2017-2018学年甘肃省武威十八中高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年甘肃省武威十八中高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年甘肃省武威十八中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共计60分）‎ ‎1．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎2．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎3．（5分）某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（　　）‎ A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、25‎ ‎4．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少1名男生”与“全是女生”‎ B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”‎ C．“至少1名男生”与“全是男生”‎ D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”‎ ‎6．（5分）我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知P是椭圆上的一点，若P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎10．（5分）甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（　　）‎ A．480 B．240 C．120 D．360‎ ‎11．（5分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（　　）‎ A．7 B．10 C．9 D．8‎ ‎12．（5分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共计20分）‎ ‎13．（5分）已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取60件，则乙类产品抽取的件数是　 　．‎ ‎14．（5分）二进制110011（2）化成十进制数为　 　．‎ ‎15．（5分）用0，1，2，3，4，5，6可以组成　 　个无重复数字的四位偶数．‎ ‎16．（5分）以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（每小题10分，共计40分）‎ ‎17．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设斜率为1的直线l经过左焦点与椭圆C交于A、B两点，求弦AB的长．‎ ‎18．（10分）设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎19．（10分）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．‎ ‎20．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中：‎ ‎（1）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；‎ ‎（2）求三棱锥B1﹣A1C1B的体积；‎ ‎（3）求证：B1D⊥平面A1C1B．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年甘肃省武威十八中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共计60分）‎ ‎1．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，‎ 当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，‎ 当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，‎ 当k=3时，不满足进行循环的条件，‎ 故输出结果为：，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【分析】把椭圆的方程化为标准方程，求出a的值，由△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a 求出结果．‎ ‎【解答】解：椭圆4x2+2y2=1 即 ，‎ ‎∴a=，b=，c=．‎ ‎△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=2，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（　　）‎ A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、25‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．‎ ‎【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，‎ 则在高一年级抽取的人数是560×=28人，‎ 高二年级抽取的人数是540×=27人，‎ 高三年级抽取的人数是520×=26人，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，‎ 则﹣2≤X≤3，‎ 则X≤1的概率P=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少1名男生”与“全是女生”‎ B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”‎ C．“至少1名男生”与“全是男生”‎ D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”‎ ‎【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，分析四组事件的关系，可得答案．‎ ‎【解答】解：从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，‎ ‎“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；‎ ‎“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；‎ ‎“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；‎ ‎“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是互斥事件与对立事件，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】基本事件总数n=3×3=9，这两位同学参加同一个文艺社团包含的基本事件个数m=，由此能求出这两位同学参加同一个文艺社团的概率．‎ ‎【解答】解：我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，‎ 每位同学参加各个社团的可能性相同，‎ 基本事件总数n=3×3=9，‎ 这两位同学参加同一个文艺社团包含的基本事件个数m=，‎ ‎∴这两位同学参加同一个文艺社团的概率为p==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知P是椭圆上的一点，若P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据P到椭圆右准线的距离，得到P到椭圆右焦点的距离，进而根据椭圆的定义可得：点P到左焦点的距离．‎ ‎【解答】解：因为P到椭圆右准线的距离是，‎ 所以P到椭圆右焦点的距离是，‎ 根据椭圆的定义可得：P到椭圆右焦点的距离+点P到左焦点的距离=2a=20，‎ 所以点P到左焦点的距离为．‎ 故选B．‎ ‎【点评】焦距此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质，即P到椭圆右焦点的距离/P到椭圆右准线的距离=离心率e．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，‎ 则黑色部分的面积S=，‎ 则对应概率P==，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）‎ ‎∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，‎ 解得f′（1）=﹣1，‎ 故选B；‎ ‎【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；‎ ‎　‎ ‎10．（5分）甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（　　）‎ A．480 B．240 C．120 D．360‎ ‎【分析】根据题意，设6人中除甲乙丙之外的三人为A、B、C，分2步进行分析：先排甲、乙、丙三人，丙在中间，甲乙在两边，再依次将A、B、C插入到空位中，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设6人中除甲乙丙之外的三人为A、B、C，‎ 甲、乙、丙等6个人排成一排照相，若甲、乙不在丙的同侧，则甲乙在丙的两侧，‎ 先排甲、乙、丙三人，丙在中间，甲乙在两边，有A22=2种排法，‎ ‎3人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选1个，安排A，有C41=4种情况，‎ ‎4人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选1个，安排B，有C51=5种情况，‎ ‎5人排好后，有6个空位可用，在5个空位中任选1个，安排C，有C61=5种情况，‎ 则不同的排法共有2×4×5×6=240种；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，注意优先分析受到限制的元素．