【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第五章第3讲　平面向量的数量积及应用举例学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第五章第3讲　平面向量的数量积及应用举例学案

第3讲　平面向量的数量积及应用举例 ‎1．向量的夹角 ‎(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．‎ ‎(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.‎ ‎(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．‎ ‎2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 ‎3.向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎4．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)‎ ‎(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)‎ ‎(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)‎ ‎(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎ (教材习题改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b为(　　)‎ A．10　　　　　　　 B．－10 C．10 D．－10‎ 解析：选D.a·b＝|a|·|b|cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×＝－10.故选D.‎ ‎ (教材习题改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为(　　)‎ A．－4 B．4‎ C． D．－ 解析：选A．由a·b＝－2得，5×(－6)＋(－7)t＝－2，－7t＝28，所以t＝－4，故选A．‎ ‎ (教材习题改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选D.cos θ＝＝＝－.‎ 又因为0≤θ≤π，所以θ＝，故选D.‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________．‎ 解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2×3＋3m＝0，解得m＝2.‎ 答案：2‎ ‎ 已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________．‎ 解析：因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cos 30°＝1，即|b|2－2|b|＋3＝0，所以(|b|－)2＝0，所以|b|＝.‎ 答案： 平面向量数量积的运算 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)(2018·云南省第一次统一检测)在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)‎ A．48　　　　　　　　　 B．36‎ C．24 D．12‎ ‎(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A．－2 B．－ C．－ D．－1‎ ‎【解析】　(1)·＝(＋)·(＋)＝·＝2－AD2＝×82－×62＝24，故选C．‎ ‎(2)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－，选择B．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B 平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解．‎ ‎[注意]　解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2018·西安八校联考)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影是(　　)‎ A．－3 B．－ C．3 D． 解析：选A．依题意得，＝(－2，－1)，＝(5，5)，·＝(－2，－1)·(5，5)＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，选A．‎ ‎2．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．‎ 解析：法一：取，为一组基底，‎ 则＝－＝－，‎ ＝＋＋＝－＋＋＝－＋，‎ 所以·＝· ‎＝2－·＋2‎ ‎＝×4－×2×1×＋＝.‎ 法二：以AB所在直线为x轴，A为原点建立如图所示的坐标系，‎ 由于AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，所以CD＝1，等腰梯形ABCD的高为，‎ 所以A(0，0)，B(2，0)，D，C，‎ 所以＝，＝(1，0)，‎ 又因为＝，＝，‎ 所以E，F，‎ 因此·＝·＝×＋×＝＋＝.‎ 答案： 平面向量数量积的应用(高频考点)‎ 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题 、填空题，难度适中，属中档题．主要命题角度有：‎ ‎(1)平面向量的模；‎ ‎(2)平面向量的夹角；‎ ‎(3)平面向量的垂直．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　平面向量的模 ‎ (1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．‎ ‎【解析】　(1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.‎ ‎(2)设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1，‎ 知(x－3)2＋y2＝1，‎ 即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．‎ 又＋＋＝(－1，0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，所以|＋＋|＝.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．‎ 因为圆心C(3，0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.‎ 即|＋＋|的最大值是＋1.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)＋1‎ ‎ 角度二　平面向量的夹角 ‎ (1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为(　　)‎ A． B． C． D． ‎(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.‎ 又a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝.‎ 因为θ∈[0，π]，所以θ＝.‎ ‎(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，所以4k－6－6<0，所以k<3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向．‎ 综上，k的取值范围为∪ 答案：(1)C　(2)∪ ‎ 角度三　平面向量的垂直 ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．‎ ‎【解析】　因为a＋b＝(m－1，3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.‎ ‎【答案】　7‎ 平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎②|a±b|＝＝.‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ________ .‎ 解析：易知|a＋2b|＝＝＝2.‎ 答案：2 ‎2．(2017·高考山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．‎ 解析：因为＝，故＝，解得λ＝.‎ 答案： 平面向量与三角函数 ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎【解】　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，‎ 所以－cos x＝3sin x.