【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第三章第3讲 导数与函数的极值、最值学案
第3讲 导数与函数的极值、最值
1．函数的极值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值不一定比极小值大．( )
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( )
(3)函数的极大值一定是函数的最大值．( )
(4)开区间上的单调连续函数无最值．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
解析：选C．设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x2、x3、x4.
当x
0，f(x)为增函数，
当x1－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时函数取得最小值，且ymin＝－.故选C．
函数f(x)＝x－aln x(a>0)的极小值为________．
解析：因为f(x)＝x－aln x(a>0)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－(a>0)，
由f′(x)＝0，解得x＝a.
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a.
答案：a－aln a
用导数解决函数的极值问题(高频考点)
用导数解决函数的极值问题是每年高考的亮点，既有选择题，填空题，也有解答题，难度偏大．主要命题角度有：
(1)根据图象判断函数的极值；
(2)求函数的极值；
(3)已知函数的极值求参数．
[典例引领]
角度一 根据图象判断函数的极值
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【解析】 由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－22时，1－x<－1，此时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
【答案】 D
角度二 求函数的极值
已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值．
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
【解】 (1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表．
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
ln 2－1
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0)，
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故函数在x＝处有极大值．
综上所述，当a≤0时，函数在定义域上无极值点，当a>0时，函数在x＝处有一个极大值点．
角度三 已知函数的极值求参数
(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．
(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，
则当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．
当x∈(，3)时，y＝x＋的值域是[2，)；
当x∈(，3)时， f′(x)＝x2－ax＋1≥0，
即a≤x＋恒成立，a≤2；
当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，
即a≥x＋恒成立，a≥.
因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，
则实数a的取值范围是(2，)．
【答案】 (1)－7 (2)(2，)
求函数f(x)极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值．如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
[注意] 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
[通关练习]
设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．
(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)>0，解得x<，或x>1；令f′(x)<0，解得0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.
综上，a的取值范围为.
利用导数求函数的最值
[典例引领]
已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
【解】 因为f(x)＝＋kln x，
f′(x)＝＋＝.
(1)若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递减．
所以f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f＝e－1.
(2)若k≠0，f′(x)＝＝.
①若k<0，则在上恒有<0，
所以f(x)在[，e]上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.
②若k>0，由k<，得>e，则x－<0，所以<0，
所以f(x)在上单调递减．
所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
综上，k<时，f(x)min＝＋k－1，
f(x)max＝e－k－1.
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
[通关练习]
已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
解：因为f′(x)＝，
所以当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；
当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，
所以f(x)在上单调递增；
由f′(x)<0得，00)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
【解】 (1)f′(x)＝＝.
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，
且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a>0.所以当－30，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.
因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，
而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
[通关练习]
若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，
故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，
在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，
令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，
则结合图象可知，解得a∈[－3，0)．
答案：[－3，0)
利用导数研究函数极值问题的一般流程
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
求函数f(x)在区间[a，b]上最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表求解．
(3)若函数f(x)在闭区间[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(小)值点．
已知函数f(x)的最值求参数的方法
先利用导数将最值用参数表示，再构建方程组求解．
[注意] 由f′(x)＝0得到根x0.是否在[a，b]内不明确时要分情况讨论．
1．函数y＝在[0，2]上的最大值是( )
A． B．
C．0 D．
解析：选A．易知y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得2≥x>1，所以函数y＝在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝在[0，2]上的最大值是y|x＝1＝，故选A．
2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
解析：选D.由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
3．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x等于( )
A． B．
C． D．
解析：选C．函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.
4．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为( )
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
解析：选D.由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3.
5．若函数f(x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为( )
A．(1，4] B．[2，4]
C．[1，4) D．[1，2]
解析：选C．因为f′(x)＝3(x2－a)，所以当a≤0时，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)没有极值点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝±，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为函数f(x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以或解得1≤a<4.选C．
6．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是________．
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍)，
当－10；
当00)，
所以f′(x)＝ln x－ax，f″(x)＝－a＝0，
得一阶导函数有极大值点x＝，
由于x→0时f′(x)→－∞；当x→＋∞时，f′(x)→－∞，
因此原函数要有两个极值点，
只要f′＝ln－1>0，解得00)，
所以f′(x)＝2x－＝，
令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得00，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－20，则由f′(x)＝0得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln(－)．
当x∈(－∞，ln(－))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－)，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，ln(－))上单调递减，在(ln(－)，＋∞)上单调递增．
(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.
②若a>0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a．从而当且仅当－a2ln a≥0，即a≤1时，f(x)≥0.
③若a<0，则由(1)得，当x＝ln(－)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln(－))＝a2[－ln(－)]．从而当且仅当a2[－ln(－)]≥0，即a≥－2e时f(x)≥0.
综上，a的取值范围是[－2e，1]．
