2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷

2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷

‎2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，则（　　）‎ A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3} B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}‎ C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3} D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}‎ ‎2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（　　） 条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（　　）‎ A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α C．若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β D．若m∥n，m⊂α，则n∥α ‎5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函数只能是（　　）‎ A．y=f（|x|） B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|） D．y=﹣f（|x|）‎ ‎6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（　　）‎ A．120 B．150 C．240 D．300‎ ‎8．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤4，若有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤M，则M的最小值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎　‎ 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα=　 　，tanα=　 　．‎ ‎12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P x y 若，则x+y=　 　，D（ξ）=　 　．‎ ‎13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为　 　，表面积为　 　．‎ ‎14．（3分）已知等比数列{an}，等差数列{bn}，Tn是数列{bn}的前n项和．若a3•a11=4a7，且b7=a7，则a7=　 　，T13=　 　．‎ ‎15．（3分）若的展开式中常数项为60，则实数a的值是　 　．‎ ‎16．（3分）过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为　 　．‎ ‎17．（3分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若，求△ABC的面积．‎ ‎19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面AEC； ‎ ‎（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．‎ ‎20．（15分）已知函数．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．‎ ‎21．（15分）已知椭圆．‎ ‎（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．‎ ‎22．（15分）已知正项数列{an}满足a1=2，且．‎ ‎（1）求证：1＜an+1＜an；‎ ‎（2）记，求证：．‎ ‎　‎ ‎2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，则（　　）‎ A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3} B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}‎ C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3} D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}‎ ‎【解答】解：由≤0，得 或，‎ 解得﹣1≤x＜3，‎ 故P∩Q={x∈R|﹣1≤x＜3}，P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴|z|=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（　　） 条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎【解答】解：∵在三角形中，＞0，‎ ‎∴sin2＞sin2，‎ ‎∵cosA=1﹣2sin2，cosB=1﹣2sin2，‎ ‎∴cosA＜cosB，则A＞B，‎ 即，“A＞B”是“”的充要条件，‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（　　）‎ A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α C．若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β D．若m∥n，m⊂α，则n∥α ‎【解答】解：由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，知：‎ 在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；‎ 在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；‎ 在C中，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；‎ 在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函数只能是（　　）‎ A．y=f（|x|） B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|） D．y=﹣f（|x|）‎ ‎【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故排除B，‎ 且当x＞0时，对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称，‎ 而y轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f （x）的图象相同，‎ 故当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），得出A，D不正确．‎ 故选：C ‎　‎ ‎6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图所示的阴影部分．‎ 则的取值范围是斜率k的取值范围，且kPC≤k或k≤kPA．‎ 解得A（0，1），‎ 解得C（，﹣）‎ 而kPA==﹣2，kPC==．‎ ‎∴k或k≤﹣2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（　　）‎ A．120 B．150 C．240 D．300‎ ‎【解答】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，将5本不同的书分成3组，‎ 若分成1、1、3的三组，有=10种分组方法；‎ 若分成1、2、2的三组，有=15种分组方法；‎ 则有15+10=25种分组方法；‎ ‎②，将分好的三组全排列，对应三人，有A33=6种情况，‎ 则有25×6=150种不同的分法；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤4，若有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤M，则M的最小值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2，‎ ‎∵1≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤4，‎ ‎∴f（1）=﹣2，f（2）=﹣3，f（4）=1，‎ ‎∴|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤|f（1）﹣f（2）|+|f（4）﹣f（2）|=1+4=5，‎ ‎∴M≥5，‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，∴||=||=||=1．‎ 由⇒5+13=﹣12，则25+169+130=144，⇒，‎ 由⇒12+13=﹣5，‎ 则144+169+2×=25⇒，‎ 则==﹣+=﹣．‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【解答】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为2，过A作AO⊥底面BCD，‎ 连接DO并延长，交BC于E，连接AE，可知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，‎ 在Rt△AOE中，可得OE=，AE=，‎ ‎∴cos，则sin．‎ 设平面BCD与平面α所成的锐二面角为θ，∠AED=α，‎ 当平面BCD与平面ABC在α异侧时，如图，‎ 则cosθ=cos（α﹣60°）=cosαcos60°+sinαsin60°=；‎ 当平面BCD与平面ABC在α同侧时，如图，‎ 则cosθ=cos[180°﹣（α+60°）]=﹣cos（α+60°）‎ ‎=﹣[cosαcos60°﹣sinαsin60°]=﹣（）=．‎ ‎∴平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα=　　，tanα=　﹣　．‎ ‎【解答】解：角α的终边与单位圆的交点坐标为，则 x=﹣，y=，r=|OP|=1，‎ ‎∴sinα==，tanα==﹣，‎ 故答案为：，﹣．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P x y 若，则x+y=　　，D（ξ）=　　．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴由随机变量ξ的分布列，知：，‎ ‎∴x+y=，x=，y=，‎ D（ξ）=（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×=．‎ 故答案为：，．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为　　，表面积为　4+4　．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：‎ 其中底面ABCD是边长为2正方形，E到底面ABCD的距离为：，‎ EA==2．‎ ‎∴棱锥的体积V==．‎ 棱锥的四个侧面均为正三角形，EB=ED=2，‎ ‎∴棱锥的表面积S=22+4×=4+4．‎ 故答案为：；4+4．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）已知等比数列{an}，等差数列{bn}，Tn是数列{bn}的前n项和．若a3•a11=4a7，且b7=a7，则a7=　4　，T13=　52　．‎ ‎【解答】解：因为{an}为等比数列，且a3•a11═4a7，‎ 由等比数列的性质可得a3•a11=a7•a7=4a7，所以解得a7═4，‎ 因为{bn}为等差数列，且b7═a7═4，‎ 所以由等差数列的前n项求和公式得：T13═13×（b1+b13）×=13××2b7=13b7=13×4=52‎ ‎ 故答案为a7=4，T13=52．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）若的展开式中常数项为60，则实数a的值是　±2　．‎ ‎【解答】解：的展开式的通项=．‎ 由，可得（舍），由6﹣=0，得r=4．‎ ‎∴的展开式中常数项为==60，解得a=±2．‎ 故答案为：±2．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）过双曲线 上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为　　．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 设双曲线上的P（m，n），则﹣=1．①‎ 联立，解得x=，‎ 取A（，n），‎ 同理可得B（﹣，n）．‎ ‎=（﹣m，0），=（﹣﹣m，0），‎ 由•=﹣，‎ 可得（﹣m）（﹣﹣m）=﹣，‎ 化为m2﹣n2=﹣，②‎ 由①②可得=，‎ 则e====．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是　[，]　．‎ ‎【解答】解：作函数f（x）=的图象如右，‎ 由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；‎ 故=x3+=+x4，1＜x4≤2；‎ 由y=+x4在（1，]递减，（，2]递增．‎ 故x4=取得最小值，且为2=，‎ 当x4=1时，函数值为，当x4=2时，函数值为．‎ 即有取值范围是[，]．‎ 故答案为：[，]．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）由余弦定理可知：cosC==﹣，‎ 由0＜C＜π，则C=；‎ ‎（2）由sinA=，由C=，则A为锐角，‎ ‎∴cosA==，‎ sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，‎ 由正弦定理可知：=，则a===，‎ 则△ABC的面积S=×absinC=×2××=，‎ ‎∴△ABC的面积为．‎ ‎　‎ ‎19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面AEC； ‎ ‎（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）连结EC，BD，交于点O，‎ ‎∵BC=CD=2，DE=BE=1，∴EC⊥BD，‎ ‎∵AC⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∵EC∩AC=C，‎ ‎∴BD⊥平面AEC．‎ 解：（2）∵在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，‎ BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．‎ ‎∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作AC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∴BO=，EO=，CO=，‎ ‎∴E（0，﹣，0），A（0，，），‎ M（0，，），B（，0，0），‎ ‎=（，﹣，﹣），平面AEC的法向量=（1，0，0），‎ 设直线MB与平面AEC所成角为θ，‎ sinθ===．‎ ‎∴直线MB与平面AEC所成角的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）已知函数．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=x3+|x﹣1|，‎ 当x≥1时，f（x）=x3+x﹣1的导数为f′（x）=x2+1＞0，‎ 可得f（x）递增；‎ 当x＜1时，f（x）=x3+1﹣x的导数为f′（x）=x2﹣1，‎ 由f′（x）＞0，可得x＜﹣1；由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1．‎ 综上可得，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1）；‎ 减区间为（﹣1，1）；‎ ‎（2）证明：当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，a）递减，在（a，1]递增，‎ 可得f（x）的最小值为g（a）=f（a）=a3+1﹣a；‎ f（x）的最大值为f（﹣1）或f（1），‎ 由f（﹣1）﹣g（a）﹣=a﹣﹣a3﹣1+a﹣=2a﹣a3﹣3＜0恒成立；‎ 又f（1）﹣g（a）﹣=﹣a﹣a3﹣1+a﹣=﹣a3﹣1＜0恒成立；‎ 当a≥1时，f（x）在[﹣1，1]递减，‎ 可得f（x）的最小值为g（a）=f（1）=+a﹣1=a﹣，‎ 最大值为f（﹣1）=a+，‎ 则a+≤a﹣+恒成立．‎ 综上可得当x∈[﹣1，1]时，恒有．‎ ‎　‎ ‎21．（15分）已知椭圆．‎ ‎（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），‎ 则|PF1|+|PF2|=2a，则+=+=4=2a，‎ 则a=2，b2=a2﹣c2=3，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 则椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，‎ 设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），‎ 则|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+=+，‎ ‎=[（b2cos2θ+a2sin2θ）+（b2sin2θ+a2cos2θ）]（+）‎ ‎=（2++）≥，‎ ‎∴|AB|的最小值为．‎ ‎　‎ ‎22．（15分）已知正项数列{an}满足a1=2，且．‎ ‎（1）求证：1＜an+1＜an；‎ ‎（2）记，求证：．‎ ‎【解答】证明：（1）∵a1=2＞1，成立，‎ 假设ak＞1成立，则有2ak﹣1＞1成立，即成立，‎ 即ak+1＞1，‎ an﹣an﹣1===＞0，‎ ‎∴an＞an+1，‎ ‎∴1＜an+1＜an．‎ ‎（2）=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=（an﹣an+1）•﹣（），‎ ‎∵=＜，‎ ‎＞2（），‎ ‎∴原式＜2（an﹣an+1）﹣3（）+2（）‎ ‎＜‎ ‎=3[（）﹣（）]，‎ ‎∴b1+b2+b3+…+bn＜3[（）﹣（）+（）﹣（）+…+（）﹣（）‎ ‎=3[]‎ ‎＜3（）‎ ‎=3（2﹣）=6﹣3，‎ ‎∴．‎ ‎　‎