安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学（理）试题 Word版含解析

安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试 数学（理科）‎ 考生须知：‎ ‎1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟.‎ ‎2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.‎ ‎4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.‎ 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式求出集合或，解绝对值不等式求出集合或，再利用集合的交运算即可求解.‎ ‎【详解】由或，‎ 或，‎ 所以.‎ 故选：D - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交运算、分式不等式的解法以及绝对值不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足：（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.‎ ‎【详解】由，则，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：‎ 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加用户比 脱贫率 那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）‎ A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设贫困户总数为，利用表中数据可得脱贫率，进而可求解.‎ - 27 -‎ ‎【详解】设贫困户总数为，脱贫率，‎ 所以. ‎ 故年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.‎ ‎4.函数在上的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.‎ ‎【详解】当时，，则，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 令，则，‎ 根据三角函数的性质，‎ 当时，，故切线的斜率变小，‎ 当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；‎ 当时，，则，‎ - 27 -‎ 所以函数在上单调递增，‎ 令 ，，‎ 当时，，故切线的斜率变大，‎ 当时，，故切线的斜率变小，可排除C，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.‎ ‎5.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线，‎ 则渐近线方程：，‎ ‎，‎ - 27 -‎ ‎ ‎ 连接，则，解得，‎ 所以，解得.‎ 故双曲线方程为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.‎ ‎6.已知实数满足不等式组，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件的可行域，在可行域内求的最小值即为的最小值，作，平移直线即可求解.‎ ‎【详解】作出实数满足不等式组的可行域，如图（阴影部分）‎ - 27 -‎ 令，则，‎ 作出，平移直线，当直线经过点时，截距最小，‎ 故，‎ 即的最小值为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.‎ ‎7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 27 -‎ 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.‎ ‎【详解】由三视图可知，‎ 几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，‎ 侧棱长为，如图：‎ 由底面边长可知，底面三角形的顶角为，‎ 由正弦定理可得，解得， ‎ 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，‎ 所以，‎ 该几何体外接球的表面积为：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）‎ - 27 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解.‎ ‎【详解】由图，正八边形分割成个等腰三角形，顶角为，‎ 设三角形的腰为，‎ 由正弦定理可得，解得，‎ 所以三角形的面积为：‎ ‎，‎ 所以每块八卦田的面积约为：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.‎ ‎9.已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 27 -‎ ‎【分析】‎ 根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解.‎ ‎【详解】当为奇数时，，‎ 则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列，‎ 当为偶数时，，‎ 则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列.‎ 所以 ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎10.函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ - 27 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.‎ 详解】由图像可知，即，‎ 所以，解得，‎ 又，‎ 所以，由，‎ 所以或，‎ 又，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 即，‎ 因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.‎ ‎11.已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，函数与的图象，‎ 因为时，恒成立，‎ 于是两函数必须有相同的零点，‎ 所以 ‎，‎ 解得．‎ - 27 -‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12.如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时， 最小，由 ，故，即可求解.‎ ‎【详解】取中点，过作面，如图：‎ - 27 -‎ 则，故，‎ 而对固定的点，当时， 最小．‎ 此时由面，可知为等腰直角三角形，，‎ 故.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知正项等比数列中，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.‎ ‎【详解】由，‎ 所以，解得.‎ ‎，所以，‎ - 27 -‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎14.的二项展开式中，含项的系数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出二项展开式的通项，然后取的指数为求得的值，则项的系数可求得.‎ ‎【详解】，‎ 由，可得.‎ 含项系数为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.‎ ‎15.如图，两个同心圆的半径分别为和，为大圆的一条 直径，过点作小圆的切线交大圆于另一点，切点为，点为劣弧上的任一点（不包括 两点），则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 以为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，从而可得、，，，然后利用向量数量积的坐标运算可得，再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，‎ 建立平面直角坐标系，‎ 则、，‎ 由，且，‎ 所以，所以，即 ‎ 又平分，所以，则,‎ 设，‎ 则，，‎ 所以，‎ 所以 - 27 -‎ ‎，，‎ 所以的最大值是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，属于中档题.