【数学】2020届数学（理）一轮复习人教版：第二章第一节　导数的运算、几何意义作业

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教版：第二章第一节　导数的运算、几何意义作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级 基础夯实练 1．(2018·衡阳模拟)曲线 f(x)＝x2＋a x＋1 在点(1，f(1))处切线的倾斜 角为3π 4 ，则实数 a＝( ) A．1 B．－1 C．7 D．－7 解析：选 C.f′(x)＝2x（x＋1）－（x2＋a） （x＋1）2 ＝x2＋2x－a （x＋1）2 ， 又∵f′(1)＝tan3π 4 ＝－1，∴a＝7. 2．(2018·福州质检)如图，y＝f(x)是可导函数，直 线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，令 g(x)＝xf(x)，g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝( ) A．－1 B．0 C．2 D．4 解析：选 B.依题意得 f(3)＝k×3＋2＝1，k＝－1 3 ，则 f′(3)＝k＝ －1 3 ，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0，故选 B. 3．(2018·成都模拟)直线 y＝1 2x＋b 是曲线 y＝ln x(x＞0)的一条切 线，则实数 b 的值为( ) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 解析：选 C.∵y＝ln x 的导数为 y′＝1 x ，∴1 x ＝1 2 ，解得 x＝2，∴ 切点为(2，ln 2)．将其代入直线 y＝1 2x＋b，得 b＝ln 2－1. 4．若曲线 f(x)＝acos x 与曲线 g(x)＝x2＋bx＋1 在交点(0，m)处 有公切线，则 a＋b＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选 C.依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b， 于是有 f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，b＝0， m＝f(0)＝g(0)，即 m＝a＝1，因此 a＋b＝1. 5．(2018·四川名校联考)已知函数 f(x)的图象如图 所示，f′(x)是 f(x)的导函数，则下列数值排序正确的 是( ) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析：选 C.由函数 f(x)的图象可得函数 f(x)的导函数 f′(x)在[0， ＋∞)上是单调递减的，f(x)在[2，3]上的平均变化率小于函数 f(x)在 点(2，f(2))处的瞬时变化率，大于 f(x)在点(3，f(3))处的瞬时变化率， 所以 0＜f′(3)＜f（3）－f（2） 3－2 ＜f′(2)，即 0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)． 6．(2018·江西南昌二中月考)已知曲线 f(x)＝ln x 的切线经过原 点，则此切线的斜率为( ) A．e B．－e C.1 e D．－1 e 解析：选 C.解法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1 x. 设切点 P(x0，ln x0)，则切线的斜率 k＝f′(x0)＝ 1 x0 ＝ln x0 x0 ，∴ln x0＝1， x0＝e，∴k＝ 1 x0 ＝1 e. 解法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线 f(x)＝ln x 及曲线 f(x)＝ln x 经过原点的切线，如图所 示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于 1，故 选 C. 7．(2018·江西新余质检)已知 f(x)＝ln x，g(x)＝1 2x2＋mx＋7 2(m＜ 0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1， f(1))，则 m 的值为( ) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 解析：选 D.∵f′(x)＝1 x ，∴直线 l 的斜率 k＝f′(1)＝1.又 f(1)＝0， ∴直线 l 的方程为 y＝x－1. g′(x)＝x＋m，设直线 l 与 g(x)图象的切点为(x0 ，y0)，则 x0＋m＝1， y0＝x0－1， y0＝1 2x20＋mx0＋7 2 （m＜0）， ∴－m＝1 2(1－m)2＋m(1－m)＋7 2 ，得 m＝－2，故选 D. 8．(2018·全国卷Ⅱ)曲线 y＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为 ________． 解析：由 y＝2ln x 得 y′＝2 x.因为 k＝y′|x＝1＝2，点(1，0)为切点， 所以切线方程为 y＝2(x－1)，即 2x－y－2＝0. 答案：2x－y－2＝0 9．(2018·长沙模拟)已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(2，f(2))处的 切线方程是 y＝x＋4，则 f(2)＋f′(2)＝________． 解析：y＝f(x)的图象在点 M(2，f(2))处的切线方程是 y＝x＋4， 可得 f(2)＝2＋4＝6，f′(2)＝1，则 f(2)＋f′(2)＝6＋1＝7. 答案：7 10．已知 f(x)为偶函数，当 x＜0 时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线 y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 解析：令 x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x， 又 f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝ln x－3x(x＞0)， 则 f′(x)＝1 x －3(x＞0)， ∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为 y＋3＝ －2(x－1)，则 y＝－2x－1. 