2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期第四次半月考数学（理）试题 Word版
2017-2018 学年湖北省沙市中学高二下学期第四次半月
考理数试卷
考试时间：2018 年 6 月 9 日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2．已知命题 ；命题 ，则下列命题中为真命题的是
A． B． C． D．
3．设随机变量 x 服从正态分布 N（2，9），若 ，则 m=
A． B． C． D．2
4．设复数 ，若 ，则 的概率为
A． B． C． D．
5．已知函数 ，曲线 上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的
切线都与 轴垂直，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．若双曲线 的一条渐近线与圆 至多有一个交点，则双曲线
的离心率为
A． B． C． D．
7．设 x，y 满足约束条件 则 的最大值是
A． B． C． D．
8．若抛物线 上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6，则抛物线方
: , 2 3x xp x∀ ∈
− = < +
2
3
4
3
5
3
( 1) i ( , )z x y x y= − + ∈R | | 1z ≤ y x≥
3 1
4 2π+ 1 1
2 π+ 1 1
2 π− 1 1
4 2π−
2
2
2 1( 0)yx bb
− = > 2 2( 2) 1x y+ − =
(1, 2 ] (1, 3 ] (1, 2 ] (1, 4 ]
7 0,
3 1 0,
2 5 0,
x y
x y
x y
+ − ≤
− + ≤
− − ≥
yz x
=
5
2
3
4
4
3
2
5
2 2 ( 0)y px p= >
程为 A． B．
C． 或 D． 或
9．用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有
A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个
10．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.
这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相
除法”，当输入 时，输出的 （ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如
下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷
的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调
查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只
有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12．定义：如果函数 在 上存在 ， 满足
， ，则称函数 是 上的“双中值函
数”，已知函数 是 上的“双中值函数”，则实数 a 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上对应题号后的横
线上）
13．如图，点 A 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（2，4），
函数 ．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点
取自阴影部分的概率等于 ▲ ．
14． 的展开式中， 的系数是 ▲ ．（用数字填写答案）
15.点是圆上的动点，点，为坐标原点，则面积的最小值是__________．
16. 若 的有且仅有一个零点，则 的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
2 4y x= 2 36y x=
2 4y x= 2 36y x= 2 8y x= 2 32y x=
( )f x [ , ]m n 1x 2x 1 2( )m x x n< < <
1
( ) ( )( ) f n f mf x n m
−′ = − 2
( ) ( )( ) f n f mf x n m
−′ = − ( )f x [ , ]m n
3 2( )f x x x a= − + [0, ]a
1 1( , )3 2
1( ,3)2
1( ,1)2
1( ,1)3
2( )f x x=
5(2 )x x+ 3x
( ) ln af x x ax
= + − a
17．（10 分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采取随机抽样的方法抽取了 名
学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，
再将每组学生的月上网次数分为 组：
， 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 ：
（1）写出 的值；
（2）求抽取的 名学生中月上网次数不少于 次的学生的人数；
（3）在抽取的 名学生中，从月上网次数少于 次的学生中随机抽取 人，求至少抽取
到 名男生的概率.
18..（12 分）已知函数 的图象过点 .
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若函数 有 3 个零点，求 的取值范围.
19.（12 分）某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购
买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了 50 名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低
于 60 分，说明购买意愿弱；若得分不低于 60 分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表
示如图所示.
80
5
[ ) [ ) [ ) [ ) [ ]0 5 , 5,10 10,15 15,20 20,25， ， ， ，
a
80 15
80 5 2
1
( ) 3 2 26 4
a af x x x ax= − − − 104, 3A
( )f x
( ) ( ) 2 3g x f x m= − + m
（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断是否有 95%的把握认为市民是否购买该款
手机与年龄有关？
购买意愿强 购买意愿弱 合计
20~40 岁
大于 40 岁
合计
（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取 5 人，从这 5 人中随机抽取 2
人进行采访，记抽到的 2 人中年龄大于 40 岁的市民人数为，求的分布列和数学期望.
附：.
20．（12 分）如图所示的平面图形中，ABCD 是边长为 2 的正方形，△HDA 和△GDC 都是以 D
为直角顶点的等腰直角三角形，点 E 是线段 GC 的中点．现将△HDA 和△GDC 分别沿着
DA，DC 翻折，直到点 H 和 G 重合为点 P．连接 PB，得如图的四棱锥．
（1）求证：PA//平面 EBD；
（2）求二面角 大小．C PB D− −
21 ．（ 12 分 ） 已 知 椭 圆 的 长 轴 长 是 短 轴 长 的 倍 ， 且 过 点
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 的顶点 、 在椭圆上， 所在的直线斜率为 ， 所在的直线斜
为 ，若 ，求 的最大值．
22.（12 分）已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值．
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
( )2, 2
OAB∆ A B OA 1k OB
2k
2
1 2 2
bk k a
⋅ = − OA OB⋅
( ) 21ln 2f x x ax= − a R∈
( )f x
x ( ) ( )1 1f x a x≤ − − a
高二数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
BBBDD CBCBD BD
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13． 14．10 15．2 16．
三、解答题（70 分）
17．【答案】(1) ；(2) 名学生中月上网次数少于 次的学生人数有 人；(3)
．
18.【答案】(1) 函数 的递增区间是 ， (2)
（2）由（1）知 ，
同理， ，
由数形结合思想，要使函数 有三个零点，
则 ，解得 .所以 的取值范围为 .
