四川省遂宁市2021届高三上学期第一次诊断性考试 数学（理）试题
秘密 ★ 启用前 【考试时间:2021年 1月 12日 15:00~17:o0】
级第一次诊断性考试
学 (理工类)
(考 试时间:120分 钟 试卷满分 :150分 )
注意事项 :
1.答卷前 ,考 生务必将 自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回 答选择题时 ,选 出每小题答案后 ,用 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑。如需改
动 ,用 橡皮擦干净后 ,再选涂其它答案标号。回答非选择题 时 9将 答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后 ,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题 :本题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分。在每小题给出的四个选项中 ,只 有-项是符
合题 目要求的。
1.已 知 集 合 A=(J|2r<4),B=(J|(r-4)(^万 -1)<0),则 (CRA)∩ B=
A。 (Jl
0)的 离心率为√t,则 双曲线 C的 一个焦点 F到它的一条渐
近线的距离为
A。 4√9 B。 2√7 C。 γ伢
10.将 函数 r(J)=⒍ n(ωJ+毋
)(ω
)O)的 图象向右平移骨个单位长度后得到函数 g(J)的 图象 ,
且 g(J)的 图象的一条对称轴是直线 J=—
骨
,贝刂ω的最小值为
11.定 义在 R上的偶函数 `/、
(J)满足 r(J+2)=v/12+r(1),则 r(2021)=
A。
—3或 4 B。 一4或 3 C。 3 D。 4
12.如 图,已 知 四棱 锥 P~ABCD中 ,四 边 形 ABCD为 正 方 形 ,平 面
ABCD⊥~平面 APB,G为 PC上一点 ,且 BG⊥平面 APC,AB=2,则 三
棱锥P一 ABC体积最大值为
A。 鲁
C· -|∶
;i-
D。 2
3
_
2A
7
一
2DC。 3B。 2
悄竺3
2
Β
D
二、填空题 :本题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 2O分。
13.若 t,y满足约束条件
{:∶1F∶
i9则 z=;J+y的 最大值为
14.2O21年第 31届 世界大学生夏季运动会将在成都举行。为营造
“
爱成都迎大运
”
全民运动和全
民健身活动氛围 ,某社区组织甲、乙两队进行一场足球 比赛 ,根据以往的经验知 ,甲 队获胜的
概率是÷
,两 队打平的概率是壳
,贝刂这次比赛乙队不输的概率是
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15.给 出下列命题 :
①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行 ;
②一条直线平行于一个平面 ,另 一条直线与这个平面垂直 ,则这两条直线互相垂直 ;
③设 α,`,γ 为平面 ,若 α⊥卩,卩⊥γ,则 α⊥γ;
④设 α,`,γ 为平面 ,若 α∥
`,`∥
γ,则 α∥γ。
其中所有正确命题的序号为 。
16.设 函数 r(r)=ln J~?m·
2+2J9若
存在唯一的整数 缅 使得 r(J。 ))o,则 实数 ″ 的取值范围
是 。
三、解答题 :共 70分 。解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤。第 17~21题 为必考题 ,每 个
试题考生都必须作答。第 22、 23题 为选考题 ,考生依据要求作答。
(-)必考题 :共 60分。
17.(本 小题满分 12分) ‘
在数列 (α″〉中 ,α 1=1,c″ =2α疒1+l(刀≥2,″ ∈N女 )。
(1)证明 :数列 (α″+1)为等比数列 ,并求数列〈四″)的通项公式 ;
(2)若 纰=刀 (‰ +1),求数列 (仉 )的前 m项 和 S刀 ●
18.(本 小题满分 12分 )
在新冠肺炎疫情得到有效控制后 ,某公司迅速复工复产 ,为 扩大销售额 ,提升产品品质 ,现随
机选取了 100名 顾客到公司体验产品 ,并对体验的满意度进行评分 (满 分 100分 )。 体验结束
后 ,该公司将评分制作成如图所示的直方图。
频率
组距
0。 01
0.00 m ω ⒛ BO 9o 1oo分数
(1)将评分低于 80分的为
“
良
”,80分及以上的为
“
优
”。根据已知条件完成下面 2× 2列联表 ,
能否在犯错误的概率不超过 0。 10的前提下认为体验评分为
“
优良
”
与性别有关 ?
(2)为答谢顾客参与产品体验活动 ,在体验度评分为E50,6O)和 E90,100彐 的顾客中用分层抽样
的方法选取了 6名 顾客发放优惠卡。若在这 6名 顾客中,随机选取 4名再发放纪念品 ,记
体验评分为匚50,6O)的顾客获得纪念品数为随机变量 X,求 X的分布列和数学期望。
附表及公式 :Κ
2= ??(曰 歹一
/,‘
`)2
(α +J,)(f+d)(口 +c)(3+d)·
P(Κ 2≥虍。) 0.15 O。 10 0.05 0。 025 0.010 0.005 0.001
虍。 2.O72 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
4
3
2
0
0
0
良 优 合计
男
女 40
合计
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19.(本 小题满分 12分 )
如图 ,在 平 面 五 边 形 ABCDE中 ,AE=12,CE=低 厅,CD=弘 厅 ,
ZABC=60° ,ZAED=120° ,sin zCDE=鲁 。
(1)求 AC的值 ;
(2)求△ABC面积的最大值。
⒛。(本小题满分 12分 )
如 图 ,在 四棱 锥 M—ABCD中 ,AB⊥AD,AM⊥ 平 面 ABCD,AB=AM=
AD=2。
(1)证明 :△BDM是 正三角形 ;
(2)若 CD∥平面 ABM,2CD=AB,求 二面角 C—BM~D的 余弦值。
21.(本 小题满分 12分 )
已知函数 F(￡ )=J(e氵 一ε)-21nJ+21n2-2(己 ∈R)。
(l)当 c=2时 ,若 r(J)的 -条切线垂直于 丿轴 ,证明 :该切线为 J轴 ;
(2)若 r(J)≥ o,求 c的取值范围。
23.E选 修 4— 5:不等式选讲彐(本小题满分 10分 )
已知函数 r(J)=|2J— 2|+|J+1|。
(1)解不等式 F(J)≥ 4;
⑵ 令 “o的 Fx/lx劬 M,△En6仉 c满足田 +沙+c-M,粗 :凡 +宀 +戋
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