高二数学同步辅导教材(第14讲)

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高二数学同步辅导教材（第 14 讲） 一、 本章主要内容 8.3 双曲线及其标准方程 课本第 104 页至第 108 页 二、 本讲主要内容 1、双曲线的定义 2、双曲线的标准方程 三、 学习指导 1、双曲线的定义用集合表示为{P|||PF1|-|PF2||=2a，2a>0，F1、F2 是定点，2a<|F1F2|}。 当 2a=|F1F2|时，点 P 的轨迹是两条射线（线段 F1F2 的反向延长线）。 当 2a<|F1F2|时，平面上的点 P 不存在。 称 F1、F2 为双曲线的焦点，线段 F1F2 的长度为焦距，用 2c 表示。 2、焦点在 x 轴上的双曲线，其标准方程为 1 b y a x 2 2 2 2  （a>0，b>0）。若记左焦点为 F1（-c，0），右 焦点为 F2（c，0），则|PF1|>|PF2|时，点 P 在双曲线右支上；|PF1|<|PF2|时，点 P 在双曲线的左支上。 焦点在 y 轴上的双曲线，其标准方程为 1 b x a y 2 2 2 2  （a>0，b>0），若记下焦点为 F1（-c，0），上焦 点为 F2（c，0），则|PF1|>|PF2|时，点 P 在双曲线的上支上；|PF1|<|PF2|时，点 P 在双曲线的下支上。 三个正实数 a，b，c 恒满足 c2=a2+b2，应将它们的关系与椭圆相区别，椭圆中 a2=b2+c2，a>b，a>c，b 与 c 无大小关系；双曲线中，c>a，c>b，a 与 b 无大小关系。 3、求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程的方法完全类似。一般分两步：（1）选标准。判断焦点在 哪根数轴上，还是两者均有可能；（2）定参数。途径一是待定系数法，即解方程组的思想；途径二是定 义法。 四、典型例题 例1、 就实数 k 的取值范围，讨论方程 13k y k9 x 22  表示的曲线。 解题思路分析： 关键是抓住椭圆及双曲线标准方程的特征，采用分类讨论的思想方法。 当       3kk9 03k 0k9 ，39 时，方程表示焦点在 y 轴上的双曲线。 注：在判断方程表示的曲线时，应至少交代焦点的位置特征，在方程表示椭圆时，还应注意圆的情 形是否存在。 例2、 求过点 E（5，0）且与圆 F：(x+5)2+y2=36 外切的圆的圆心 P 轨迹。 解题思路分析： 运用与圆有关的平面几何的性质寻找动圆圆心的几何等量关系。 设动圆圆心为 r，则 由 E 在圆 P 上知，|PE|=r 由圆 P 与圆 F 外切知，|PF|=r+6 消去参数 r 得：|PF|-|PE|=6 ∴ 点 P 在以 F、E 为焦点的双曲线的一支上。 ∴ 2a=b，a=3 又 c=5 ∴ b=4 ∴ 所求双曲线的轨迹方程为 116 y 9 x 22  （x≥3），轨迹为该双曲线的右支。 注：利用双曲线的定义解题是解决双曲线问题的一个重要思想方法。本题利用定义求点 P 轨迹方程， 免去了很多繁琐的方程化简过程，希望同学们引起重视。 双曲线定义中的距离差含有绝对符号，本题没有，因此只表示双曲线的一支。 例 3、已知椭圆 1n y m x 22  （m>n>0）和双曲线 1t y s x 22  （s>0，t>0）有相同的焦点 F1、F2，P 是 两条双曲线的一个交点，求|PF1||PF2|的值。 解题思路分析： 当题设涉及到焦点的距离时，一般考虑用定义解题，避免用两点间距离公式，增加计算的复杂程度。 当 P 在椭圆上，|PF1|+|PF2|= m2 ……① 当点 P 在双曲线上，||PF1|-|PF2||= s2 ……② ①、②两式分别平方得：      s4|PF||PF|2|PF||PF| m4|PF||PF|2|PF||PF| 21 2 2 2 1 21 2 2 2 1 两式相减得： 4|PF1||PF2|=4(m-s) ∴ |PF1||PF2|=m-s 注：从计算的角度看，本题涉及到整体运算的思想，把|PF1|·|PF2|作为一个变量。 例 4、焦点在 x 轴上的双曲线过点 P（ 24 ，-3），且点 Q（0，5）与两焦点的连线互相垂直，求此 双曲线的标准方程。 