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（　　）‎ A．7 B．10 C．9 D．8‎ ‎【分析】由茎叶图根据甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，列出方程组，求出x，y，由此能求出x+y的值．‎ ‎【解答】解：∵甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，‎ ‎∴，‎ 解得x=5，y=3，‎ ‎∴x+y=5+3=8．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、众数、中位数的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】所有的坐法共有种，乙正好坐中间的坐法有种，由此可得乙不坐中间的概率．‎ ‎【解答】解：所有的坐法共有=6种，乙正好坐中间的坐法有=2种，‎ 故乙正好坐中间的概率为=，‎ 故乙不坐中间的概率是．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共计20分）‎ ‎13．（5分）已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取60件，则乙类产品抽取的件数是 ‎　20　．‎ ‎【分析】根据甲乙丙的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵甲、乙、丙三类产品，其数量之比为3：4：5，‎ ‎∴从中抽取120件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为60×=20，‎ 故答案为：20．‎ ‎【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）二进制110011（2）化成十进制数为　51　．‎ ‎【分析】根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果．‎ ‎【解答】解：110011（2）=1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25=51．‎ 故答案为：51．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）用0，1，2，3，4，5，6可以组成　420　个无重复数字的四位偶数．‎ ‎【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、0在个位，在1，2，3，4，5，6这6个数字中任选3个，安排在前三个数位，②、0不在个位，依次分析个位、千位以及中间两个数位的安排方法数目，由分步计数原理计算可得此时的四位偶数的数目，由加法原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①、0在个位，在1，2，3，4，5，6这6个数字中任选3个，安排在前三个数位，‎ 有A63=120个四位偶数，‎ ‎②、0不在个位，需要在2、4、6三个数字中任选1个，安排在个位，有3种情况，‎ 在除0和个位数字之外的5个数字中，任选1个，安排在首位，有5种情况，‎ 在剩余的5个数字中任选2个，安排在中间两个数位，有A52=20种情况，‎ 则有3×5×20=300个四位偶数；‎ 则一共可以组成120+300=420个四位偶数；‎ 故答案为：420．‎ ‎【点评】本题考查分类计数及分步计数原理的应用，注意题目要求是四位偶数，需要对0进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是　+=1　．‎ ‎【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：双曲线 的顶点为（2，0）和（﹣2，0），焦点为（﹣4，0）和（4，0）．‎ ‎∴椭圆的焦点坐标是（2，0）和（﹣2，0），顶点为（﹣4，0）和（4，0）．‎ ‎∴椭圆方程为 +=1．‎ 故答案为：+=1．‎ ‎【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．‎ ‎　‎ 三、解答题（每小题10分，共计40分）‎ ‎17．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设斜率为1的直线l经过左焦点与椭圆C交于A、B两点，求弦AB的长．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得e==且a=，解可得c的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，由椭圆的方程可得左焦点的坐，即可得直线l的方程，联立直线与椭圆的方程，可得方程，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的短轴一个端点到右焦点的距离为，则有a=，‎ 又由椭圆C的离心率为，则有e==，‎ 则有c=，‎ 则b2=a2﹣c2=3﹣2=1，‎ 则椭圆的标准方程为：‎ ‎（2）由（1）可得：椭圆的标准方程为：，‎ 则其左焦点的坐标为（﹣，0），则直线l的方程为：‎ 则 得，‎ 则有，，‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是利用椭圆的几何性质，求出椭圆的标准方程．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】由¬P为真，P∨q为真，可得P为假，q为真，求出P为假、q为真时，m的取值范围，再求交集．‎ ‎【解答】解：∵¬P为真，P∨q为真∴P为假，q为真 （2分）‎ P为真命题，则，∴m＜﹣2或m＞2…（4分）‎ ‎∴P为假时，﹣2≤m≤2…①…（5分）‎ 若q为真命题，则…（7分）‎ 即1＜m＜3…②…（8分）‎ 由①②可知m的取值范围为1＜m≤2 …（10分）‎ ‎【点评】本题考查了命题真假的应用，涉及到了方程的根的分布、恒成立问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；‎ ‎（Ⅱ）求出样本中的男生和女生的人数，求出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，男生优秀人数为100×（0.01+0.02）×10=30人，‎ 女生优秀人数为100×（0.015+0.03）×10=45人．‎ ‎（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是，‎ 所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人，‎ 设两名男生为A1，A2，三名女生为B1，B2，B3，‎ 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：‎ ‎{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，‎ ‎{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共10个，‎ 每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，‎ 则事件C包含的基本事件有：‎ ‎{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，‎ ‎{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}共7个，‎ 所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布问题，考查条件概率问题，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中：‎ ‎（1）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；‎ ‎（2）求三棱锥B1﹣A1C1B的体积；‎ ‎（3）求证：B1D⊥平面A1C1B．‎ ‎【分析】（1）异面直线BC1与AA1所成的角的大小即∠B1BC1（或其补角），再由正方体的性质可得△B1BC1为等腰直角三角形，可得∠B1BC1 的大小．‎ ‎（2）三棱锥B1﹣A1C1B的体积 即=••BB1‎ ‎，运算求得结果．‎ ‎（3）由正方体的性质可得，由三垂线定理可得B1D⊥A1C1，同理可证，B1D⊥A1B，再根据直线和平面垂直的判定定理可得B1D⊥平面A1C1B．‎ ‎【解答】解：（1）由于A1A和B1B平行且相等，故异面直线BC1与AA1所成的角的大小即为BB1与BC1城的角，‎ 故∠B1BC1（或其补角）为所求．‎ 再由正方体的性质可得△B1BC1为等腰直角三角形，故∠B1BC1=45°，‎ 即异面直线BC1与AA1所成的角的大小为45°．‎ ‎（2）三棱锥B1﹣A1C1B的体积即 =••BB1=×（）×1=．‎ ‎（3）证明：由正方体的性质可得，B1D在上底面A1B1C1D1内的射影为B1D1，且A1C1⊥B1D1．‎ 由三垂线定理可得B1D⊥A1C1．‎ 同理可证，B1D⊥A1B．‎ 而A1C1和 A1B是平面A1C1B内的两条相交直线，根据直线和平面垂直的判定定理，可得B1D⊥平面A1C1B．‎ ‎【点评】本题主要考查求异面直线所成的角，用等体积法求棱锥的体积，直线和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