθ=k−1k−3，且θ的终边不落在坐标轴上，
∴ sin2θ+cos2θ=(k+1k−3)2+(k−1k−3)2=2k2+2k2−6k+9=1，
解得k=−7或k=1（舍），
∴ sinθ=k+1k−3=−6−10=35，
cosθ=k−1k−3=−8−10=45，
∴ tanθ=3545=34．
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的图象
【解析】
根据周期和对称轴作出f(x)的大致图象，根据函数的单调性和对称性判断大小．
【解答】
解：∵ f(x)的周期为π，∴ ω=2，
∵ A>0，当x=2π3时，函数f(x)取得最小值，
∴ sin(4π3+φ)=−1，
∴ 4π3+φ=−π2+2kπ，
即φ=−11π6+2kπ，
∵ φ是锐角，∴ φ=π6．
∴ f(x)=Asin(2x+π6)．
令A=1，作出f(x)在一个周期内的大致函数图象，
由图象可知f(x)在[0, π6]上单调递增，
∴ f(0)0，即(1+2x)(1−2x)>0
解得：−121时，函数f(x)=ax+b在定义域上是增函数，
所以1+b=0，1a+b=−1，
解得b=−1，1a=0不符合题意舍去；
当030时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，
∴ L(x)=2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x 也可不取0）；
(2) 当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；
当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，
∴ 李刚家该月用电60度；
(3) 设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，
当0≤x≤30时，由L(x)25，
∴ 2530时，由L(x)30两种情况讨论即可；
（2）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)=35计算即得结论；
（3）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)<0.58x计算即得结论．
【解答】
解：(1) 当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x；
当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，
∴ L(x)=2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x 也可不取0）；
(2) 当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；
当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，
∴ 李刚家该月用电60度；
(3) 设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，
当0≤x≤30时，由L(x)25，
∴ 2530时，由L(x)−2.
(3) 证明：令f(x+1)=f(x)+f(1)，
即cos(x+1)=cosx+cos1，
即cosxcos1−sinxsin1−cosx=cos1，
即(cos1−1)cosx−sinxsin1=cos1，
故存在θ，
使(cos1−1)2+sin21cos(x+θ)=cos1，
即2−2cos1cos(x+θ)=cos1，
即cos(x+θ)=cos12−2cos1，
∵ cos21−(2−2cos1)
=cos21+2cos1−2
−2.
(3) 证明：令f(x+1)=f(x)+f(1)，
即cos(x+1)=cosx+cos1，
即cosxcos1−sinxsin1−cosx=cos1，
即(cos1−1)cosx−sinxsin1=cos1，
故存在θ，
使(cos1−1)2+sin21cos(x+θ)=cos1，
即2−2cos1cos(x+θ)=cos1，
即cos(x+θ)=cos12−2cos1，
∵ cos21−(2−2cos1)
=cos21+2cos1−2
0，可得1+2x>1，
即0<12x+1<1，
则f(x)∈(−12, 12)，
由对任意的x都有f(x)0，可得1+2x>1，
即0<12x+1<1，
则f(x)∈(−12, 12)，
由对任意的x都有f(x)
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