高一数学同步练习：用二分法求方程的近似解

高一数学同步练习：用二分法求方程的近似解

必修一 3.1.2　用二分法求方程的近似解 一、选择题 ‎1、已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)‎ A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0‎ C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0‎ ‎2、利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：‎ x ‎0.2‎ ‎0.6‎ ‎1.0‎ ‎1.4‎ ‎1.8‎ ‎2.2‎ ‎2.6‎ ‎3.0‎ ‎3.4‎ ‎…‎ y＝2x ‎1.149‎ ‎1.516‎ ‎2.0‎ ‎2.639‎ ‎3.482‎ ‎4.595‎ ‎6.063‎ ‎8.0‎ ‎10.556‎ ‎…‎ y＝x2‎ ‎0.04‎ ‎0.36‎ ‎1.0‎ ‎1.96‎ ‎3.24‎ ‎4.84‎ ‎6.76‎ ‎9.0‎ ‎11.56‎ ‎…‎ 那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内(　　)‎ A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)‎ C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)‎ ‎3、设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)‎ A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)‎ C．(1.5,2) D．不能确定 ‎4、对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点 B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点 C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个 D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点 ‎5、下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)‎ ‎6、用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)‎ A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关 二、填空题 ‎7、在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．‎ ‎8、用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．‎ ‎9、若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)‎ ‎①(－∞，1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4]‎ ‎⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6，＋∞)‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f(x)‎ ‎136.123‎ ‎15.542‎ ‎－3.930‎ ‎10.678‎ ‎－50.667‎ ‎－305.678‎ 三、解答题 ‎10、在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？‎ ‎11、下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：‎ ‎①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；‎ ‎②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；‎ ‎③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；‎ ‎④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．‎ 那么以上叙述中，正确的个数为(　　)‎ A．0 B．‎1 C．3 D．4‎ ‎12、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)‎ ‎13、确定函数f(x)＝＋x－4的零点所在的区间．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]‎ ‎2、C　[设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，‎ f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]‎ ‎3、B　[∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.‎ 又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，‎ 则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]‎ ‎4、D ‎5、A　[由选项A中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]‎ ‎6、B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]‎ 二、填空题 ‎7、0.75或0.687 5‎ 解析　因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，‎ 所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．‎ ‎8、[2,2.5)‎ 解析　令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，‎ f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.‎ ‎∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．‎ ‎9、③④⑤‎ 三、解答题 ‎10、解　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；‎ 第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；‎ 第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；‎ 第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．‎ ‎∴最多称四次．‎ ‎11、A　[∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]‎ ‎12、证明　设函数f(x)＝2x＋3x－6，‎ ‎∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，‎ 又∵f(x)是增函数，‎ ‎∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，‎ 则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．‎ 设该解为x0，则x0∈[1,2]，‎ 取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，‎ ‎∴x0∈(1,1.5)，‎ 取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，‎ f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，‎ 取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，‎ f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，‎ 取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，‎ f(1.187 5)·f(1.25)<0，‎ ‎∴x0∈(1.187 5,1.25)．‎ ‎∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，‎ ‎∴1.187 5可作为这个方程的实数解．‎ ‎13、解　(答案不唯一)‎ 设y1＝，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．‎ 由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，‎ 当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，‎ 当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，‎ ‎∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．‎ 故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．‎