解题思路分析： 用待定系数求标准方程。同时注意分析图形位置特征。 ∵ 两焦点 F1、F2 关于 y 轴对称，点 Q 在 y 轴上 ∴ △QF1F2 为等腰直角三角形 ∴ c=|OF1|=|OF2|=|QA|（O 为坐标原点） ∴ c=5 设双曲线方程 1 b y a x 2 2 2 2  则      25ba 1 b )3( a )24( 22 2 2 2 2 ∴ 1 a25 9 a 32 22    去分母，整理得 a4-66a2+800=0 ∴ a2=16，或 a2=50（舍） ∴ b2=9 ∴ 所求双曲线的标准方程为 19 y 16 x 22  例 5、若双曲线 y2-x2=1 上的点 P 与其焦点 F1、F2 的直线互相垂直，求点 P 坐标。 解题思路分析： 法一：不妨设 F1（0，- 2 ）， F2（0， 2 ）， P（x0，y0），则        1x 2y x 2y 1xy 0 0 0 0 2 0 2 0 解之得：         2 6y 2 2x 0 0 ∴ 点 P 坐标为 )2 6,2 2(),2 6,2 2(),2 6,2 2(),2 6,2 2(  法二：用轨迹的思想解题 因点 P 对定线段 F1、F2 张角等于 900 故点 P 在圆 x2+y2=2 上 又点 P 在双曲线 y2-x2=1 上 ∴ 点 P 坐标为方程组      2yx 1xy 22 22 的解 解此方程组：        2 3y 2 1x 2 2 ，         2 3y 2 2x ，下略 五、同步练习 （一）选择题 1、双曲线 19 y 25 x 22  的两个焦点分别为 F1、F2，双曲线上的点 P 到 F1 的距离为 12，则 P 到 F2 的距 离为 A、17 B、7 C、7 或 17 D、2 或 22 2、在方程 mx2-my2=n 中，若 mn<0，则方程表示的曲线是 A、焦点在 x 轴上的椭圆 B、焦点在 x 轴上的双曲线 C、焦点在 y 轴上的双曲线 D、焦点在 y 轴上的椭圆 3、方程 13k y k9 x 22  表示 A、椭圆 B、圆 C、双曲线 D、以上三种均有可能 4、已知双曲线的焦距为 26， 13 25 c a 2  ，则双曲线的标准方程是 A、 1169 y 25 x 22  B、 1169 x 25 y 22  C、 1144 y 25 x 22  D、 1144 x 25 y1144 y 25 x 2222  或 5、F1、F2 为双曲线 1y4 x 2 2  的两个焦点，点 P 在双曲线上，且∠F1PF2=900，则△F1PF2 的面积是 A、2 B、4 C、8 D、16 6、双曲线焦点在 y 轴上，且它的一个焦点在直线 5x-2y+20=0 上，两焦点关于原点对称， 3 5 a c  ， 则此双曲线方程是 A、 164 y 36 x 22  B、 136 y 64 x 22  C、 164 y 36 x 22  D、 136 y 64 x 22  7、双曲线 8mx2x-my2=8 的焦点为 6，则 m 的值是 A、±1 B、-1 C、1 D、8 8、设θ 是第三象限角，方程 x2+y2sinθ =cosθ 表示的曲线是 A、焦点在 x 轴上的椭圆 B、焦点在 y 轴上的椭圆 C、焦点在 x 轴上的双曲线 D、焦点在 y 轴上的双曲线 9、双曲线中， 2 5 a c  ，且双曲线与椭圆 4x2+9y2=36 有公共焦点，则双曲线的方程是 A、 1x4 y 2 2  B、 1y4 x 2 2  C、 14 yx 2 2  D、 14 xy 2 2  10、过（1，1）且 2a b  的双曲线的标准方程为 A、 1y 2 1 x 2 2  B、 1x 2 1 y 2 2  C、 1 2 1 yx 2 2  D、 1y 2 1 x 2 2  或 1x 2 1 y 2 2  （二）填空题 11、θ 是三角形的一个内角，若方程 x2+y2cosθ =1 表示双曲线，则θ 的取值范围是 ____________。 12、以椭圆 19 y 16 x 22  的顶点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是__________。 