‎ 若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，‎ 故cos x≠0.‎ 于是tan x＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)‎ ‎＝3cos x－sin x＝2cos.‎ 因为x∈[0，π]，所以x＋∈，‎ 从而－1≤cos≤.‎ 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.‎ 平面向量与三角函数的综合问题 ‎(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.‎ ‎(1)若m⊥n，求角α；‎ ‎(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．‎ 解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，‎ 即为－sin α(sin α－2)－cos2 α＝0，‎ 即sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.‎ ‎(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，‎ 即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，‎ 即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，‎ 即有8－8sin α＝2，可得sin α＝，‎ 即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.‎ ‎ 计算向量数量积的三种方法 定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．‎ ‎ 求向量模的常用方法 利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．‎ ‎ 求两个非零向量的夹角应注意的问题 ‎(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；‎ ‎(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．　　　 ‎ ‎1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m). 若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)‎ A．2　　　　　　　 B． C．0 D．－ 解析：选B．因为a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，‎ 又a·b＝××cos，‎ 所以3＋m＝××cos，所以m＝.‎ ‎2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|＝(　　)‎ A．3 B．2‎ C． D． 解析：选D.(a－3b)2＝|a|2－6a·b＋9|b|2＝1－6cos 60°＋9＝7，所以|a－3b|＝，故选D.‎ ‎3．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为(　　)‎ A．－ B．－ C． D． 解析：选A．依题意得e1·e2＝1×1×cos＝－，‎ ‎|a|＝＝＝，‎ a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝‎ ‎－，因此b在a方向上的投影为＝＝－，故选A．‎ ‎4．(2018·郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·＝3，则·的值为(　　)‎ A．0 B． C．－4 D．4‎ 解析：选C．＝2⇒||＝||＝.设与的夹角为α，·＝3⇒||cos α＝1⇒||＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(，1)，E.因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4，故选C．‎ ‎5．如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且 AB＝6，MN＝4，则·等于(　　)‎ A．13 B．7‎ C．5 D．3‎ 解析：选C．连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5.‎ ‎6．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________．‎ 解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.‎ 答案：－ ‎7．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．‎ 解析：因为m＋n＝(2λ＋3，3)，‎ m－n＝(－1，－1)，所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0，即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m＝(－2，1)，n＝(－1，2)，所以cos〈m，n〉＝＝.‎ 答案： ‎8．(2017·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．‎ 解析：因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因为＝λ－，所以·＝·(λ－)＝－2＋λ2＋·，因为∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，所以·＝－×9＋λ×4＋×3×2×＝－3＋λ＋λ－2＝－4，解得λ＝.‎ 答案： ‎9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ 解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，‎ 所以64－4a·b－27＝61，‎ 所以a·b＝－6，‎ 所以cos θ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，所以θ＝π.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.‎ ‎(3)因为与的夹角θ＝π，‎ 所以∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ 所以S△ABC＝||||·sin∠ABC＝×4×3×＝3.‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长．‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ 解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．‎ 所以|＋|＝2，|－|＝4.‎ 故所求的两条对角线的长分别为4，2.‎ ‎(2)由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．‎ 由(－t)·＝0，得：‎ ‎(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，‎ 从而5t＝－11，所以t＝－.‎ 或者：·＝t2，＝(3，5)，‎ t＝＝－.‎ ‎1. (2017·高考浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2‎ C．I3 ＜ I1＜I2 D．I2＜I1＜I3‎ 解析：选C．如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOI3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，所以OB·，即I1>I3.所以I3b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.‎ 故向量在方向上的投影为 ‎||cos B＝ccos B＝1×＝.‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ 解：(1)因为m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)，‎ 所以＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，‎ 所以||＝＝2.‎ ‎(2)因为＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，‎ 所以 两式相减，得m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