19.【答案】（Ⅰ）表格如解析所示，没有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关；
（Ⅱ）X 的分布列如解析所示，期望为 .
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可得：
购买意愿强 购买意愿弱 合计
20~40 岁 20 8 28
大于 40 岁 10 12 22
合计 30 20 50
由列联表可得：，
0.05a = 80 15 28
( ) 9 3
15 5P A = =
5
12
( ] { },0 1−∞
( )f x ( ), 1−∞ − ( )2,+∞ 7 13,6 12
−
( ) ( )max
1 11 3 2f x f= − = − − 52 2 6
+ − = −
( ) ( )min
82 23f x f= = − 164 2 3
− − = −
( ) ( ) 2 3g x f x m= − +
16 52 33 6m− < − < − 7 13
6 12m− < < m 7 13,6 12
−
所以，没有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．
20．解：（Ⅰ）证明：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 EO，因为四边形 ABCD
是正方形，所以 O 为 AC 的中点，又因为 E 为 PC 中点，
所以 EO 为△CPA 的中位线，所以 EO//PA …………2 分
因为 EO 平面 EDB，PA 平面 EDB
所以 PA//平面 EDB………………………………………………………4 分
（Ⅱ）由题意有 ， 故 DA，DC，DP 两两垂直
如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 …………6 分
有
由题知 又因为 AC 平面 ABCD，所以 ，
又 ， ，所以
所以平面 PBD 的法向量是 设平面 PBC 的法向量 ，
由于 ，
则有 ，所以
令 ，得 … 则
由图可知求二面角 的平面角为锐角， 所 以 二 面 角 的 大 小 为
60o………12 分
⊂ ⊄
, ,PD DC PD DA AD CD⊥ ⊥ ⊥
D xyz−
(0,0,0), (0,0,2), (2,2,0), (0,1,1), (2,0,0), (0,2,0)D P B E A C
PD ABCD⊥ 平面 ⊂ AC PD⊥
AC BD⊥ PD BD D= AC PBD⊥ 平面
( 2,2,0)AC = − ( , , )x y z=n
(2,2, 2)PB = − (0,2, 2)PC = −
0
0
PB
PC
= =
n
n
2 2 2 0
2 2 0
x y z
y z
+ − =
− =
1z = (0,1,1)=n
2 0 2 1 0 1 1cos , | || | 22 2 2
ACAC AC
− × + × + ×〈 〉 = = =
×
nn n
C PB D− − C PB D− −
21.【答案】（1） ；（2）2.
试 题 解 析 ： （ 1 ） 由 题 意 得 解 得 ∴ 椭 圆 的 标 准 方 程 为
．
（2）设 ， ，不妨设 ， ．
由 ，∴ （ ），
直线 、 的方程分别为 ， ，
联立 解得 ， ．
22.【答案】（1）见解析（2）2
试题解析：（1）函数 的定义域为 ．由题意得 ，
当 时， ，则 在区间 内单调递增；
当 时，由 ，得 或 （舍去），
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单
2 2
18 4
x y+ =
2 2
2 2 2 ,
{ 4 2 1,
a b
a b
=
+ =
2 2,{
2,
a
b
=
=
2 2
18 4
x y+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 0x > 2 0x >
2
1 2 2
1
2
bk k a
= − = − 2
1
1
2k k
= − 1 0k ≠
OA OB 1y k x= 2
1
1
2y k x xk
= = −
1
2 2
,
{
1,8 4
y k x
x y
=
+ =
1
2 2
1 ,2{
1,8 4
y xk
x y
= −
+ =
1 2
1
2 2
1 2
x
k
=
+
1
2 2
1
4
1 2
kx
k
=
+
( )f x ( )0,+∞ ( ) 21 1' axf x axx x
−= − =
0a ≤ ( )' 0f x > ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )' 0f x = 1x a
= 1x a
= −
10 x a
< < ( )' 0f x > ( )f x 1x a
> ( )' 0f x < ( )f x
调递减．
所以当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）由 ，得 ，
因 为 ， 所 以 原 命 题 等 价 于 在 区 间 内 恒 成 立 ． [ 令
，
所以存在唯一的 ，使得 ，
且当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，
所以当 时， 有极大值，也为最大值，且
，
所以 ，又 ，所以 ,所以 ，因为 ， 故整数 的最小值
为 2．
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )f x 10, a
1 ,a
+∞
( )21ln 1 12x ax a x− ≤ − − ( ) ( )22 ln 1 2x x a x x+ + ≤ +
0x > ( )
2
2 ln 1
2
x xa x x
+ +≥ +
( )0,+∞
( ) ( )
2
2 ln 1
2
x xg x x x
+ += +
0
1 ,12x ∈
( )0 0 02ln 0h x x x= + =
00 x x< < ( )' 0g x > ( )g x
0x x> ( )' 0g x < ( )g x 单调递减
0x x= ( )g x ( ) ( )0 0
2max
0 0
2 ln 1
2
x xg x x x
+ += + ( )0
0 0
2
2
x
x x
+= +
0
1
x
=
0
1a x
≥ 0
1 ,12x ∈
( )
0
1 1,2x
∈ 2a ≥ a Z∈ a