13、已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点（0，3），则 k=__________。 14、双曲线 ax2-ay2=b（ab<0）的焦点坐标是__________。 15、若双曲线 1 k4 y k9 x 2 2 2 2  与圆 x2+y2=1 无公共点，则实数 k 的取值范围是_________。 （三）解答题 16、已知 F1、F2 是双曲线的两个焦点，|F1F2|=10，过 F2 的直线交双曲线一支于 A、B 两点，若|AB|=5， △AF1B 的周长等于 26，求双曲线方程。 17、已知定点 A（3，0）和定圆 C：(x+3)2+y2=16，动圆和圆 C 相外切，并经过点 A，求动圆圆心 P 的轨迹方程。 18、一炮弹在某处爆炸，在 F1（-5000，0）处听到爆炸声的时间比在 F2（5000，0）处晚 17 300秒，已 知坐标轴的单位长度为 1m，声速为 340m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在曲线方程。 19、一动圆 C 与两定圆 C1：x2+(y-1)2=1 和圆 C2：x2+(y+1)2=4 都外切，求动圆圆心 C 的轨迹方程。 20、已知双曲线的焦点在 y 轴上，且双曲线过 P1（-2， 52 3 ）， P2（ 73 4 ，4），求双曲线的标准方 程。 六、参考答案 （一）选择题 1、D。 不妨设 F1 为左焦点，F2 为右焦点。当点 P 在双曲线左支时，|PF2|-|PF1|=10，|PF2|=22；当 点 P 在双曲线右支时，|PF1|-|PF2|=10，|PF2|=2。 2、C。 首先将方程变形为 1 m n y m n x 22  ，∵ mn<0，∴ 0m n  ，∴ 0m n  ，再将方程变形 1 m n x m n y 22     。 表示焦点在 y 轴上的双曲线。 9-k>0 3、D。 当 k-3>0 ,39，或 k<3 时，方程表示双曲线。 4、2c=26，c=13，∴a2=25，b2=c2-a2=144，分焦点在 x 轴，y 轴进行讨论。 5、B。 双曲线标准方程为 14 xy 2 2  ，a2=1， b2=4，c2=5，不妨设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则 r1 2+r2 2=4c2=20。 ∴(r1-r2)2+2r1r2=20，∴2r1r2=20-|2a|2=16，∴r1r2=8， ∴ 4rr2 1S 21PFF 21  6、D。 在 5x-2y+20=0 中，令 x=0，y=10，∴一个焦点为（0，10），∴c=10，a=6∴b2=c2-a2=64。 7、A。 当 m>0 时，标准方程为 m 8 y m 1 x 22  =1， m 1a 2  ， m 8b2  ，∴ m 9c2  ，∴ 9m 9  ，∴m=1。当 m<0 时，标准方程为 1 m 1 x m 8 y 22     ， m 8a 2  ， m 1b2  ，∴ 9m 9c2  ，∴m=-1。 8、D。 ∵θ ∈Ⅲ，∴sinθ <0，cosθ <0，标准方程为  cos x cot y 22 =1，表示焦点在 y 轴上的双曲 线。 9、B。 椭圆标准方程为 14 y 9 x 22  ，∴焦点（ 5 ，0），∴c= 5 ，a=2，∴b2=c2-a2=1，焦点在 x 轴上。 10、D。 设 b= 2 k，a=k，当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程 1 k2 y k x 2 2 2 2  ，令 x=1，y=1，则 2 1k 2  ， ∴双曲线方程为 1y 2 1 x 2 2  ； 当焦点在 y 轴上时，双曲线方程为 1x 2 1 y 2 2  （二）填空题 11、 ),2(  。∵cosθ <0，θ ∈（0，π ），∴θ ∈（ ),2  。 12、 19 y 7 x 22  。椭圆顶点（±4，0），焦点（± 7 ，0），∴双曲线的顶点为 （± 7 ，0），∴a= 7 ，焦点为（±，0），∴c=4，∴b2=c2-a2=9。 13、 -1 。 