人教A版高中数学2-2-2对数函数及其性质（3）教案新人教版必修1

人教A版高中数学2-2-2对数函数及其性质（3）教案新人教版必修1

2．2．2（3）对数函数及其性质（教学设计） （内容：指数函数与对数函数的关系） 教学目的： ⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数； ⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识，了解互为反函数的两个函数图象间的关系； ⒊通过指数函数与对数函数的比较，了解互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系． 教学重点：底数相同的指数函数与对数函数互为反函数． 教学难点：互为反函数的两个函数图象间的关系． 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 1、指数函数与对数函数对照表 指数函数 对数函数 一般形式 xy a ( 0a  ，且 1)a  logay x ( 0a  ，且 1)a  图象 定义域 ( , )  (0, ) 值域 (0, ) ( , )  函 数 值 变 化 情 况 当 1a  时， 1, 0, 1, 0, 1, 0. x x x a x a x a x          当 0 1a  时， 1, 0, 1, 0, 1, 0. x x x a x a x a x          当 1a  时， log 0, 1, log 0, 1, log 0, 1. a a a x x x x x x         当 0 1a  时， log 0, 1, log 0, 1, log 0, 1. a a a x x x x x x         单调性 1a  时， xy a 是增函数； 0 1a  时， xy a 是减函数 1a  时， logay x 是增函数； 0 1a  时， logay x 是减函数 图象 函数 xy a 的图象与函数 logay x 的图象关于直线 y x 对称． 从上面的表格中，我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系，今天我们就对它们之间的关系来做一番 研究． 二、师生互动，新课讲解： 例 1：在同一坐标系中，作出函数 2xy  与 2logy x 的图象,并观察两图象之间有何关系。 变式训练 1：在同一坐标系中，作出函数 1( )2 xy  与 1 2 logy x 的图象，并观察两图象之间有何关系。 2、反函数： 问 1：在指数函数 2xy  中，x 为自变量，y 是因变量．如果把 y 当成自变量，x 当成因变量，那么 x 是 y 的函数吗？ 答 1：由指数式 2xy  可得对数式 2logx y ．这样，对于任意一个 (0, )y   ，通过式子 2logx y ，x 在 R 中 都 有唯一的值和它对应．也就是说，可以把 y 作为自变量，x 作为 y 的函数． 问 2：你可以用几何方法来得到上面的结论吗？ 答 2：指数函数 2xy  中，x 为自变量 ( )x R ，y 是 x 的函数 ( (0, ))y   ，并且它是 ( , )  上的单调递增函数．我们过 y 轴正半轴上任一点，作 x 轴的平行线，与 2xy  的 图象有且只有一个交点．这也说明，对于任意一个 (0, )y   ，x 在 R 中都有唯一的值和 它对应．也就是说，可以把 y 作为自变量，x 作为 y 的函数． 问 3：这时我们称函数 2logx y ( )y R 是函数 2xy  ( )x R 的反函数． 请同学们考虑，在函数 2logx y 中，自变量、函数各是什么呢？这合乎我们的习惯吗？ 答 3：在函数 2logx y 中，y 是自变量，x 是函数．而习惯上，我们通常用 x 表示自变量，y 表示函数． 问 4：为了和我们的习惯一致，我们常常对调函数在函数 2logx y 中的字母 x，y，把它写成 2logy x ．于是，对数 函数 2logy x ( (0, ))x  是指数函数 2xy  ( )x R 的反函数． 请同学们仿照上面的过程，说明对数函数 logay x ( 0a  ，且 1)a  和指数函数 xy a ( 0a  ，且 1)a  之间 的关系． 答 4：（探究、讨论得出结论）对数函数 logay x ( 0a  ，且 1)a  和指数函数 xy a ( 0a  ，且 1)a  互为反函数． 问 5：对于具体的指数函数 xy a ( 0a  ，且 1)a  ，我们可以怎样得到它的反函数呢？ 答 5：对于具体的指数函数 xy a ( 0a  ，且 1)a  ，我们可以先把它化为对数形式 2logx y ，然后再对调其中的字 母 x，y，就得到了它的反函数 logay x ( 0a  ，且 1)a  ． 问 6：请同学们观察一下对数函数 logay x ( 0a  ，且 1)a  和指数函数 xy a ( 0a  ，且 1)a  的定义域和值域， 你能得出什么结论？ 答 6：指数函数 xy a ( 0a  ，且 1)a  的定义域和值域分别是对数函数 logay x ( 0a  ，且 1)a  的值域和定义域． 问 7：请同学们观察对数函数 2logy x ( (0, ))x  是指数函数 2xy  ( )x R 的图象，它们有什么关系呢？ 答7：（观察得）对数函数 2logy x ( (0, ))x  是指数函数 2xy  ( )x R 的图象关于直线 y x 对称． 小结：对数函数 logay x ( 0a  ，且 1)a  和指数函数 xy a ( 0a  ，且 1)a  的图象关于直线 y x 对称．两函数 互为反函数。 例 2：求下列函数的反函数： （1）y=3x ；（2）y=lnx ；（3）y= 1 x ；（4） y x 小结：求函数的反函数的步骤： （1）求定义；（2）反解；（3）互换 性质：反函数的定义域就是原函数的值域。 变式训练 2：求下列函数的反函数： （1） y=x+1；（2）y= xe ；(3)y= 2log ( 1)x  例 3：作出下列函数的图象： （1）y=|lgx| ；（2）y=lg|x| 变式训练 3：作出下列函数的图象： (1)y=| 1 2 log x |；（2）y=ln|x|；(3)y= | |2 x 例 4：解下列不等式： （1） 1 2 log (2 1) 0x   ；（2） 1 2 log (2 1) 0x   ；（3） 1 2 log (2 1) 0x   ；（4） 2 2log ( ) 1x x  （5） 2 2log ( ) 1x x  变式训练：解下列不等式： （1） 2 2log ( 2 ) 3x x  ；（2） 2 2log ( 4 ) 5x x  ；（3） 2 1 3 log ( 2 ) 1x x   三、课堂小结，巩固反思： 1、指数函数与对数函数互为反函数。 2、互为反函数的两图象关于 y=x 对称。 3、用“同底化”法解指对数不等式。 4、重视分类讨论的数学思想。 四、布置作业： A 组： 1、在同一坐标系中，作出函数 y=lgx 与 10xy  的图象，并分别写出它们的定义域，值域，单调递增区间。 2、求下列函数的反函数 （1）y=2x+3；（2）y=ln(x+1)；（3）y=10x-1 3、解下列不等式： （1） 2lg( 3 ) 1x x  ；（2） 2 1 3 log ( 8 ) 2x x   ；（3） 1 2 1log ( 1) 1x    ； 4、判断下列函数的奇偶性 （1） 3 1log 1 xy x   ；（2）y=loga|x|；（3）y=2|x| B 组： 1、(tb0218719)若 a>0 且 a  1，且 loga 4 3 <1，则实数 a 的取值范围是（D）。 （A）0 4 3 或 01 2、函数 ))(1(log 2 2 Rxxxy  的奇偶性为[ ] A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数 C．非奇非偶函数 D．既奇且偶函数