【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-2排列与组合学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-2排列与组合学案

‎§11.2　排列与组合 考纲展示►　‎ ‎1.理解排列与组合的概念．‎ ‎2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．‎ ‎3．能利用排列组合知识解决简单的实际问题．‎ 考点1　排列问题 ‎1.排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，__________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ 答案：按照一定的顺序排成一列 ‎2．排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.‎ 答案：所有不同排列的个数 ‎3．排列数公式及性质 公式 A＝__________________＝ 性质 ‎(1)A＝________；(2)0！＝________‎ 备注 n，m∈N*，且m≤n 答案：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　(1)n!‎ ‎(2)1　‎ 对排列的概念理解是否正确？‎ ‎(1)当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列；元素完全不同或元素部分相同或元素相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列．(　　)‎ ‎(2)排列定义规定，给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√‎ ‎[典题1]　(1)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(　　)‎ A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知，不同的座次有AA＝48(种)．‎ ‎(2)有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名．”又对B说：“你是第三名．”请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　)‎ A．6 B．‎18 C．20 D．24‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知，名次排列的种数为CA＝18.‎ ‎(3)3名女生和5名男生排成一排．‎ ‎①如果女生全排在一起，有多少种不同排法？‎ ‎②如果女生都不相邻，有多少种排法？‎ ‎③如果女生不站两端，有多少种排法？‎ ‎④其中甲必须排在乙前面(可不相邻)，有多少种排法？‎ ‎⑤其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？‎ ‎[解]　①(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有AA＝4 320(种)不同排法．‎ ‎②(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA＝14 400(种)不同排法．‎ ‎③解法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA＝14 400(种)不同排法．‎ 解法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有AA＝14 400(种)不同排法．‎ ‎④8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，所以符合要求的排法种数为A＝20 160(种)．‎ ‎⑤甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．‎ 解法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个位置中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有AAA种．‎ 由分类加法计数原理，共有A＋AAA＝30 960(种)．‎ 解法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法AA种，因此共有AA－AA＝30 960(种)．‎ 解法三(间接法)：8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种．因此共有A－‎2A＋A＝30 960(种)．‎ ‎[点石成金]　1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．‎ ‎2．对相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法，定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．‎ 考点2　组合问题 ‎1.组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个________．‎ 答案：组合 ‎2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，记作________．‎ 答案：组合数　C ‎3．组合数公式及性质 公式 C＝＝ ‎＝ 性质 ‎(1)C＝________；‎ ‎(2)C＝________；‎ ‎(3)C＋C＝C 备注 n，m∈N*，且m≤n 答案：(1)1　(2)C　‎ ‎(1)[教材习题改编]从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有1名，则有________种不同的选法．‎ 答案：120‎ 解析：易知有CC＋CC＋CC＝120(种)不同的选法．‎ ‎(2)[教材习题改编]将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有________种．(用数字作答)‎ 答案：91‎ 解析：分类即可，共有C＋C＋C＝21＋35＋35＝91(种)放法.‎ 组合问题：关键在于“无序”．‎ ‎(1)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)‎ 答案：590‎ 解析：从12名医生中选出5名的选法有C＝792(种)，其中只不选骨科医生的选法有C－1＝125(种)，只不选脑外科医生的选法有C－1＝55(种)，只不选内科医生的选法有C＝21(种)，同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种，故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数为792－(125＋55＋21＋1)＝590.‎ ‎(2)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种，其中某一种假货不能在内，不同的取法有________种．‎ 答案：5 984‎ 解析：从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)．‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.‎ ‎[典题2]　(1)[2017·福建三明一中高三第一次月考]从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)‎ A．85 B．‎56 C．49 D．28‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　分两种情况：第一种甲乙只有1人入选，则有CC＝42(种)，第二种甲乙都入选，有CC＝7(种)，所以共有42＋7＝49(种)方法，故选C.‎ ‎(2)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．‎ ‎①其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎②其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎③至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎④至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎[解]　①从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，‎ ‎∴某一种假货必须在内的不同的取法有561种．‎ ‎②从34种可选商品中，选取3种，有C＝5 984(种)．‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同的取法有5 984种．‎ ‎③选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．‎ ‎④选取3件的总数有C种，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090(种)．‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．‎ ‎[点石成金]　组合问题常有以下两类题型 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.‎ ‎1.[2017·湖北武汉二模]若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 答案：D 解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C＋C＋CC＝66(种)．‎ ‎2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．‎ 答案：472‎ 解析：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法有CC＝264(种)．