高中数学必修1奇偶型习题
1.3.2 奇偶性
1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)＜f(1)， 则下列不等式中一定成立的是( )
A．f(－1)＜f(－3) B．f(2)＜f(3) C．f(－3)＜f(5) D．f(0)＞f(1)
3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知f(x)、g(x)都是定义域内的非奇非偶函数，而f(x)·g(x)是偶函数，写出满足条件的一组函数为：f(x)＝__________，g(x)＝__________.
课堂巩固
1．(2008全国高考卷Ⅱ，理3文4)函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)等于( )
A．1 B. C．－1 D．－
3．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则( )
A．f(－x1)＞f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)＜f(－x2) D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定
4．已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在(2,5)上是( )
A．增函数 B．减函数 C．有增有减 D．增减性不确定
5．已知f(x)＝ax7－bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝________.
6．若f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是__________．
7．(2008上海高考，文9)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
8．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝a(x∈R)；
(3)f(x)＝
9．已知函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(－1,0)上的单调性并加以证明．
1．f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是……
( )
A．b
f(7) B．f(6)>f(9) C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)
8．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________， b＝________.
9．已知函数f(x)具有如下两个性质：①对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)都有>0；②图象关于点(1,0)成中心对称图形．写出函数f(x)的一个解析表达式为______________________________________．
10．如果奇函数f(x)在区间[2,7]上是增函数，且最大值为10，最小值为6，那么 f(x)在[－7，－2]上是增函数还是减函数？求函数f(x)在[－7，－2]上的最大值和最小值．
11．已知函数f(x)＝.
(1)判断f(x)的奇偶性．
(2)确定f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数？在区间(0，＋∞)上呢？请证明你的结论．
答案与解析
1．3.2 奇偶性
课前预习
1．B F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
2．D ∵f(－3)＝f(3)，
∴f(3)＜f(1)．
∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数．
3．A 函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故①错；
函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；
函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．
4．x－1 x＋1(答案不唯一)
课堂巩固
1．C ∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，
∴该函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．
2．C ∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.
3．A f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x1)＝f(x1)．
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2＞－x1＞0，
∴f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．
4．B ∵f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴m＝0.∴f(x)＝－x2＋3.
∴在(2,5)上为减函数．
5．－13 整体思想：f(－5)＝a(－5)7－b(－5)＋2＝17⇒(a·57－5b)＝－15，
∴f(5)＝a·57－b·5＋2＝－15＋2＝－13.
6．{x|0＜x＜2} 偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法求解．
画图可知f(x)＜0的解集为{x|－1＜x＜1}，
∴f(x－1)＜0的解集为{x|0＜x＜2}．
7．－2x2＋4 f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
∵f(x)是偶函数，∴2a＋ab＝0，
解得a＝0或b＝－2.
当a＝0时，f(x)＝bx2，这与f(x)∈(－∞，4]相矛盾，故a≠0.
当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2∈(－∞，4]，得2a2＝4，此时f(x)＝－2x2＋4.
8．解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，当a＝0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；当a≠0时，f(－x)＝a＝f(x)，即f(x)是偶函数．
(3)函数的定义域为R，当x＞0时，－x＜0，此时f(－x)＝(－x)2[1＋(－x)]＝x2(1－x)＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，此时f(－x)＝(－x)2[1－(－x)]＝x2(1＋x)＝f(x)；
当x＝0时，－x＝0，此时f(－x)＝0，f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)．
综上，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
9.解：(1)是偶函数．定义域是R，
∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
(2)f(x)是单调递增函数．
证明：当x∈(－1,0)时，f(x)＝x2＋2x，
设－1－2，即x1＋x2＋2>0.
∵f(x1)－f(x2)＝(x－x)＋2(x1－x2)
＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)<0，
∴f(x1)f(6)＝f(10)．
8. 0 偶函数定义域关于原点对称，
∴a－1＋2a＝0.∴a＝.
∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.
又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.
9．y＝x－1，y＝(x－1)3，y＝(x－1)5，…，y＝(x－1)n(n为正奇数)
①对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)都有>0，则函数在R上为增函数，而函数y＝x3在R上为增函数；②图象关于(1,0)点成中心对称图形，则函数y＝x3向右平移一个单位，即函数y＝(x－1)3的图象关于(1,0)点成中心对称图形．另外，函数y＝x－1，y＝(x－1)3，y＝(x－1)5，…，y＝(x－1)n(n为正奇数)都是符合题意的函数．
10．解：f(x)在[－7，－2]上是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[－7，－2]，且x1＜x2，则2≤－x2＜－x1≤7.
因为f(x)在区间[2,7]上是增函数，
所以f(－x2)＜f(－x1)．
又因为f(x)是奇函数，所以f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，
即－f(x2)＜－f(x1)，f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)在[－7，－2]上是增函数．
于是其最大值为f(－2)＝－f(2)＝－6，最小值为f(－7)＝－f(7)＝－10.
点评：奇函数的图象关于原点对称，它们在关于原点对称的单调区间上具有相同的单调性；偶函数的图象关于y轴对称，它们在关于原点对称的区间上的单调性恰好相反．
11．解：(1)因为f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(2)f(x)在(－∞，0)上是增函数，由于f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
证明：取x10，x1＋x2<0，
且x＋1>0，x＋1>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
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