双曲线标准方程为 1 k 1 x k 8 y 22     ，∴      9k 1 k 8 0k ，∴k=-1。 14、 )a |ab|2,0(  。双曲线的标准方程为 1 a b x a b y 22     ，∴c2= a b2 ，∴ |a| ab2c  。 15、 ),3 1()3 1,(   。画图分析，|3k|>1，∴ 3 1k  ，或 3 1k  。 （三）解答题 16、解 |AF1|+|BF2|+|AB|=26 ① |AF1|+|BF2|=5 ② ①-②得：(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)=16 ∴ 4a=16，a=4 又 c=5 ∴ b=4 ∴ 所求双曲线方程为 19 y 16 x 22  或 116 y 9 x 22  。 17、解：圆心 C（-3，0），设动圆半径为 r 则      r4|PC| r|PA| ∴ |PC|-|PA|=4 ∴ 点 P 轨道为双曲线的一支 ∵ a=2，c=3 ∴ b= 5 ∴ 所求轨迹方程为 15 y 4 x 22  （x>0）。 18、解：设爆炸点为 P，则|PF1|-|PF2|= 17 300340 =6000<|F1F2| ∴ 点害以 F1、F2 为焦点，2a=6000 的双曲线上 ∵ a=3000，c=5000 ∴ b2=16×106 ∴ 爆炸点在双曲线上，其方程为 1 1016 y 109 x 6 2 6 2     。 19、解：      2r|cc| 1r|cc| 2 1 ∴ |cc2|-|cc1|=1<|c1c2| ∴ 点 c 的轨迹为双曲线的一支 ∵ 2 1a  ，c=1 ∴ 4 3b2  ∴ c 轨迹方程为 4y2- 3 4 x2=1（y≥ 4 3 ） 20、解：设双曲线方程为 1 b x a y 2 2 2 2  （a>0，b>0） 则           1 b )73 4( a 4 1 b )2( a )52 3( 2 2 2 2 2 2 2 2 解之得：      16b 9a 2 2 ∴ 双曲线方程为 116 x 9 y 22  七、附录 例 1 的解：当 3k-3>0，方程表示焦点在 x 轴上椭圆； 当 69-k>0，方程表示焦点在 y 轴上椭圆； 当 k=6 时，方程为 x2+y2=6，表示圆心在原点，半径为 6 的圆； 当 k<3 时，9-k>0>k-3，方程表示焦点在 x 轴上的双曲线； 当 k>9 时，k-3>0>9-k，方程表示焦点在 y 轴上的双曲线。 例 2 的解：设动圆 P 的半径为 r，则      6r|PF| r|PE| ∴ |PF|-|PE|=6 ∴ 点 P 的轨迹是以 F、E 为焦点的双曲线的一支，2a=6，c=5，b=4 ∴ 点 P 的轨迹方程为 116 y 9 x 22  （x≥3） 例 3 的解： |PF1|+|PF2|= m2 ① |PF1|-|PF2|= s2 ② ①2-②2 得：4|PF1||PF2|=4(m-s) ∴ |PF1||PF2|=m-s 例 4 的解：设左、右焦点分别为 F1、F2 ∵ ∠F1QF2=900，|QF1|=|QF2| ∴ c=|OQ|=5 设双曲线方程为 1 a25 y a x 2 2 2 2    ∴ 1 a25 )3( a )24( 2 2 2 2    整理得：a4-66a2+800=0 ∴ a2=50（舍）或 a2=16 ∴ b2=9 ∴ 双曲线方程为 19 y 50 x 22  例 5 的解：法一：设 F1（0，- 2 ）， F2（0， 2 ）， P（x0，y0） 则        1x 2y x 2y 1xy 0 0 0 0 2 0 2 0 ∴      2xy 1xy 2 0 2 0 2 0 2 0 ∴        2 1x 2 3y 2 0 2 0 ∴         2 2x 2 6y 0 0 ∴ 点 P 为 )2 6,2 2(),2 6,2 2(),2 6,2 2(),2 6,2 2(  法二：点 P 满足      1xy 2yx 22 22 ∴        2 3y 2 1x 2 2 ∴         2 6y 2 2x ∴ 点 P 为 )2 6,2 2(),2 6,2 2(),2 6,2 2(),2 6,2 2( 