‎ 第二类，不含有红色卡片，不同的取法有C－‎3C＝220－12＝208(种)．‎ 由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472(种)．‎ 考点3　分组分配问题 ‎[考情聚焦]　分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 整体均分问题 ‎[典题3]　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．‎ ‎[答案]　90‎ ‎[解析]　先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法．‎ 角度二 部分均分问题 ‎[典题4]　[2017·四川内江模拟]某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考情况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为(　　)‎ A．144 B．‎72 C．36 D．48‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　分两步完成：第一步将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A种，所以满足条件的分配方案有·A＝36(种)．‎ 角度三 不等分问题 ‎[典题5]　若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．‎ ‎[答案]　360‎ ‎[解析]　将6名教师分组，分三步完成：‎ 第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；‎ 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；‎ 第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．‎ 根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60(种)取法．‎ 再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6(种)分法，‎ 故共有60×6＝360(种)不同的分法．‎ ‎[点石成金]　解决分组分配问题的三种策略 ‎(1)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．‎ ‎(2)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．‎ ‎(3)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．‎ 考点4　排列组合的综合应用 ‎[典题6]　(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)‎ A．300 B．216‎ C．180 D．162‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CCA＝72(个)没有重复数字的四位数；‎ 第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CC(A－A)＝108(个)没有重复数字的四位数．‎ 根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)．‎ ‎(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个．(用数字作答)‎ ‎[答案]　324‎ ‎[解析]　当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是CAC＝72；若选出的三个偶数不含0，此时千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是AC＝18.故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个)．‎ 当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为CAC＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是CCAC＝162.故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个)．‎ 根据分类加法计数原理，符合要求的四位数共有90＋234＝324(个)．‎ ‎[点石成金]　利用先选后排法解答问题的三个步骤 从1到9的9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：‎ ‎(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？‎ ‎(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？‎ ‎(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？‎ 解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有A种情况．所以符合题意的七位数有CCA＝100 800(个)．‎ ‎(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400(个)．‎ ‎(3)3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA＝5 760(个).‎ ‎[方法技巧]　1.排列、组合问题的求解方法与技巧 ‎(1)特殊元素优先安排；‎ ‎(2)合理分类与准确分步；‎ ‎(3)排列、组合混合问题先选后排；‎ ‎(4)相邻问题捆绑处理；‎ ‎(5)不相邻问题插空处理；‎ ‎(6)定序问题排除法处理；‎ ‎(7)分排问题直接处理；‎ ‎(8)“小集团”排列问题先整体后局部；‎ ‎(9)构造模型；‎ ‎(10)正难则反，等价转化．‎ ‎2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 ‎(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．‎ ‎(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．‎ ‎[易错防范]　1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关．‎ ‎2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．‎ ‎3．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．‎ ‎4．对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·江苏卷](1)求‎7C－‎4C的值；‎ ‎(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.‎ ‎(1)解：‎7C－‎4C＝7×－4×＝0.‎ ‎(2)证明：当n＝m时，结论显然成立．当n>m时，‎ ‎(k＋1)C＝ ‎＝(m＋1)· ‎＝(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n.‎ 又C＋C＝C，‎ 所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n.‎ 因此，(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C＝(m＋1)C＋[(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C]‎ ‎＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)]＝(m＋1)C.‎ ‎2．[2015·重庆卷]端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．‎ 解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能值为0,1,2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 综上知，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 特殊元素(位置)优先安排法解排列组合问题 ‎[典例]　3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为(　　)‎ A．360 B．‎288 C．216 D．96‎ ‎[审题视角]　分两步计算：第一步，计算满足3位女生中有且只有两位相邻的排法，将3位女生分成两组，插空到排好的3位男生中；第二步，在第一步的结果中排除甲站两端的排法．‎ ‎[解析]　3位男生排成一排有A种排法，3名女生分成两组．其中2名排好看成一个整体有CA种排法，这两组女生插空到3名男生中有A种插法，于是6位同学排成一排且3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有CAAA＝432(种)．‎ 其中男生甲在排头或排尾时，其余两男生的排法有A种，两组女生插到2名男生中有A种插法．于是男生甲在排头或排尾，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有‎2AACA＝144(种)．‎ 所以满足条件的排法共有432－144＝288(种)．故选B.‎ ‎[答案]　B 方法点睛 该题涉及两个特殊条件：“男生甲不站两端”与“3位女生中有且只有两位女生相邻”，显然对于“男生甲不站两端”这类问题可利用间接法求解，将其转化为“男生甲站两端”的问题，要优先安排男生甲，然后再安排其他元素；对于“三位女生中有且只有两位女生相邻”中的相邻问题利用捆绑法；而不相邻问题可以利用插空法求解．‎