2019-2020学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试 数学（理） word版

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绵阳南山中学2019年秋高2018级半期考试 数学（理科）‎ 命题人 注意事项： ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页，满分l50分，考试时间l20分钟。考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试卷上答题无效。‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。‎ ‎1.空间直角坐标系中，点与间的距离是(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2 若直线 平行，那么系数等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.圆与圆的位置关系是（  ）‎ A.外切 B.相交 C.内切 D.外离 ‎4.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（  ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知过点的直线与圆相切,则直线的斜率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则M处可填入的 条件为(　　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7.已知点在抛物线上，为抛物线的准线上的一点，为 抛物线的焦点，若，则直线的斜率为(　　).‎ A. B. C. D.‎ ‎8.过点的直线与椭圆交于两点，且点平分弦，则直线的方程为（  ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.若方程有两个相异的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.在中，已知，为平面上的两点且满足，，∥，则顶点的轨迹为(　　)‎ A.焦点在轴上的椭圆(长轴端点除外) B.焦点在轴上的双曲线(实轴端点除外)‎ C.焦点在轴上的椭圆(短轴端点除外) D.焦点在轴上的抛物线(顶点除外)‎ ‎12.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为（　　）‎ A．   B．   C．   D．‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） ‎ ‎13.抛物线的焦点到准线的距离为    ‎ ‎14.设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .‎ ‎15.若为椭圆的右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，直线交直线于两点，则的最小值为      ．‎ ‎16.已知为抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是_________.‎ 三、解答题：共70分（17题满分10分，其余各题满分各12分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在的直线方程为。若点的坐标为，求点和点的坐标．‎ ‎18.已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线的一个顶点．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，且与双曲线交于两点,求的长．‎ ‎19.已知圆过原点且与相切，且圆心在直线上．‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，求的面积的最大值.‎ ‎21. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为.‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点。‎ ‎22.如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ 绵阳南山中学2019年秋高2018级半期考试 数学（理科）参考答案 一、选择题：‎ ‎1~5：ABCBD 6~10:BDBAD 11~12:CC ‎11.设，则由，即为的重心，得.‎ 又，即为的外心，所以点在轴上，又∥，则有.‎ 所以，化简得.‎ 所以顶点的轨迹为焦点在轴上的椭圆(除去短轴端点).‎ ‎12.，焦点，准线，由圆：圆心，半径为；‎ 由抛物线的定义得：，‎ 又∵，∴，同理：，‎ 当轴时，则，∴．‎ 当的斜率存在且不为，设时，代入抛物线方程，得：‎ ‎，，，‎ ‎∴．‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 综上所述的最小值为.‎ 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎15.解析：，两点关于原点对称，由题意易得，‎ 不妨设直线，则直线，‎ ‎，‎ ‎16.设直线的方程为，点.又点，直线与轴的交点，不妨设，由，消得，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 因为点在该抛物线上且位于轴的两侧,所以，故，‎ 所以，‎ 当且仅当即时取“”.所以与面积之和的最小值是.‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：由方程组解得点的坐标为，‎ 又直线的斜率，轴是的平分线，所以，‎ 则边所在的直线方程为．①‎ 又已知边上的高所在直线的方程为，故直线的斜率，‎ 所以边所在的直线方程为．②‎ 解①②组成的方程组得，即顶点的坐标为．‎ ‎18.解：（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即.‎ 又点是双曲线的一个顶点，，得，‎ 双曲线的方程为 ‎（2）由（1）知，双曲线的右焦点为，‎ 经过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线的方程为，‎ 联立直线与双曲线方程消得，‎ 设，则，‎ 所以 ‎19.解：（1）由题意设圆心，则到直线的距离等于，，解得，其半径，‎ 圆的方程为 ‎（2）由题知，圆心到直线的距离 当的斜率不存在时，成立，‎ 若的斜率存在时，设，由，得，解得，‎ 综上，直线的方程为或 ‎20. (1)因为，所以.‎ 又椭圆过点，‎ 所以，所以，‎ 故所求椭圆方程为.‎ ‎(2)设的方程为，点，联立消去整理，‎ 得.‎ 所以.‎ 又直线与椭圆相交，所以，解得.‎ 则.‎ 点到直线的距离.‎ 所以.‎ 当且仅当，即时，的面积取得最大值为.‎ ‎21.（1）设圆心，线段的中点是.‎ 由几何图象知，且与均是圆的半径，， ，，‎ ‎（2）法一：由题意，设直线的方程为，，‎ 将代入中，得，‎ 其中，，‎ 因为轴是的角平分线，所以，即，‎ ‎，，‎ ‎，，此时，‎ 所以直线的方程为，所以直线过定点 法二：设，由题知，，，，即.‎ 直线方程为：，整理得，‎ ‎，，解得，‎ 所以，直线过定点.‎ ‎22解：（1）由已知，点的坐标分别为，.又点的坐标为，且，于是，，，解得，.所以椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为，.联立，得.其判别式，所以，.从而，.‎ 所以，当时，.此时，为定值.‎ 当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时，‎ 故存在常数，使得为定值-3.‎