河北省衡水中学2017届高三下学期第六周周测数学（理）试题

河北省衡水中学2017届高三下学期第六周周测数学（理）试题

河北省衡水中学2017届高三下学期第六周周测 数学（理）试题 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、复数的共轭复数所对应的点位于复平面的 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2、已知等比数列中，，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎3、已知双曲线的离心率为，且经过点，则双曲线C的标准方程为 A． B． C． D．‎ ‎4、阅读如图的程序框图，如输入，则输出的分别等于 A． B． C． D．‎ ‎5、已知条件关于的不等式有解；条件为减函数，则成立是成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6、已知不等式组表示的区域D，过区域D中任意一点P作圆的两条切线且切点分别为A、B，当最大时，‎ A． B． C． D．‎ ‎7、已知，若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8、一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，‎ 俯视图为正方形，则该几何体的体积为 ‎ A．8 B．‎4 C． D．‎ ‎9、已知F为抛物线的焦点，点A、B在该抛物线上，‎ ‎（其中为坐标原点），则与面积之差的最小值是 A．4 B．‎8 C． D．‎ ‎10、若函数，函数，则 的最小值为 A． B．‎1 C． D．2‎ ‎11、若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，取最小值，向量满足，则当取最大值时，等于 A． B． C． D．‎ ‎12、已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.‎ ‎13、某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取点样本中有高一学生96人，则该样本中的三学生人数为 ‎ ‎14、在正三棱锥中，是SC的中点，，则正三棱锥外接球的球心到平面ABC的距离为 ‎ ‎15、中，是以为第三项，为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状为 ‎ ‎16、已知函数，有下列4个结论：‎ ‎ ①函数的图象关于y轴对称；‎ ‎②存在常数，对于任意实数，恒有成立；‎ ‎③对于任意给定的正数M，都存在实数 ，使得；‎ ‎④函数的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行。‎ 其中，所有正确结论的序号为 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在中，是边上一点。‎ ‎（1）求的面积的最大值；‎ ‎ （2）若的面积为4，为锐角，求的长。‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，‎ ‎.‎ ‎（1求证：；‎ ‎ （2）求二面角的大小。‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎ 设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为V。‎ ‎（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率；‎ ‎ （2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V内的个数为X，求X的分布列和数学期望。‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆与椭圆有相同的离心率，经过椭圆的做顶点作直线，与椭圆相较于P、Q两点，与椭圆相较于A、B两点。‎ ‎（1）若直线经过线段PQ的中点M，求直线的方程；‎ ‎ （2）若存在直线，使得，求的取值范围。‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，曲线在点处的切线平行于直线。‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎ （2）设直线为函数图象上任意一点处的切线，在区间上是否存在，使得直线与曲线也相切？若存在，满足条件的有几个？‎ ‎ ‎ ‎22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程 ‎ 在坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为。‎ ‎（1）写出直线的参数方程，若直线与曲线C有公共点，求的取值范围；‎ ‎ （2）设为曲线C上任意一点，求的取值范围。‎ ‎13、设关于的不等式的解集为A，且。‎ ‎ （1）恒成立，且，求的值；‎ ‎ （2）若，求的最小值，并指出取得最小值时的值。‎ 附加题：‎ ‎24、设函数 。‎ ‎ （1）若存在最大值M，且，求的取值范围；‎ ‎ （2）当时，试问方程是否有实数根，若有，求出所有的实数根；若没有，请说明理由。‎ ‎25、已知点F为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M。‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎ （2）设直线与y轴交于点P，过点P的直线与椭圆E交于两不同点A、B，‎ 若 ，求实数的取值范围。‎ ‎26、设等差数列 的前n项和为，若，且，数列点前n项和为，且满足。‎ ‎（1）求数列通项公式的及数列的前n项和；‎ ‎ （2）是否存在非零实数，使得数列 为等比数列？并说明理由。‎ 答案：‎ 一、选择题 CBABB BBACD AB 二、填空题 ‎（13）78 （14） （15）锐角三角形 （16）③④‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）∵在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点，‎ ‎∴由余弦定理得：‎ B D A C AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC ‎=‎ ‎≥（2﹣）AB•BC，‎ ‎∴AB•BC≤=20（2+），‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC的面积的最大值为．‎ ‎（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，‎ ‎∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，‎ ‎∴==4，‎ ‎∴sinθ=，cos，‎ 由余弦定理，得AD2=AC2+CD2﹣‎2AC•CD•cosθ=20+4﹣8×=16，‎ ‎∴AD=4，‎ 由正弦定理，得，∴，∴，‎ 此时，∴BC=．‎ ‎∴BC的长为4．