【数学】2020届一轮复习北师大版二项式系数的性质课时作业

【数学】2020届一轮复习北师大版二项式系数的性质课时作业

知识点一 与杨辉三角有关的问题 ‎1.如下图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行从左至右第14与第15个数之比为2∶3.‎ ‎1‎ ‎1　1‎ ‎1　2　1‎ ‎1　3　3　1‎ ‎1　4　6　4　1‎ ‎…‎ 答案　34‎ 解析　设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C∶C＝2∶3.‎ ‎∴3C＝2C，‎ 即＝，‎ ‎∴n＝34.‎ 知识点二 二项式系数和的问题 ‎2.若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)‎ A．10 B．20 C．30 D．120‎ 答案　B 解析　由2n＝64，得n＝6，∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r(0≤r≤6，r∈N)．由6－2r＝0，得r＝3.∴T4＝C＝20.‎ ‎3．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1024，则n的值为(　　)‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ 答案　B 解析　由题意知(1＋1)n(3－1)＝1024，即2n＋1＝1024，所以n＝9.故选B.‎ 知识点三 二项式系数的性质应用 ‎4.已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)‎ A．11 B．10 C．9 D．8‎ 答案　D 解析　∵只有第5项的二项式系数最大，∴＋1＝5.‎ ‎∴n＝8.‎ ‎5．已知(1＋2x)2n 的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是(　　)‎ A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 答案　B 解析　设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝.由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.‎ ‎6．在二项式n的展开式中，‎ ‎(1)若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项；‎ ‎(2)若所有奇数项的二项式系数的和为A，所有项的系数和为B，且＝，求展开式中二项式系数最大的项．‎ 解　(1)依题意C∶C＝14∶3，化简：‎ 得(n－2)(n－3)＝56，‎ 解得n＝10或n＝－5(舍去)．‎ ‎∴Tr＋1＝C·x·(3x2)－r＝3－rCx，‎ 令＝0得r＝2.‎ ‎∴常数项为第3项，T3＝3－2C＝5.‎ ‎(2)由题意可知，A＝2n－1，B＝n，‎ 则＝＝，解得n＝5，‎ 展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项，‎ T3＝C()32＝x，‎ T4＝C()23＝x－5.‎ 一、选择题 ‎1.11的展开式中二项式系数最大的项是(　　)‎ A．第3项 B．第6项 C．第6、7项 D．第5、7项 答案　C 解析　11的展开式中第项和＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．‎ ‎2.n的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　)‎ A．第8项 B．第9项 C．第8项和第9项 D．第11项和第12项 答案　D 解析　由题意T8＝C()n－7·7＝Cx，故n＝21.则展开式中系数最大的项是第11项和第12项．‎ ‎3．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ 答案　B 解析　由二项式系数的性质知：‎ 二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数最大值有一项C＝a，‎ 二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数最大值有两项C＝C＝b，‎ 因此13C＝7C，‎ 所以13·＝7·，‎ 所以m＝6.故选B.‎ ‎4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ 答案　B 解析　解法一：x3＝[2＋(x－2)]3‎ ‎＝C23＋C22(x－2)＋C2(x－2)2＋C(x－2)3‎ ‎＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，‎ ‎∴a2＝6.‎ 解法二：右边x2的系数为Ca2＋C(－2)a3＝a2－6a3，右边x3的系数为a3，‎ 利用左右两边对应系数相等，得 ‎∴a2＝6.故选B.‎ ‎5．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为(　　)‎ A. B. C. D．－ 答案　B 解析　设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，‎ 令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减可得，a1＋a3＋…＋a9＝，故选B.‎ 二、填空题 ‎6．下列关于(a＋b)10的说法：‎ ‎①展开式中的各二项式系数之和为1024；‎ ‎②展开式中第6项的二项式系数最大；‎ ‎③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；‎ ‎④展开式中第6项的系数最小．‎ 其中正确说法的个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．‎ ‎7．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．‎ 答案　6‎ 解析　(x＋1)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.‎ ‎8．已知x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12·(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.‎ 答案　7‎ 解析　令x＝－1，‎ ‎∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.‎ 令x＝－3，‎ ‎∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，‎ ‎∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，‎ ‎∴a1＋a3＋…＋a11＝27，‎ ‎∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.‎ 三、解答题 ‎9．已知(＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求2n的展开式中：‎ ‎(1)二项式系数最大的项；‎ ‎(2)系数的绝对值最大的项．‎ 解　由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.‎ ‎(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，‎ 即T6＝C·(2x)5·5＝－8064.‎ ‎(2)设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝C·(2x)10－k·k＝(－1)k·C·210－k·x10－2k.‎ ‎∴ 得 即 ‎∴≤k≤，∴k＝3，‎ 故系数的绝对值最大的是第4项 T4＝(－1)3C·27·x4＝－15360x4.‎ ‎10．已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9，求：‎ ‎(1)各项系数之和；‎ ‎(2)所有奇数项系数之和；‎ ‎(3)系数绝对值的和；‎ ‎(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．‎ 解　(1)令x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.①‎ ‎(2)由(1)知，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1.‎ 令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59.②‎ 将①②两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝.‎ ‎(3)解法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，‎ 令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.‎ 解法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项的系数和，令x＝1，y＝1，得 ‎|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.‎ ‎(4)奇数项的二项式系数之和为 C＋C＋…＋C＝28.‎ 偶数项的二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝28.‎