2018-2019学年江苏省七校联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省七校联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省七校联盟高二上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．椭圆的焦距是2，则m的值是________.‎ ‎【答案】3或5‎ ‎【解析】试题分析：当焦点在x轴时，当焦点在y轴时 5或3‎ ‎【考点】椭圆方程与性质 点评：求解本题要注意分焦点在x轴y轴两种情况，当焦点在x轴时方程为，当焦点在y轴时方程为 二、填空题 ‎2．命题“，”的否定是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由命题的否定即可得出.‎ ‎【详解】‎ 由非命题的意义可得：命题“，”的否定是“”，正确.‎ ‎【点睛】‎ 命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．‎ ‎3．抛物线的焦点坐标为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．‎ 解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴‎ ‎∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）‎ 故答案为：（0，1）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎4．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎5．已知 ,则“成立”是“成立”的_________条件．（请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】‎ 分别求解绝对值不等式与分式不等式，再由充分必要条件的判定方法得答案．‎ ‎【详解】‎ 由|x﹣1|＜2，得﹣2＜x﹣1＜2，‎ ‎∴﹣1＜x＜3，‎ 由，得0＜x＜3．‎ ‎∴由|x﹣1|＜2，可得，反之，由，不能得到|x﹣1|＜2．‎ ‎∴“|x﹣1|＜2成立”是“成立”的必要不充分条件．‎ 故答案为：必要不充分．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判定方法，考查绝对值不等式与分式不等式的解法，是基础题．‎ ‎6．下图给出的伪代码运行结果是_________ .‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=10时不满足条件，退出循环，输出x的值为16．‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得 i=1，x=4‎ 满足条件i＜10，执行循环体，x=5，i=4‎ 满足条件i＜10，执行循环体，x=9，i=7‎ 满足条件i＜10，执行循环体，x=16，i=10‎ 此时，不满足条件i＜10，退出循环，输出x的值为16．‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．‎ ‎7．某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则A，B两名老师都被选中的概率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 基本事件总数n==6，A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，由此能求出A，B两名老师都被选中的概率．‎ ‎【详解】‎ 某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，‎ 基本事件总数n==6，‎ A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，‎ ‎∴A，B两名老师都被选中的概率是p=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎8．设z＝2x+y，其中x，y满足条件，则z的最大值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最值即可．‎ ‎【详解】‎ 作出可行域，如图，‎ 作出直线y=﹣2x，并平移，‎ 当直线经过点A时z取最大值，解方程组，‎ 得A（3，0），‎ 此时最大值z=2×3+0=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎9．若正实数a，b满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得=≥2=2，由不等式的性质变形可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵正实数a，b满足，‎ ‎∴=≥2=2，‎ ‎∴ab≥2‎ 当且仅当=即a=且b=2时取等号．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题．‎ ‎10．记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是_______________．‎ ‎【答案】【答案】‎ ‎【解析】‎ 由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=,答案为.‎ 点睛：本题考查的是几何概型.对于几何概型的计算，首先要确定所法事件的类型为几何概型并确定其几何区域是长度（角度、面积、体积或时间等），其次是计算基本事件区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等）和事件A区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等），最后计算.‎ ‎11．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），‎ ‎∵双曲线过点（2，-2），‎ ‎∴λ=，‎ 即﹣y2=﹣2，即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，为左准线，，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设P（x，y），根据PQ⊥l且四边形PQFA为平行四边形，得|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c﹣．利用点P的横坐标满足x∈（﹣a，a），建立关于a、c的不等式组，再化成关于离心率的一元二次不等式，解之即可得到椭圆的离心率e的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 设P（x，y），则 ‎∵PQ⊥l，四边形PQFA为平行四边形，‎ ‎∴|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c﹣‎ ‎∵椭圆上点P的横坐标满足x∈[﹣a，a]，且P、Q、F、A不在一条直线上 ‎∴﹣a＜a+c﹣＜a，即2a+c﹣＞0且c﹣＜0‎ 化简得2+e﹣＞0，即e2+2e﹣1＞0‎ 解之得e或e＞‎ ‎∵椭圆的离心率e∈（0，1）‎ ‎∴椭圆的离心率e的取值范围是（，1）‎ 故答案为：（，1）‎ ‎【点睛】‎ 本题给出椭圆上一点P在左准线上的射影点为Q，P、Q与左焦点F和右顶点A构成平行四边形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎13．若方程有实根，则实数的取值范围是 _________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 利用数形结合来求解，方程的解，可看作函数y=与y=x+m的图象的交点的横坐标，在同一坐标系中，做出函数y=与y=x+m的图象，判断x取何值时，两函数图象有交点即可．‎ ‎【详解】‎ 的解可看作函数y=与y=x+m的图象的交点的横坐标，‎ ‎∵函数y=的图象为椭圆在x轴上方的部分，‎ 函数y=x+m的图象为斜率是1的直线 ‎∴借助图象可知，直线与椭圆有交点时，如图 m的取值范围是 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用直线与圆的位置关系判断方程的解的情况．‎ ‎14．已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 将a分离出来得a≥﹣2（）2，然后根据x∈[1，2]，y∈[2，3]求出的范围，令t=，则a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出t﹣2t2的最大值，即可求出a的范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，‎ 即：a≥﹣2（）2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，‎ 令t=，根据下图可知则1≤t≤3，‎ ‎∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，‎ ‎∵y=﹣2t2+t=﹣2（t﹣）2+，1≤t≤3，‎ ‎∴ymax=﹣1，‎ ‎∴a≥﹣1‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．