【数学】云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

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【数学】云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年 高二下学期期中考试(理)‎ ‎ [考生注意]:考试用时120分钟,满分150分。必须在答题卡上的指定位置按规定要求作答,答在试卷上一律无效。‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求,请在答题卡相应的位置上填涂)‎ ‎1.已知集合,则集合U的真子集共有 ( )‎ A .15个 B . 16个 C. 31 个 D. 32个 ‎2.复数等于(  )‎ A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i ‎3.已知为等差数列,若,则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. ( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎5.在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第7‎ 题图 ‎6.执行如图所示的程序框图,若输入的值为6,则输出的值为( ) ‎ ‎ A.105 B. 16 C. 15 D. 1‎ ‎7.四棱锥的顶点在底面中的投影恰好是,‎ 其三视图如图所示,则四棱锥的表面积为 ( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8.设m、n是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:‎ ‎① 若、,则 ② 若,,则 ‎③ 若、,则 ④ 若,,则 其中真命题的序号是( ) ‎ A.①④ B.②③ C.②④ D.①③‎ ‎9.如右图阴影部分面积是(   )‎ A.e+ B.e+-1‎ C.e+-2 D.e- ‎10.已知直线y=x+b是曲线y=f(x)=ln x的切线,则b的值等于 ( )‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎11.为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 ‎ ‎ C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎12.在7名运动员中,选4名运动员组成接力队,参加4×100米接力赛,那么甲、乙两人都不跑中间棒的安排方法共有 种。 ( )‎ ‎ A.120 B.240 C.400 D.420‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。请把答案写在答题卡的相应位置上)‎ ‎13.若二项式的展开式中的系数是84,则实数a= 。‎ ‎14.如果实数满足条件 ,那么的最大值为 。‎ ‎15.设F1、F2是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一个点,∠F1PF2=60。°,|F1F2|为|PF1|与|PF2|的等比中项,则该椭圆的离心率为 。‎ ‎16.已知半径为的球中有一个内接正四面体,则这一正四面体的体积是 。‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(满分12分)已知数列的首项,通项,且成等差数列。求:‎ ‎ (1)的值; ‎ ‎ (2)数列前项和 ‎ 18.(满分12分)的内角,,的对边分别为,,, 已知 ‎ (1)求 ‎ (2)若,面积为2,求.‎ ‎19.(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面为菱形,平面,‎ ‎,分别为的中点,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面.‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎20. (满分12分)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值;‎ ‎(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.‎ ‎21. (满分12分)若函数,当时,函数有极值,‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若函数有3个解,求实数的取值范围.‎ ‎22.(满分10分)户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查,得到了如下列联表:‎ 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 ‎5‎ 女性 ‎10‎ 总计 ‎50‎ 已知在这50人中随机抽取1人,抽到喜欢户外运动的员工的概率是 ‎(1)请将上面的列联表补充完整;‎ ‎(2)求该公司男、女员工各多少人;‎ ‎(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由.‎ 下面的临界值表仅供参考:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考答案 一、选择题: 1-5:CAACC 6-10:CBDCA 11-12:CC 二、 填空题: 13. 1 14.1 15. 16.   ‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(满分12分)已知数列的首项,通项,且成等差数列。求:‎ ‎ (1)的值; ‎ ‎ (2)数列前项和 ‎ 解:(1)由得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (2)‎ ‎18.(满分12分)的内角,,的对边分别为,,, 已知 ‎ (1)求 ‎ (2)若,面积为2,求.‎ 解:由题设及 得 ,‎ 故.‎ 上式两边平方,得 整理得, 解得(舍去),.‎ ‎(2)由得,故.‎ 又,则.‎ 由余弦定理及得 ‎. 所以. ‎ ‎19.(本小题满分12分)四棱锥的底面为菱形,平面,‎ ‎,分别为的中点,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面.‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ 证明:(Ⅰ)∵四边形是菱形,‎ ‎∴.在中,,, ‎ ‎∴.‎ ‎∴,即.‎ 又, ‎ ‎∴................................................2分 ‎∵平面,平面,‎ ‎∴.又∵,‎ ‎∴平面,.............................................................4分 又∵平面, ‎ ‎ ∴平面平面. ........................................6分 ‎(Ⅱ)以为原点,、分别为轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.因为,,所以,、、、, ‎ 则,,................7分 由(Ⅰ)知平面,‎ 故平面的一个法向量为..................8分 设平面的一个法向量为,‎ 则 ,即,令,‎ 则. .....................................10分 ‎∴.‎ 所以,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为................................12分 ‎20. (满分12分)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值;‎ ‎(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.‎ 解 (1)由得x2-4x-4b=0,(*)‎ 因为直线l与抛物线C相切,‎ 所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.‎ ‎(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,‎ 解得x=2,代入x2=4y,得y=1.‎ 故点A(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切,‎ 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,‎ 即r=|1-(-1)|=2,‎ 所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.‎ ‎21. (满分12分)若函数,当时,函数有极值,‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若函数有3个解,求实数的取值范围.‎ 解:求导得, ‎ ‎(1)由题意,得 所求解析式为 ‎(2)由(1)可得: 令,得或 又因为 的定义域为R,当变化时,、的变化情况如下表:‎ ‎—‎ 单调递增↗‎ 单调递减↘‎ 单调递增↗‎ 因此,当时,有极大值 ‎ ‎ 当时,有极小值 ‎ 函数的图象大致如图: ‎ 由图可知: ‎ ‎22.(满分10分)‎ 户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查,得到了如下列联表:‎ 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 ‎5‎ 女性 ‎10‎ 总计 ‎50‎ 已知在这50人中随机抽取1人,抽到喜欢户外运动的员工的概率是 ‎(1)请将上面的列联表补充完整;‎ ‎(2)求该公司男、女员工各多少人;‎ ‎(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由.‎ 下面的临界值表仅供参考:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)‎ 解:(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是,‎ 所以喜欢户外运动的男女员工共30人,其中男员工20人,列联表补充如下:‎ 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女性 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎(2)该公司男员工人数为25÷50×650=325(人),则女员工有325人.‎ ‎(3)K2的观测值k=≈8.333>7.879,所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关.‎
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