【数学】2019届一轮复习北师大版函数的概念、图象和性质学案(1)
第6练 函数的概念、图象和性质
[明考情]
函数的概念、图象和性质是高考的高频考点，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏上，一般位于选择题的后半部.
[知考向]
1.函数的定义域与值域.
2.函数的性质.
3.函数的图象.
4.函数与方程.
考点一 函数的定义域与值域
要点重组 (1)常见函数定义域的求法
y＝(n∈N*，n是偶数)：f(x)≥0；
y＝：g(x)≠0；
y＝[f(x)]0：f(x)≠0；
y＝logaf(x)：f(x)＞0.
(2)求函数值域的常用方法：配方法、分离常数法、换元法、单调性法、数形结合法.
1.函数f(x)＝＋的定义域是( )
A. B.
C. D.[0，1)
答案 D
解析 要使函数有意义，需即0≤x＜1.
故函数的定义域为[0，1)，故选D.
2.函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A.[0，1]B.(0，4)C.[4，＋∞) D.[0，4)
答案 D
解析 由题意知mx2＋mx＋1＞0对一切实数恒成立，
当m＝0时，不等式为1＞0，恒成立；
当m≠0时，不等式恒成立的条件是
解得0＜m＜4.
综上，实数m的取值范围为[0，4).
3.(2017·包头一模)若函数f(x)＝(x－1)(x＋2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最小值为( )
A.－B.C.－D.
答案 C
解析 由题意得±1，±2是函数零点，因此－1，2为方程x2＋ax＋b＝0的根，即x2＋ax＋b＝(x＋1)(x－2)，f(x)＝(x2－1)(x2－4)，当x2＝时，f(x)取最小值－.
4.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是__________.
答案 [0，1)
解析 由得0≤x＜1，
∴函数g(x)的定义域为[0，1).
5.函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域为______.
答案 (－2017，2)
解析 f(x)＝＝＝2－，
因为ax＞0，所以ax＋1＞1，
所以0＜＜2019，所以－2017＜2－＜2，
故函数f(x)的值域为(－2017，2).
考点二 函数的性质
方法技巧 (1)函数奇偶性判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
(2)函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.
(3)函数周期性的常用结论：若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝，则2a是函数f(x)的周期.
6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为( )
A.4B.－4C.6D.－6
答案 B
解析 由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)
＝－(－1)＝－4，故选B.
7.(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)等于( )
A.－2B.－1C.0D.2
答案 D
解析 当x>时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.
8.(2017·陕西师范附属二模)已知偶函数f，当x∈时，f(x)＝＋sinx.设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( )
A.a
f(π－1)＝f(1)>f(3)，即b>a>c，故选D.
9.若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________.
答案
解析 f(x)＝＝a＋，
由f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，可得1－2a＜0.
∴a＞.
10.已知函数y＝f(x)，x∈R，有下列4个命题：
①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称.
其中正确命题的序号为________.
答案 ①②④
解析 ＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0即x＝2对称，故②正确；由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4k(k∈ )对称，不能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③错误；由于函数f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确.
考点三 函数的图象
方法技巧 (1)函数图象的判断方法，①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.
(2)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数范围问题.
11.(2017·湖北黄冈质检)函数y＝的图象大致是( )
答案 D
解析 从题设中提供的解析式中可以看出x≠0，
且当x>0时，y＝2xlnx，由于y′＝2(1＋lnx)，故函数y＝2xlnx在区间上单调递减；在区间上单调递增.函数为偶函数，由函数图象的对称性可知应选D.
12.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A.{x|－1＜x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1＜x≤1}D.{x|－1＜x≤2}
答案 C
解析 作出函数g(x)＝log2(x＋1)的图象.
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－10，
故x0∈(2，3)，∴g(x0)＝[x0]＝2，故选B.
17.函数f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为( )
A.4B.5C.6D.7
答案 B
解析 ∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如图所示，
由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，
∴f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.
18.函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|及y＝lnx的图象，如图.
观察图象可以发现它们有2个交点，即函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内有2个零点.
19.(2017·吉林二调)已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－3f(x)＋a＝0(a∈R)有8个不等的实数根，则a的取值范围是( )
A.B.C.(1，2) D.
答案 D
解析 函数f(x)＝的图象如图.
关于x的方程f2(x)－3f(x)＋a＝0有8个不等的实数根，令t＝f(x)，则方程t2－3t＋a＝0有2个不等实数根，所以Δ＝9－4a＞0，即a＜.
由函数f(x)的图象知t∈(1，2).
