【数学】2020届一轮复习北师大版综合法、分析法、反证法、数学归纳法学案

【数学】2020届一轮复习北师大版综合法、分析法、反证法、数学归纳法学案

第五节　综合法、分析法、反证法、数学归纳法 ‎[考纲传真]　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．‎ ‎1．综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 →‎ →…→‎ →→…→得到一个明显,成立的条件 文字语言 因为……所以……或由……得……‎ 要证……只需证……即证……‎ ‎2.反证法 ‎(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．‎ ‎(2)反证法的证题步骤：‎ ‎①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．‎ ‎3．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．‎ ‎[常用结论]　利用归纳假设的技巧 在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立． (　　)‎ ‎(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明． (　　)‎ ‎(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ ‎[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，‎ 有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0

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