答案：y＝－2x－1 B 级 能力提升练 11．(2018·烟台模拟)若直线 y＝ax 是曲线 y＝2ln x＋1 的一条切 线，则实数 a＝( ) A．e－1 2 B．2 e－1 2 C．e－1 2 D．2 e－1 2 解析：选 B.依题意，设直线 y＝ax 与曲线 y＝2ln x＋1 的切点的 横坐标为 x0，则有 y′|x＝x0＝ 2 x0 ，于是有 a＝ 2 x0 ， ax0＝2ln x0＋1， 解得 x0＝ e， a＝ 2 x0 ＝2 e－1 2 ，选 B. 12．已知点 P 在曲线 y＝ 4 ex＋1 上，α为曲线在点 P 处的切线的 倾斜角，则α的取值范围是( ) A. 3π 4 ，π B． 0，π 4 C. －3π 4 ，0 D． π 4 ，3π 4 解析：选 A.∵y＝ 4 ex＋1 ， ∴y′＝ －4ex （ex＋1）2 ＝ －4ex e2x＋2ex＋1 ＝ －4 ex＋1 ex＋2 . ∵ex＞0，∴ex＋1 ex≥2， ∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0)． 又α∈[0，π)，∴α∈ 3π 4 ，π ，故选 A. 13．(2018·赣中南五校联考)已知函数 fn(x)＝xn＋1，n∈N 的图象 与直线 x＝1 交于点 P，若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标 为 xn，则 log2 020x1＋log2 020x2＋…＋log2 020x2 019 的值为( ) A．－1 B．1－log2 0202 019 C．－log2 0192 018 D．1 解析：选 A.由题意可得点 P 的坐标为(1，1)，f′n(x)＝(n＋1)·xn， 所以 fn(x)图象在点 P 处的切线的斜率为 n＋1，故可得切线的方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)，所以切线与 x 轴交点的横坐标为 xn＝ n n＋1 ，则 log2 020x1＋log2 020x2＋…＋log2 020x2 019＝log2 020(x1x2·…·x2 019)＝log2 020 1 2 ×2 3 ×3 4 ×…×2 019 2 020 ＝log2 020 1 2 020 ＝－1，故选 A. 14．若函数 y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两 点处的切线互相垂直，则称 y＝f(x)具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是( ) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 解析：选 A.设函数 y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 且 x1≠x2，则由题意知，只需函数 y＝f(x)满足 f′(x1)·f′(x2)＝－1 即可， y＝f(x)＝sin x 的导函数为 f′(x)＝cos x，则 f′(0)f′(π)＝－1, 故函数 y ＝sin x 具有 T 性质：y＝f(x)＝ln x 的导函数为 f′(x)＝1 x ，则 f′(x1)·f′ (x2)＝ 1 x1x2 ＞0，故函数 y＝ln x 不具有 T 性质；y＝f(x)＝ex 的导函数 为 f′(x)＝ex，则 f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2＞0，故函数 y＝ex 不具有 T 性质；y＝f(x)＝x3 的导函数为 f′(x)＝3x2，则 f′(x1)f′(x2)＝9x21x22≥0， 故函数 y＝x3 不具有 T 性质．故选 A. 15．(2017·天津卷)已知 a∈R，设函数 f(x)＝ax－ln x 的图象在点 (1，f(1))处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为________． 解析：由题意可知 f′(x)＝a－1 x ， 所以 f′(1)＝a－1， 因为 f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)， 所以切线 l 的方程为 y－a＝(a－1)(x－1)， 即 y＝(a－1)x＋1. 令 x＝0，得 y＝1，即直线 l 在 y 轴上的截距为 1. 答案：1 16．(2018·潍坊模拟)若函数 f(x)＝1 2x2－ax＋ln x 存在垂直于 y 轴 的切线，则实数 a 的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝1 2x2－ax＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝x－a＋1 x. ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线，∴f′(x)存在零点， 即 x＋1 x －a＝0 有解，∴a＝x＋1 x ≥2(当且仅当 x＝1 时取等号)． 答案：[2，＋∞) C 级 素养加强练 17．(2018·长沙市模拟)已知 f(x)＝ax3－x2－x＋b(a，b∈R，a≠ 0)，g(x)＝3 e 4 ex(e 是自然对数的底数)，f(x)的图象在 x＝－1 2 处的切线 方程为 y＝3 4x＋9 8. (1)求 a，b 的值； (2)探究：直线 y＝3 4x＋9 8 是否可以与函数 g(x)的图象相切？若可 以，写出切点的坐标；若不可以，说明理由． 解：(1)因为 f(x)＝ax3－x2－x＋b，所以 f′(x)＝3ax2－2x－1， 因为 f(x)＝ax3－x2－x＋b 的图象在 x＝－1 2 处的切线方程是 y＝ 3 4x＋9 8 ， 所以 f′ －1 2 ＝3 4 ，即 3a× －1 2 2－2× －1 2 －1＝3 4 ，解得 a＝1. 因为 f(x)的图象过点 －1 2 ，3 4 ，所以 －1 2 3－ －1 2 2－ －1 2 ＋b＝ 3 4 ，解得 b＝5 8. 综上，a＝1，b＝5 8. (2)设直线 y＝3 4x＋9 8 与函数 g(x)的图象相切，切点为点 B(x0，y0)， 因为 g′(x)＝3 e 4 ex，所以过点 B 的切线的斜率是 g′(x0)＝3 e 4 ex0. 又直线 y＝3 4x＋9 8 的斜率是3 4 ，所以 3 e 4 ex0＝3 4 ，解得 x0＝－1 2. 将 x0＝－1 2 代入 y＝3 e 4 ex 得点 B 的坐标为 －1 2 ，3 4 ， 所以直线 y＝3 4x＋9 8 可以与函数 g(x)的图象相切，切点坐标为 －1 2 ，3 4 .