方程t2－3t＋a＝0化为a＝－t2＋3t，t∈(1，2)，
a＝－t2＋3t，开口向下，对称轴为t＝，
可知a的最大值为－2＋3×＝，
a的最小值为2，故a∈.
又a＜，所以a∈.故选D.
20.(2017·大连双基测试)已知函数f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三个零点，则m的取值范围为__________.
答案
解析 由题设可得|xex|＝m，令g(x)＝xex，
则g′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，g′(x)<0，函数g(x)＝xex单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，函数g(x)＝xex单调递增，故当x＝－1时，g(x)min＝－，画出函数y＝|g(x)|的图象如图，结合图象可知当00时，函数f(x)＝＋lnx，f′(x)＝－＋＝，
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故排除A，D；
当x<0时，f(x)＝＋ln(－x)单调递减，排除C，
故选B.
4.已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是( )
A.(1，2016) B.[1，2 016]C.(2，2017) D.[2，2 017]
答案 C
解析 在平面直角坐标系中画出f(x)的图象，如图所示.设a＜b＜c，要使得存在互不相等的a，b，c，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则a，b关于直线x＝对称，可得a＋b＝1，1＜c＜2 016，故a＋b＋c的取值范围是(2，2017).
解题秘籍 (1)从映射的观点理解抽象函数的定义域，如函数y＝f(g(x))中，若函数y＝f(x)的定义域为A，则有g(x)∈A.
(2)利用函数的性质求函数值时，要灵活应用性质对函数值进行转换.
(3)解题中要有数形结合的思想，将函数图象、性质有机结合.
1.函数f(x)＝的定义域为( )
A.(0，2) B.(0，2]C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
答案 C
解析 由题意可知x满足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根据对数函数的性质，得x＞2，即函数f(x)的定义域为(2，＋∞).
2.(2017·泉州质检)已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 当a>0时，a2＋a－[－3(－a)]>0⇒a2－2a>0⇒a>2(∵a>0)；当a＜0时，－3a－[(－a)2＋(－a)]<0⇒a2＋2a>0⇒a<－2(∵a<0).综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
3.已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 f(x)的图象关于点(－1，0)对称，且在[－1，＋∞)上是增函数，故f(x)的图象只能选B.
4.已知定义在R上的函数f(x)满足：y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且当x≥0时恒有f＝f，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2－1，则f(2017)＋f(－2018)等于( )
A.－1B.1C.－2D.2
答案 B
解析 y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，则f(x)的图象关于原点对称，f(0)＝0.当x≥0时恒有f＝f，则函数周期为2，所以f(2017)＋f(－2018)＝f(1)＋f(0)＝1＋0＝1.
5.已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是( )
A.(－∞，－1] B.
C. D.
答案 C
解析 要使函数f(x)的值域为R，
需使
∴
∴－1≤a＜.
故选C.
6.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A.a＞－B.a≥－C.－≤a＜0D.－≤a≤0
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－.
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a＜0，且－≥4，解得－≤a＜0.
综上所述得－≤a≤0.
7.(2017·广州一模)已知函数f(x)＝＋cos，则f的值为( )
A.2016B.1008C.504D.0
答案 B
解析 由所给函数知，
f(x)＋f(1－x)＝＋cos＋＋cos＝1＋cos＋cos＝1＋cos xcos＋sin xsin＋cos xcos－sin xsin
＝1＋cos x＋sinxcos＋cosxsin－sinxcos＝1，
所以f＝f＋f＋…＋f＋f
＝f＋f＋…＋f＋f＝1008.
故选B.
8.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A.[－1，1) B.[0，2]
C.[－2，2) D.[－1，2)
答案 D
解析 g(x)＝f(x)－2x＝要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)
＝0恰有三个不同的实数根，所以或所以g(x)＝0的三个不同的实数根为x＝2(x＞a)，x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a).再借助数轴，可得－1≤a＜2.所以实数a的取值范围是[－1，2)，故选D.
9.若函数f(x)＝为奇函数，则k＝________.
答案 －2
解析 ∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－，
∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)，
即x2＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，
∴k＝－2.
10.(2016·天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________.
答案
解析 ∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)>f()，∴2|a－1|<＝，
∴|a－1|<，即－1的x的取值范围是________.
答案
解析 由题意知，可对不等式分x≤0，0＜x≤，x＞三段讨论.
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，
解得x＞－，
∴－＜x≤0.
当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立.
当x＞时，原不等式为2x＋2x－＞1，显然成立.
综上可知，x＞－.