‎ 三、解答题 ‎15．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2 分别为椭圆的左.右焦点，长轴长为6，离心率为 ‎（1）求椭圆C 的标准方程；‎ ‎（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意：，解得，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=4，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，‎ 设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，‎ 解得：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．‎ ‎16．某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），‎ ‎（1）求分数在[70，80）中的人数；‎ ‎（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？‎ ‎（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．‎ ‎【答案】（1）30；（2）2；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由频率分布直方图先求出分数在[70，80）内的概率，由此能求出分数在[70，80）中的人数．‎ ‎（2）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，由此能求出用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的人数．‎ ‎（3）用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的有2人分数在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，‎ 所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为：‎ ‎1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，‎ ‎∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人． ‎ ‎（2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人，‎ 分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，‎ 用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，‎ 抽取的5人中分数在[40，50）的人有： ‎ ‎（3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，‎ 用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，‎ 抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为，‎ 分数在[50，60）的有3人，设为，，‎ ‎5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：‎ ‎，，，，，，，， ，‎ 分别在不同区间上有m=6种可能．，，，，，‎ 所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率P==．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎17．已知命题：二次函数在区间是增函数；命题：双曲线 的离心率的范围是.‎ ‎（1）分别求命题“” .命题“”均为真命题时m的取值范围.‎ ‎（2）若“p且q” 是假命题，“p或q”是真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）对于p：求出二次函数f（x）=x2﹣7x+6的对称轴为，由题意知，若p真，求出m的取值范围，对于q：由是双曲线，可得（4﹣m）（m﹣1）＞0，得1＜m＜4，由，得m＞3，若q真，取交集即可求出m的取值范围；‎ ‎（2）由题意知：p，q一真一假，若p真q假，则m∈[4，+∞）；若p假q真，则，从而可求出实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)对于：因为二次函数的对称轴为，由题意知，‎ 若真，则； ‎ 对于：∵双曲线，∴（4-m）(m-1)>0,得 ‎ ‎∴得，‎ 故，即若真，则 ‎ ‎(2)由题意知：，一真一假， ‎ 若真假，则； ‎ 若假真，则；‎ 综合得实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查二次函数的单调性以及双曲线的性质，属于中档题．‎ ‎18．设函数 ‎ ‎（1）若不等式的解集为(-1,3),求a,b的值；‎ ‎（2）若求 的最小值．‎ ‎ (3)若,求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）根据二次不等式与二次方程的关系可求a，b；‎ ‎（2）由已知可得，a+b=1，然后根据基本不等式的应用条件进行配凑后，进行1的代换即可求解；‎ ‎（3）把已知条件代入，然后进行分类讨论进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程的两根为且 ‎ 由根与系数的关系可得： ‎ ‎（2）若，则， ‎ ‎， ‎ 所以 ‎ 的最小值为（当且仅当时式中等号成立）‎ ‎(3) 当 ，不等式即 即 ‎ ‎①，不等式可化为，‎ 原不等式的解集为 ‎ ‎② ，原不等式可化为 ‎ ‎∴当时，原不等式的解集为 ‎ 当时，原不等式的解集为 ‎ ‎ 当时，原不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系，一元二次不等式的解法及分类讨论思想的应用．‎ ‎19．如图，在C城周边有两条互相垂直的公路，在点O处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC＝4 km，OC与公路夹角为60°.现规划在公路上分别选择A，B两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C城，设OA＝x km，OB＝y km.‎ ‎(1) 求出y关于x的函数关系式并指出它的定义域；‎ ‎(2) 试确定点A，B的位置，使△AOB的面积最小．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 面积相等法，建立的关系式，，根据得；‎ ‎，分子分母的x的次数不等，要转化为x的次数相等，然后用均值定理。‎ 解：（1）‎ 整理得，‎ 过C作OB平行线与OA交于D，，‎ 故.定义域为.‎ ‎（2）,‎ 当且仅当即时取等.‎ 所以当时，有最小值为.‎ 答：当OA=4，OB= 时，使△的面积最小.‎ ‎20．已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；‎ ‎（3）求线段MN的长度的最小值 ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）利用直线x﹣2y+2=0经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，求出A，D的坐标，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设点S的坐标为（x0，y0），可得=，利用点S在椭圆上，即可证明k1•k2为定值；‎ ‎（3）设直线AS的方程为y=k1（x+2），可得M的坐标，利用，可得直线BS的方程，从而可得N的坐标，求出MN，利用基本不等式，即可求线段MN的长度的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 ‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎（2）设 ‎ ‎ ‎（3）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，‎ 故可设直线的方程为，从而 ‎ 由得0‎ 设则得，从而 即又由得 ‎ 故又 当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