‎ ‎18、‎ ‎19.‎ ‎20. 解：（1）设P（﹣2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为，‎ ‎∴=0，化为x+y=2．‎ 联立，解得，或．‎ ‎∴直线l的方程为：y=0，或y﹣0=（x+2），化为x﹣4y+2=0．‎ ‎（2）椭圆C2： +y2=1的离心率e=．‎ 设‎2c是椭圆C1； +=1（a＞b＞0）的焦距，则=，又a2=b2+c2，可得a=2b，c=b，椭圆的方程化为：x2+4y2=4b2．‎ 设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x3，y3），Q（x4，y4），A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，化为（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，‎ ‎∴x3+x4=，x3x4=，‎ ‎|PQ|==．‎ 联立，化为：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4b2=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=．‎ ‎∴|AB|==．‎ ‎∵=，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴3×=．‎ 化为：b2=1+∈（1，9]，∴b∈（1，3]．∴b的取值范围是（1，3]．‎ ‎21. 解：（1）∵函数f（x）=lnx﹣，‎ ‎∴f′（x）=+，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1，‎ ‎∴f′（）=2+‎8a=10， ∴a=1‎ ‎∴f′（x）=‎ ‎∵x＞0且x≠1，∴f'（x）＞0‎ ‎∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（5分）‎ ‎（2）证明：∵y=lnx，∴切线l的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0）‎ 即y=x+lnx0﹣1，①（6分）‎ 设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），‎ ‎∵g'（x）=ex，∴=，‎ ‎∴x1=﹣lnx0．（8分）‎ ‎∴直线l也为y﹣=（x+lnx0），‎ 即y=x++，②（9分）‎ 由①②得lnx0﹣1=+，‎ ‎∴lnx0=．（11分）‎ 下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．‎ 由（1）可知，f（x）=lnx﹣在区间（1，+∞）上递增．‎ 又f（e）=﹣＜0，f（e2）=＞0，（13分）‎ 结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．‎ ‎22.解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0，‎ ‎∵直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，‎ ‎∴直线l的参数方程为，（t为参数），‎ 将，代入x2﹣y2﹣6x﹣1=0，‎ 整理，得t2﹣8tcosα+8=0，‎ ‎∵直线l与曲线C有公共点，‎ ‎∴△=64cos2α﹣32≥0，即cosα≥，或cosα≤﹣，‎ ‎∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）．‎ ‎（2）曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣6x+1=0可化为（x﹣3）2+y2=8，‎ 其参数方程为，（θ为参数），‎ ‎∵M（x，y）为曲线C上任意一点，‎ ‎∴x+y=3+2cosθ+2=3+4sin（），‎ ‎∴x+y的取值范围是[﹣1，7]．‎ ‎23.解：（1）关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A，‎ 则a＞|﹣2|且a≤|﹣﹣2|，即有＜a≤，①‎ ‎∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，即有 ‎|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，‎ ‎∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，即有 a2+a≤2，解得﹣2≤a≤1，②‎ 由①②可得＜a≤1， 由a∈N，则a=1；‎ ‎（2）若a+b=1，则+=+，‎ 当b＞0时， +=+（+）≥+2=，‎ 当且仅当=，即a=∈（，]，b=时，取得最小值，且为；‎ 当b＜0时， +=﹣+（+）≥﹣+2=，‎ 当且仅当=，即a=∈（，]，b=时，取得最小值，且为．‎ 综上可得，当a=时， +取得最小值，且为．‎ 实验附加：‎ ‎24‎ ‎．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）求椭圆标准方程，只要求出参数，由于有，因此要列出关于的两个方程，而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得，再利用已知直线与椭圆只有一个公共点，即判别式为0可求得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得点的坐标，从而可得，要求范围只要求得的范围，为此可直线分类，对斜率不存在时，求得，而当直线斜率存在时，可设出直线方程为，同时设，则，由韦达定理可把表示为的函数，注意直线与椭圆相交，判别式＞0，确定的范围，从而可得的范围，最后可得的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意，得，则椭圆为：，‎ 由，得 ，‎ 直线与椭圆有且仅有一个交点，‎ ‎ ，‎ 椭圆的方程为 ；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直线与轴交于 ,‎ ‎ ,‎ 当直线与轴垂直时， ,‎ 由 ,‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， ，‎ 由 ，‎ 依题意得，，且 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ， ‎ 综上所述，的取值范围是 .‎ ‎2．（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设数列的公差为，利用数量积运算性质可得：，又，解得，，可得数列的通项公式，再利用“裂项求和”方法即可得出；（Ⅱ）由()，且，可得，对分类讨论，利用等比数列的定义即可得出．‎ 试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，由，，，得又解得，，因此数列的通项公式是（），所以，‎ 所以 ‎（Ⅱ）因为（）且可得，‎ 当时，；当时，，此时有，若是等比数列，则有，而，，彼此相矛盾，故不存在非零实数，使数列为等比数列．‎ 考点：数列递推式；数列求和