2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“，使”否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】由特称命题与全称命题的否定求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由特称命题的否定为全称命题可得：命题“，使”否定是“，”，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了特称命题与全称命题的否定，属基础题.‎ ‎2．是方程表示的图形为双曲线的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】方程表示的图形为双曲线的充要条件为，‎ 再判断“”与 “”的充要性即可.‎ ‎【详解】‎ 解：方程表示的图形为双曲线的充要条件为，‎ 即或，即，‎ 又“”能推出 “”‎ 但 “”不能推出 “”，‎ 即“”是 “”的充分不必要条件，‎ 即是方程表示的图形为双曲线的充分不必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的标准方程，重点考查了充分必要条件，属基础题.‎ ‎3．已知函数，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出导函数，再计算导数值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础．‎ ‎4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”,故应选A.‎ ‎【考点】复合命题的构成及运用.‎ ‎【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给的两个命题的内容,再选择复合命题的形式将所求问题的表达方式.首先欲求问题中的命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义是指“有一位学员或两位学员没有降落”，因此将其已知两个命题的内容进行联系，从而将问题转化为“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”.‎ ‎5．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.‎ ‎【详解】‎ 焦点在轴上，双曲线的标准方程为，，所以渐近线方程.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.‎ ‎6．已知椭圆的上、下顶点分别为、，左、右焦点分别为、，若四边形是正方形，则此椭圆的离心率等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设椭圆的方程为：，则由题意可得，所以椭圆的离心率．‎ ‎【考点】椭圆的离心率．‎ ‎7．已知函数，则该函数的导函数 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，故选B．‎ ‎8．过椭圆内一点引一条恰好被 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由作差得 ‎ ，选A.‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎9．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于( )‎ A． B． C．6 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.‎ ‎10．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 的定义域是（0，+∞），‎ ‎，‎ 若函数有两个不同的极值点，‎ 则在（0，+∞）由2个不同的实数根，‎ 故，解得：，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎11．若点P是以F为焦点的抛物线y2＝4x上的一个动点，B （3，2），则|PB|+|PF|的最小值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用抛物线的定义等于到准线的距离，数形结合即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的准线方程为，过点做，垂直为，‎ ‎，‎ 当且仅当，三点共线时，等号成立.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是基础题．‎ ‎12．已知函数，若函数为常数)有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分段函数，利用导数研究函数单调性，逐段分析函数单调性及极值、端点值；因为函数为常数)有三个零点，则曲线与直线有三个交点，结合的值域分析，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，，，‎ 令，则 时，单调递增，；‎ 时，单调递增，‎ ‎②当时，，二次函数，开口向上，对称轴，且 时，单调递减，；时，单调递增，.‎ 因为函数为常数)有三个零点，则曲线与直线有三个交点，则 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 函数有零点问题，转化为方程的根的问题.‎ 二、填空题 ‎13．函数在处的切线方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由函数，‎ 求导可得，‎ 所以，‎ 又，‎ 即函数在处的切线方程是，即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.‎ ‎14．已知实数x，y满足，则2x+y的最小值是_____；‎ ‎【答案】-18‎ ‎【解析】作出可行域后,根据目标函数的斜率找到最优解即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域，如图所示:‎ 设z＝2x+y变形得y＝﹣2x+z，作直线y＝﹣2x+z，‎ 由图知,当该直线过A（﹣6，﹣6）时,z取得最小值﹣18；‎ 则z＝2x+y的最小值是﹣18．‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的线性规划求最值,根据斜率关系找到最优解是解题关键,属于基础题.‎ ‎15．已知抛物线： 的焦点为，直线： 交抛物线于， 两点，则等于__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意得F（1，0），所以直线过焦点，因此由焦点弦公式得 ‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎16．若函数在上是单调减函数，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在上是单调减函数等价于在上恒成立，再利用分离变量最值法求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数，‎ 所以，‎ 由函数在上是单调减函数，‎ 则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 设，‎ 则，‎ 当时，，‎ 即，‎ 即的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数导函数的求法，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知抛物线的准线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依已知得，所以；（Ⅱ）设，，由消去，得,再利用韦达定理求弦长.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）依已知得，所以；‎ ‎（Ⅱ）设，，由消去，得，‎ 则，，‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.‎ ‎18．已知直线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于、两点，若点的直角坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（1）直线l的方程为,圆C的方程为（2）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：‎ ‎(1)消去参数可得直线的普通方程为，极坐标方程转化为直角坐标方程可得圆C的直角坐标方程是 ‎(2)利用题意由弦长公式可得.‎ 试题解析：‎ 解：（1）∵直线l的参数方程是（是参数），∴．‎ ‎ 即直线的普通方程为．‎ ‎∵，∴‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为，‎ ‎ 即或 ‎（2）将代入得，∴．‎ ‎∴．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1）的递增区间是和；递减区间是，（2）最大值是，最小值是 ‎【解析】（1）先求导，再解，的解集即可得解；‎ ‎（2）由函数的单调性，先求极值，再求端点值，再比较大小求值域即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1） ‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 所以的递增区间是和；递减区间是 ；‎ ‎（2）由（1）知，在，上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以的极大值为，极小值为，‎ 又因为，，‎ 所以的最大值是，最小值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性，重点考查了利用函数的单调性求函数的值域，属基础题.‎ ‎20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与轴的交点为A，与y轴的交点为B，P是曲线C上一点，求 面积的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）用消参数法可得曲线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；‎ ‎（2）求出两点坐标，得，到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，由此可得面积最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，这是曲线的普通方程，‎ 由得，∴，即．‎ ‎（2）由（1）知直线与坐标轴的交点为，，‎ 圆方程为，圆心为，半径为，点在圆上，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 到直线的距离的最大值为，又，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程用消参数法可化为普通方程，利用公式可进行极坐标方程与直角坐标方程的互化．‎ ‎21．如图，椭圆：的离心率为，设，分别为椭圆的右顶点，下顶点，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知不经过点的直线：交椭圆于，两点，且,求证：直线过定点.‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析 ‎【解析】（1）根据题意建立的方程组求解；‎ ‎（2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，，， ‎ 由已知可知，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到或，再验证是否成立，证明直线过定点.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知，，，可得， ‎ 又因，即， ‎ 所以，即，， ‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎（2）联立，得， ，设，，则 ‎，， ① ‎ 因为 , ，即 即，‎ 又，，，‎ 即， ②‎ 把①代入②得：‎ 得或， ‎ 所以直线的方程为或，‎ 所以直线过定点或（舍去），‎ 综上所述直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中直线过定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎22．.‎ ‎（1）当时，求的单调区间.‎ ‎（2）当时，，求范围.‎ ‎【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为（2）‎ ‎【解析】（1）先求导，再解不等式，的解集即可；‎ ‎（2）先求导，再讨论当时， 当时，函数在区间的单调性，然后求最值即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，，‎ ‎，‎ 令，解得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 即的单调增区间为，的单调减区间为.‎ ‎（2）因为.‎ 当即时，在上显然恒成立，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 所以满足题意；‎ 当即时，不妨令，‎ 则，‎ 又，则，‎ 令，则 则时，，即单调递减，‎ 即，‎ 即不满足题意；‎ 综上可得的范围为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的综合应用，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