辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题及答案

辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题及答案

‎2018年丹东市高三总复习质量测试（二）‎ 理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2．复数的模 A． B． C． D． ‎ ‎3．圆心为的圆与圆相外切，则的方程为 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ A．‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．已知△的面积为，三个内角，，的对边分别为，，，若 ‎，，则 A．2 B．‎4 ‎C． D．‎ 开始 否 是 输出 结束 ‎6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有 人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关 ‎ 四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”.‎ 源于问题所蕴含的数学思想，设计如图所示程序框图，‎ 运行此程序，输出的值为 A．4‎ B．5‎ C．6‎ D．7‎ ‎7．为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙答错了”．评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．根据以上信息，面试问题答案正确、对话说对了的考生依次为 A．乙、乙 B．乙、甲 C．甲、乙 D．甲、丙 ‎8．若函数存在最小值，则的取值范围为 A． B． C． D． ‎ ‎9．设，若，则 A． B． C． D．‎ ‎10．若点满足不等式组，则的取值范围为 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．设，则函数 A．仅有一个极小值 B．仅有一个极大值 ‎ C．有无数个极值 D．没有极值 ‎12．设是△所在平面上的一点，若，则 的最小值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销 售额的预报值为 万元．‎ ‎14．若，则的值为 ．‎ ‎15．已知，，是半径为2的球表面上三点，若，，，‎ 则三棱锥的体积为 ．‎ ‎16．双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，‎ 为半径的圆与的右支相交于，两点，若△的一个内角为，‎ 则的渐近线方程为 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 为数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和满足，求实数的取值范围．‎ ‎18．（12分）‎ 近年来，双十一购物狂欢节（简称“双11”）活动已成为中国电子商务行业年度盛事，某网络商家为制定2018年“双11”活动营销策略，调查了2017年“双11”活动期间每位网购客户用于网购时间（单位：小时），发现近似服从正态分布．‎ ‎（1）求的估计值；‎ ‎（2）该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10000名网购客户，这10000名客户在2017年“双11”活动期间，用于网购时间属于区间的客户数为．该商家计划在2018年“双11”活动前对这名客户发送广告，所发广告的费用为每位客户0.05元． ‎ ‎（i）求该商家所发广告总费用的平均估计值；‎ ‎（ii）求使取最大值时的整数的值．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则， ‎ ‎，．‎ A B C D ‎19．（12分）‎ 如图，在四面体中，， ．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）‎ 已知为椭圆：长轴上的一个动点，过点的直线与交于，两点，点在第一象限，且．‎ ‎（1）若点为的下顶点，求点的坐标；‎ ‎（2）若为坐标原点，当△的面积最大时，求点的坐标．‎ ‎21．（12分）‎ 设函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在正数，使得当时，，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）‎ 在直角坐标系中，将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，再把所得曲线上每一点向下平移1个单位得到曲线．以为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）写出的参数方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求使取最小值时点的直角坐标．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] （10分）‎ 设函数，若，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）比较与的大小．‎ ‎2018年丹东市高三总复习质量测试（二）‎ 理科数学参考答案 一、选择题 ‎ 1．C 2．A 3．D 4．B 5．A 6．C ‎ 7．D 8．C 9．B 10．A 11．A 12．C 二、填空题 ‎13．85 14．36 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（1）由，可知．可得，易知，于是．‎ 又，得．‎ 所以是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为．‎ ‎ …………（6分）‎ ‎（2）由可知．‎ 于是．‎ 不等式可化为．因为，所以，故．‎ 因此实数的取值范围为．‎ ‎ …………（12分）‎ ‎18．解：‎ ‎（1）因为，，，所以 ．‎ ‎ …………（4分）‎ ‎（2）（i）．依题意 ‎，所以．‎ 故商家广告总费用的估计值为（元）．‎ ‎ …………（8分）‎ ‎（ii）．‎ 设最大，则，即，解得．‎ 因为，所以使取最大值时的整数． …………（12分）‎ ‎19．解法1：‎ ‎（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．‎ 因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是． …………（6分）‎ z x y A B C D E ‎（2）在Rt△中，因为，，所以，， ，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，，，所以平面．‎ ‎ …………（8分）‎ 以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则， ，，，，，．‎ 设是平面的法向量，则，即，可取．‎ 设是平面的法向量，则，即，可取．‎ 因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．‎ ‎ …………（12分）‎ 解法2：‎ ‎（1）因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．‎ 设中点为，连结，，则，，所以平面，，于是． …………（6分）‎ A B C D E F ‎（2）在Rt△中，因为，，所以△面积为．设到平面距离为，因为四面体的体积，所以．‎ 在平面内过作，垂足为，因为，，所以．由点到平面距离定义知平面．‎ ‎【到此，可再用解法1中的向量解法求解．下面我们用非向量解法求解．】‎ 因为，所以．因为，，所以，，所以，即二面角的余弦值为．‎ ‎ …………（12分）‎ ‎20．解：‎ ‎（1）易知，由可得点的纵坐标为．‎ 由点在上，得的横坐标为．从而方程为，令得，点的坐标为． …………（5分）‎ ‎（2）由题意可设，：，与联立，可得，．‎ 设，，则．由得，所以，．‎ 因为，所以，得．‎ ‎△的面积，当且仅当时等号成立，此时，满足．‎ 因为，所以，故点的坐标为．‎ ‎ …………（12分）‎ ‎21．解：‎ ‎（1）．‎ 当时，，上单调递增．‎ 当时，若，则，若，则；所以在单调递增，在上单调递减． …………（4分）‎ ‎（2）若，在内单调递增，当时，，所以，即.‎ 设，.‎ 若，时，，在单调递增.所以当时，，故存在正数，使得当时，.‎ 若，当时，，在单调递减，因为，所以.故不存在正数，使得当时，.‎ 若，在单调递减，因为，所以存在，使得当时，，可化为，即.‎ 设，.‎ 若，则时，，在单调递增，又，所以时，.故不存在正数，使得当时，.‎ 当时，当时，，在单调递减，又，所以.故存在，使得当时，.‎ 综上，实数的取值范围为． …………（12分）‎ ‎22．解：‎ ‎（1）：为，其参数方程为（为参数）．‎ ‎：，其直角坐标方程为．‎ ‎ …………（5分）‎ ‎（2）由（1）可设，由于是直线，所以的最小值，‎ 就是到距离的最小值．‎ ‎，当时，取最小值，最小值为．此时的直角坐标为． …………（10分）‎ ‎23．解：‎ ‎（1），由得．‎ 从而，，．所以．‎ ‎ …………（5分）‎ ‎（2）．‎ 由（1）得， ，所以，故．‎ ‎ …………（10分）‎