【数学】2018届一轮复习人教A版含有组合数恒的等式证明方法举例学案

【数学】2018届一轮复习人教A版含有组合数恒的等式证明方法举例学案

含有组合数恒的等式证明方法举例 例1 求证：（1）；‎ ‎（2）．‎ 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质 证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下 ，从而使用二项式系数性质．‎ 解：（1）‎ ‎∴左边 ‎ 右边．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎∴左边 ‎ 右边．‎ 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与的展开式接近，但要注意：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而可以得到：．‎ 例2　(1)求证：‎ ‎(2)若，求的值．‎ 分析：(1)注意观察的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明．‎ ‎(2)注意到 ‎，再用赋值法求之．‎ 解：(1)在公式中令，即有 ‎∴等式得证．‎ ‎(2)在展开式中，‎ 令，得；‎ 令，得．‎ ‎∴原式 ‎．‎ 说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用．赋值法的模式是，在某二项展开式，如 或 中，对任意的（）该式恒成立，那么对中的特殊值，该工也一定成立．特殊值如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强．一般取较多．一般地，多项式的各项系数和为，奇数项系数和为，偶次项系数和为．二项式系数的性质 及的证明就是赋值法应用的范例．‎ 例3 　求证：(1) ；‎ ‎(2) (，)‎ 分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路．‎ ‎(2)同上构造函数，赋值．‎ 证明：(1)(法1)∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴此式左右两边展开式中的系数必相等．‎ 左边的系数是，右边的系数是 ‎，‎ ‎∴．‎ 等式成立．‎ ‎(法2)设想有下面一个问题：要从个不同元素中取出个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法．一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有种不同取法．第二种解法，可将个元素分成两组，第一组有个元素，第二组有个元素，则从个元素中取出个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成类：从第一组取个，第二组不取，有种取法；从第一组取个，从第二组取个，有种取法，…，第一组不取，从第二组取个．因此取法总数是．‎ 而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有 ‎．‎ ‎(2)∵为偶数，‎ ‎∴；‎ ‎．‎ 两式相加得，‎ ‎∴．‎ 说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法．‎