‎ ‎16.已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，恒为锐角，只需直线 与圆相离，从而可得，解不等式，再利用离心率即可求解.‎ ‎【详解】根据题意可得，圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，‎ 因此当直线 与圆相离时， 恒为锐角，‎ 故，解得 ‎ 从而离心率.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.‎ - 27 -‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.的内角的对边分别为，若 ‎（1）求角的大小 ‎（2）若，求的周长 ‎【答案】（1）（2）11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式将式子化简成，再利用两角和与差的余弦公式即可求解.‎ ‎（2）利用余弦定理可得，再将平方，利用向量数量积可得，从而可求周长.‎ ‎【详解】由题 ‎ ‎ 解得，所以 由余弦定理，，‎ 再由 解得：‎ 所以 故的周长为 ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式，属于基础题.‎ - 27 -‎ ‎18.如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面，利用线面垂直的定义可得，再由，根据线面垂直的判定定理即可证出.‎ ‎（2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量，利用空间向量法即可求解.‎ ‎【详解】因为平面平面，‎ 所以 由为等腰直角三角形，‎ 所以 又，故平面.‎ 取的中点，连接，‎ 因为，‎ 所以 因为平面，‎ - 27 -‎ 所以平面 所以平面 如图，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系 则， ‎ 又，‎ 所以且于是 ‎ ‎ 设平面的法向量为，则 令得平面的一个法向量 设直线与平面所成的角为，‎ 则 ‎【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.‎ ‎19.已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点． ‎ ‎（1）若的最小值为，求实数的值； ‎ ‎（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求 - 27 -‎ 的面积．‎ ‎【答案】（1）的值为或.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论，当时，线段与抛物线没有公共点，设点在抛物线准线上的射影为，当三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当时，线段与抛物线有公共点，利用两点间的距离公式即可求解. ‎ ‎（2）由题意可得轴且设，则，代入抛物线方程求出，再利用三角形的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】由题，，若线段与抛物线没有公共点，即时，‎ 设点在抛物线准线上的射影为，‎ 则三点共线时，‎ 的最小值为，此时 若线段与抛物线有公共点，即时，‎ 则三点共线时，的最小值为：‎ ‎，此时 综上，实数的值为或.‎ 因为，‎ 所以轴且 设，则，代入抛物线的方程解得 于是，‎ 所以 - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，直线是曲线在处的切线． ‎ ‎（1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标； ‎ ‎（2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明．‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）函数存在唯一零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出导函数，利用导数的几何意义求出处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程，根据方程即可求出定点.‎ ‎（2）由（1）求出函数，令方程可转化为记，利用导数判断函数在上单调递增，根据，由零点存在性定理即可求出零点个数.‎ ‎【详解】‎ 所以直线方程为 即，恒过点 将代入直线方程，‎ 得考虑方程 即，等价于 记，‎ 则 于是函数在上单调递增，又 所以函数在区间上存在唯一零点， 即函数存在唯一零点.‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，属于难题.‎ ‎21.某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次 数为． ‎ ‎（1）求的分布列及其期望；‎ ‎（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；‎ ‎（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）（i）见解析（ii）时平均检验次数最少，约为594次．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，的可能取值为和，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出期望.‎ ‎（2）（i）由记，根据函数单调性即可证出；记，当且取最小值时，该方案最合理，对进行赋值即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题，的可能取值为 和 ‎，故的分布列为 - 27 -‎ 由记，因为，‎ 所以 在上单调递增 ，‎ 故越小，越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理 记 当且取最小值时，该方案最合理，‎ 因为，，‎ 所以时平均检验次数最少，约为次．‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为． ‎ ‎（1）求线段长的最小值； ‎ ‎（2）求点的轨迹方程．‎ - 27 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为，当时，线段取得最小值，利用几何法求弦长即可.‎ ‎（2）当点与点不重合时，设，由利用向量的数量积等于可求解，最后验证当点与点重合时也满足.‎ ‎【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为 即 圆心，半径，曲线为过定点的直线，‎ 易知在圆内，‎ 当时，‎ 线段长最小为 当点与点不重合时，‎ 设 ‎， ‎ 化简得 当点与点重合时，也满足上式，‎ 故点的轨迹方程为 ‎【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.‎ ‎23.已知非零实数满足． ‎ ‎（1）求证：； ‎ - 27 -‎ ‎（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围； 若不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）见解析（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用作差法即可证出.‎ ‎（2）将不等式通分化简可得，讨论或，分离参数，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 又 即 即 ‎①当时，即恒成立 ‎（当且仅当时取等号），故 - 27 -‎ ‎②当时恒成立 ‎（当且仅当时取等号），故 综上，‎ ‎【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.‎ - 27 -‎ - 27 -‎